ES 1. Calcolo struttura reticolare simmetrica con il metodo delle sezioni di Ritter
Ci troviamo di fronte ad una struttura reticolare, una struttura formata da elementi lineari, collegati da cerniere, soggetti a solo sforzo normale.
Passo 1
Per prima cosa dobbiamo verificare se la struttura è isostatica. Per fare ciò dobbiamo vedere se il numero dei vincoli è uguale al numero dei gradi di libertà della struttura.
Il numero di gradi di libertà è dato dal numero di aste presenti nella struttura moltiplicato per il numero di gradi di libertà di ogni elemento.
l = 11 (aste) x3 (gradi di libertà) =33
Il numero dei vincoli è dato dalla somma dei vincoli interni e esterni.
V = Ve + Vi
I vincoli esterni sono 3: la cerniera blocca 2 gradi di libertà, il carrello blocca la traslazione verticale perciò un grado di libertà.
Per calcolare i vincoli interni utilizziamo la formula: Vi = 2*(n -1) dove n è il numero di aste che arrivano alla cerniera interna. Calcoliamo perciò il contributo di ogni cerniera:
A-H --> 2*(2-1) = 2
B-G --> 2*(3-1) = 4
C-D-E --> 2*(4-1) = 6
La sommatoria dei vincoli interni sarà perciò: Vi = 2+2+4+4+6+6+6 = 30, che sommata ai vincoli esterni Ve = 3 dà V = 33
Perciò: V(33) = l(33) VERIFICATO!
Bene, ora abbiamo verificato l' isostaticità della struttura, passiamo al calcolo delle reazioni vincolari:
Passo 2
Equilibrio alla traslazione orizzontale: UA = 0
Equilibrio alla traslazione verticale: VA + VB - 60 kN = 0
Essendo simmetrica la struttura: VA = VB = 30 kN
Passo 3: Metodo delle sezioni di Ritter
A questo punto utilizzando il metodo delle sezioni di Ritter calcoliamo gli sforzi assiali nelle singole aste.
Faccio l' equilibrio alla rotazione nel nodo C: -120 kNm + 40 kNm - 2N1 = 0 ----> N1 = -40 kN
Equilibrio alla rotazione in B: -30 kN * 2 m + 2m * N3 = 0 ----> N3 = 30 kN
Per calcolare N2 faccio l' equilibrio alla traslazione verticale considerando la componente verticale di N2:
30 kN - 20 kN - N2 * radice2/2 = 0 -----> N2 = 14,14 kN
Passiamo ora alla sezione n° 2:
Faccio l' equilibrio alla traslazione orizzontale per calcolare N4:
30 kN + radice2/2 N4 = 0 ----> N4 = -42,4 kN
Faccio l' equilibrio alla rotazione in D: N5*2m + 20 kN*4m - 30 kN*6m = 0 -----> N5 = 50 kN
Faccio ora l' equilibrio alla traslazione verticale per calcolare la reazione restante N6:
30 kN - 20 kN + radice2/2*N6 = 0 ----> N6 = - 14,14 kN
Sfruttando le proprietà della simmetria riesco a disegnare tutte le reazioni nelle aste:
A questo punto posso verificare i risultati trovati tramite il software SAP2000:
- disegno la struttura
- assegno i carichi
- avvio l' analisi della struttura
Diagramma dello sforzo assiale:
ES 2. Calcolo struttura reticolare asimmetrica con il metodo dei nodi
In questo esercizio ci troviamo di fronte ad una struttura reticolare asimmetrica.
Come fatto per l' esercizio precedente prima di tutto dobbiamo verificare che la struttura sia isostatica:
Passo 1
Per verificare l' isostaticità dobbiamo vedere se il numero dei vincoli (esterni e interni) e quello dei gradi di libertà è uguale:
V = l
Il numero di gradi di libertà è dato dal prodoto del numero delle aste per i gradi di libertà di ogni elemento:
l = 11 (aste) x3 (gradi di libertà) =33
Il numero di vincoli è dato dalla somma dei vincoli interni e esterni:
I vincoli esterni sono una cerniera, che blocca 2 gradi di libertà, e un carrello che blocca 1 gdl.
Ve = 3
Calcoliamo i vincoli interni con la formula: Vi = 2*(n -1) dove n è il numero di aste che arriva alla cerniera:
A-G = 2(2-1) = 2
B-D-E = 2(3-1) = 4
F = 2(4-1) = 6
C = 2(5-1) = 8
Avrò percio Vi = 30 che sommato al contributo di Ve da V = 33 = l VERIFICATO!
Passo 2
Calcolo ora le reazioni vincolari con l' equilibrio alla traslazione e alla rotazione:
Sostituisco i vincoli con le loro reazioni e imposto le equazioni di equilibrio:
- Equilibrio alla traslazione orizzontale
UB - UG = 0 ----> UB = UG
- Equilibrio alla traslazione verticale
VB - 2F = 0 ----> VB = 2F = 20 kN
- Equilibrio alla rotazione in B
- F*l - F*2l + UG*l = 0 ----> UG = 30 kN = UB
Disegno ora la struttura equilibrata:
Passo 3
Calcolo ora le azioni di contatto con il metodo dei nodi. Isoliamo cioè ogni nodo e calcoliamo l' equilibrio:
Nodo A
- Equilibrio alla traslazione orizzontale N1 = 0
- Equilibrio alla traslazione verticale N2 = 0
Nodo B
- Eq. trasl. orizzontale 30 kN + N4 + N3* √2/2 = 0
- Eq. trasl. verticale 20 kN + N3* √2/2 = 0 ----> N3 = -20√2 kN
N4 = - 10 kN
Nodo D
- Eq. trasl. orizzontale 10 kN + N6 = 0 ----> N6 = 10 kN
- Eq. trasl. verticale N5 = 0
Nodo C
- Eq. trasl. orizzontale 20 kN + N8 + 10 kN = 0 ----> N8 = -30 kN
- Eq. trasl. verticale 20 kN - 10 kN - N7*√2/2 = 0 ----> N7 = 10√2 kN
Nodo F
- Eq. trasl. orizzontale 10 kN + N11*√2/2 - 10 kN = 0 ----> N11 = 0
- Eq. trasl. verticale N9 + 10 kN = 0 ----> N9 = -10 kN
Nodo G
- Eq. trasl. orizzontale N10 = - 30 kN
Posso disegnare ora la struttura con gli sforzi assiali di ogni asta:
Possiamo notare come alcune aste nella struttura sono scariche.
Passo 4
A questo punto verifico se i calcoli sono giusti tramite SAP2000:
Reazioni vincolari.
Diagramma sforzo assiale.
ES 3. Dimensionamento trave (Legno,Acciaio,Calcestruzzo)
INTRO.
In questo esercizio andiamo a dimensionare la trave sottoposta a maggior carico dell' impalcato dell' edificio ad uso residenziale progettato nel Laboratorio di Progettazione 1.
Consideriamo la trave 2-3 nell' allineamento B. La trave ha una luce di 5 m e porta il carico di un' area di influenza di 3 m di interasse.
Primo passo nel dimensionamento della trave è l' analisi dei carichi che gravano sulla trave stessa. I carichi vengono classificati in 3 categorie:
- carichi strutturali permanenti (qs) : considera il peso proprio degli elementi strutturali permanenti come travi e travetti
- carichi non strutturali permanenti (qp) : considera il peso proprio degli elementi non strutturali che compongono il pacchetto solaio come massetti, pavimenti, impianti...
- carichi accidentali (qa) : è legato alla funzione dell' edificio in quanto considera la variazione dei carichi mobili all' interno dell' edificio come persone mobili, ma anche l' azione del vento, della neve...
Andiamo ora ad analizzare i carichi e dimensionare la trave per le tre tecnologie prese in considerazione: legno, acciaio calcestruzzo.
SOLAIO IN LEGNO
Consideriamo il seguente pacchetto di solaio:
PROGETTO DEL TRAVETTO
1.Carico strutturale(qs): -assito in legno P = volume x peso specifico = (0,035 m x 1 m x 1 m ) x 6 kN/mc = 0,21 kN/mq
2.Sovraccarico permanente(qp): -Sottofondo 0,54 kN/mq
-Isolante fibra di legno 0,072 kN/mq
-Caldana 0,28 kN/mq
-Impianti 0,5 kN/mq
-Tramezzi 1 kN/mq
qp = 0,54 + 0,072 + 0,28 + 0,5 + 1 = 2,33 kN/mq
3.Carichi accidentali(qa): - per civile abitazione 2 kN/mq
CARICO TOTALE
Q = ( qs + qp + qa ) x interasse = ( 0,21 kN/mq + 2,33 kN/mq + 2 kN/mq ) x 1 m = 4,54 kN/m
A questo punto scegliamo la classe di resistenza del legno per i travetti:
scelgo la classe GL24h con resistenza caratteristica a flessione di 24 N/mmq.
Per trovare la resistenza di progetto farò:
fD = Kmod x fk / γm = 0,5 x 24 N/mmq / 1,45 = 8,27 N/mmq
dove Kmod è un coefficiente correttivo che tiene conto dell' effetto, sui parametri di resistenza, sia della durata del carico sia dell' umidità della struttura.
Ora considerando il modello di una trave doppiamente appoggiata inserisco i dati nel foglio Excell:
--> TRAVETTO IN LEGNO GL24h 10X20 cm
PROGETTO TRAVE
Applico lo stesso procedimento per il dimensionamento della trave principale:
1.Carico strutturale(qs): -assito in legno P = volume x peso specifico = (0,035 m x 1 m x 1 m ) x 6 kN/mc = 0,21 kN/mq
-peso travetto (0,1 x 0,2 x 1) x 6 kN/mc = 0,12 kN/mq
2.Sovraccarico permanente(qp): qp = 0,54 + 0,0072 + 0,28 + 0,5 + 1 = 2,33 kN/mq
3.Carichi accidentali(qa): - per civile abitazione 2 kN/mq
CARICO TOTALE LINEARE: Q = (qs + qp + qa) x i = (0,32 + 2,33 + 2) x 3 m = 13,95 kN/m
Inserisco ora i dati nel foglio excell:
--> TRAVE IN LEGNO GL28h 20x40 cm
Verifico il dimensionamento aggiungendo il peso proprio della trave principale:
qtrave al metro lineare = (0,2 m x 0,4 m x 6 kN/mc) = 0,48 kN/m
qtrave al metro quadro = 0,48 kN/mq / 3 m = 0,16 kN/mq
qs = 0,32 kN/mq + 0,16 kN/mq = 0,48 kN/mq
La trave è verificata!
SOLAIO IN ACCIAIO
Consideriamo ora un solaio il lamiera grecata con travetti in acciaio:
PROGETTO DEL TRAVETTO
1.Carico strutturale(qs):
Il carico della lamiera grecata e del getto in cls è un valore tabellato. Ho scelto la lamiera A75/P570 con un carico di 2,50 kN/mq
2.Sovraccarico permanente(qp): -Pavimento in gres porcellanato 1 kN/mq
-Massetto 0,64 kN/mq
-Isolante fibra di legno 0,072 kN/mq
-Impianti 0,5 kN/mq
-Tramezzi 1 kN/mq
qp = 1 + 0,64 + 0,072 + 0,5 + 1 = 3,15 kN/mq
3.Carichi accidentali(qa): - per civile abitazione 2 kN/mq
CARICO TOTALE
Q = ( qs + qp + qa ) x interasse = ( 2,5 kN/mq + 3,15 kN/mq + 2 kN/mq ) x 1 m = 7,65 kN/m
A questo punto scelgo la classe di resistenza dell' acciaio dei travetti: S275.
La resistenza a flessione di progetto si ottiene dividendo il valore della resistenza caratteristica per il coefficiente di sicurezza
fy,K /1,05 = 275/1,05 = 261,9 N/mmq
Ora inserisco i valori trovati nel foglio di excel:
Nel caso dell' acciaio il foglio excel non ci dà l' altezza della trave ma il modulo di resistenza(Wx) minimo che la trave deve avere. A questo punto vado sul profilario e scelgo un profilo che abbia un modulo di resistenza maggiore di quello trovato a favore di sicurezza.
Scelgo il profilo IPE100 S275 con Wx = 34,2 cm3
PROGETTO DELLA TRAVE
Applico lo stesso procedimento per il dimensionamento della trave principale:
1.Carico strutturale(qs): -carico soletta 2,5 kN/mq
-peso travetto 0,08 kN/mq
2.Sovraccarico permanente(qp): qp = 1 + 0,64 + 0,0072 + 0,5 + 1 = 3,15 kN/mq
3.Carichi accidentali(qa): - per civile abitazione 2 kN/mq
CARICO TOTALE LINEARE: Q = (qs + qp + qa) x i = (2,58 + 3,15 + 2) x 3 m = 23,19 kN/m
Inserisco ora i dati nel foglio excel:
Scelgo la trave IPE240 S275 con Wx = 324 cm3
Verifico il dimensionamento aggiungendo il peso proprio della trave principale:
qtrave al metro lineare = 0,22 kN/m
qtrave al metro quadro = 0,22 kN/m/3 m = 0,073 kN/mq
qs = 2,58 kN/mq + 0,073 kN/mq = 2,65 kN/mq
Aggiungendo il carico della trave il Wx minimo rimane sotto i 324 cm3 della sezione scelta quindi la trave è VERIFICATA!
SOLAIO IN LATEROCEMENTO
Consideriamo ora un solaio in laterocemento con pignatte e travetti in cls:
ANALISI DEI CARICHI
1.Carico strutturale(qs): - pignatte 12 cm + caldana 4 cm = 2,36 kN/mq (valore tabellato)
2.Sovraccarico permanente(qp): -Pavimento parquet 0,18 kN/mq
-Massetto 0,64 kN/mq
-Isolante acustico 0,64 kN/mq
-Intonaco 0,3 kN/mq
-Impianti 0,5 kN/mq
-Tramezzi 1 kN/mq
qp = 0,18 + 0,64 + 0,64 + 0,3 + 0,5 + 1 = 3,26 kN/mq
3.Carichi accidentali(qa): - per civile abitazione 2 kN/mq
CARICO TOTALE
Q = ( qs + qp + qa ) x interasse = ( 2,36 kN/mq + 3,26 kN/mq + 2 kN/mq ) x 1 m = 7,62 kN/m
A questo punto scelgo la classe di resistenza dell' acciaio per barre da cemento armato. Posso scegliere tra due classi: la B450A e la B450C. Entrambe hanno lo stesso valore di tensione allo snervamento di 450 Mpa. Scelgo la B450C che essendo più duttile, viene utilizzata in zona sismica. Il coefficiente di sicurezza per barre da cemento armato è 1,15 e non 1,05 come nell' acciaio da carpenteria.
fy,K /1,15 = 450/1,15 = 391,3 N/mmq
Una volta scelto il tipo di acciaio scelgo il calcestruzzo e calcolo la tensione di progetto:
Le classi di resistenza del calcestruzzo vanno da C8/10 a C90/105, scelgo la classe C40/50 dove il primo numero rappresenta la resistenza cilindrica caratteristica (Fck) e il secondo la resistenza cubica caratteristica (Rck).
La tensione di progetto è data dalla formula:
Fcd = acc*Fck / gC
dove : acc è il coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata pari a 0,85;
gC è l coefficiente di sicurezza relativo al calcestruzzo pari a 1,5;
Perciò:
Fcd = 0,85 x 40 / 1,5 = 22,6 N/mmq
A questo punto inserisco i dati all' interno del foglio excel:
Dal foglio elettronico ricavo una trave 20x35 cm.
Ora faccio la verifica della trave scelta: per fare ciò aggiungo al valore dei carichi quello proprio della trave:
qtrave al metro lineare = 1,61 kN/m
qtrave al mq = 1,61/3 = 0,54 kN/mq
qs = qs + qtrave = 2,36 + 0,54 kN/mq = 2,9 kN/mq
Dalla verifica viene fuori un hu della trave di 28,21 cm che sommata ai 5 cm da un' altezza minima di 33,2 cm al di sotto dei 35 cm della trave scelta.
VERIFICATA!
ES 4. STRUTTURA RETICOLARE SPAZIALE
Per prima cosa disegno la struttura reticolare spaziale su AUTOCAD:
Apriamo un nuovo file e creiamo un nuovo layer "aste" poichè se disegnassi con il layer 0 poi SAP non lo riconoscerebbe.
Disegno aste di 2 m con il comando polilineae assegno come origine il punto (0,0) della struttura.
Ora utilizzo il comando array andando ad impostare i valori della serie rettangolare con 1 riga e 4 colonne a distanza di 2 m. Infine chiudo la serie con un asta verticale.
Ora effettuo una rotazione 3d (comando Ruota3D) e passo alla visualizzazione isometrica trdimensionale.
A questo punto cambio l' UCS in modo da disegnare le aste sul piano y-z facendo attenzione a disegnare sempre un modulo aperto in modo tale da non sovrepporre alcun asta.
Utilizzo di nuovo il comando array per duplicare il modulo lungo l' asse x ad una distanza di 2m.
Utilizzo ancora una volta il comando array per moltiplicare la struttura disegnata fino a ora. Imposto nella serie rettangolare 1 riga e 7 colonne alla distanza di 2m lungo l' asse y. Infine calcello l' ultima colonna per ottenere una struttura reticolare spaziale composta da 4 moduli lungo l' asse x e 6 moduli lungo l' asse y.
Salvo in AutoCAD 2000/LT2000 DXF per poi importare il file su SAP2000.
CALCOLO DELLA STRUTTURA IN SAP2000
Importo il file disegnato con Autocad su SAP ricordando di impostare come unità di misura KN,m,C.
A questo punto assegno i vincoli ai 4 angoli inferiori della struttura. Assegna->Nodo->Vincoli Esterni
Ora seleziono tutta la struttura e rilascio i momenti, in modo che le aste lavorino solo a sforzo normale. Assegna->Frame->Rilasci, e spunto il momento 22 e 33 sia all' inizio che alla fine.
Definisco il materiale della struttura per poi assegnarlo a tutte le aste. Definisci->Materiali->Nuovo materiale->seleziono steel e lo chiamo ACCIAIO.
Ora vado ad assegnare all’acciaio un sezione tubolare, quindi vado su Definisci->Proprietà Sezione->Aggiungi Nuova Proprietà e su Proprietà Tipo Sezione Frame seleziono l’acciaio e gli assegno la sezione tubolare, poi come materiale gli assegno “acciaio” cioè il materiale che ho creato in precedenza.
Assegno la sezione tubolare a tutte le aste tramite Assegna->Frame->Sezioni Frame e seleziono FSEC1 creata precedentemente.
Sulle aste vedrò comparire il nome della sezione assegnata.
Ora vado a definire il carico concentrato che assegnerò sui nodi superiori della struttura. Definisci->Schemi di carico e creo un nuovo carico che chiamerò "forza concentrata". N.B. Devo ricordare di assegnare al nuovo carico 0 come "Peso Proprio Moltiplic."
Ora seleziono tutti i nodi superiori della struttura e assegno il carico. Devo fare attenzione a selezionare solo i nodi superiori della struttura perciò nelle "Opzioni di Visualizzazione" nella colonna "Nodi" deseleziono "Invisibile" e nella colonna "Frame" seleziono "Frame non in vista".
In questo modo SAP mi fa vedere solo i nodi che andrò a selezionare.
Mi assicuro di aver selezionato solo i nodi superiori passando alla visualizzazione del piano x-z.
PERFETTO! Assegno il carico precedentemente creato alla selezione. Caricherò la struttura con una forza concentrata di 40 KN.
Riaccendo le aste e visualizzo le forze concentrate nei nodi.
Posso finalmente lanciare l' analisi. Seleziono DEAD e MODAL e clicco "Non eseguire caso".
L' analisi mi fa visualizzare la deformata della struttura:
Per visualizzare il valore dello sforzo assiale su ogni asta faccio: Mostra sollecitazioni->Tensioni Frame->Sforzo assiale.
Ora devo individuare le aste con maggiore sforzo assiale sia di compressione che di trazione. Vado perciò su
Visualizza->Mostra Tabelle e in "Risultati Analisi" seleziono "Output Elemento".
Nella tabella scelgo l' asta con il maggior sforzo di compressione (-385,631 KN):
E l' asta con maggior sforzo di trazione (263,469 KN):
PROGETTO DELLE ASTE
-Progetto a compressione
Devo innanzitutto scegliere il tipo di acciaio con cui realizzerò le aste. Scelgo un S275 con tensione di snervamento di 275 MPa.
Sapendo che σ = fD = N/A posso ricavare l' area minima necessaria. Applico perciò la relazione:
A = N/fD dove fD è la tensione di design.
La tensione di progetto si ricava dalla formula: fD = fy/ϒm = 275/1,05 = 261,90 MPa
,dove fy è la tensione caratteristica di snervamento e ϒm è il coefficiente di sicurezza per acciaio da carpenteria pari a 1,05.
A = Nmax(compressione)/fD = 385631 N/261,9 N/mm2 = 1472,436 mm2 = 14,72 cm2
Ora prendo il profilario e scelgo una sezione che abbia un ' area maggiore di quella trovata:
Scelgo un tubolare con diametro di 11,43 cm e spessore di 4,5 mm con area di 15,5 cm2.
-Progetto a trazione
Applico la stessa formula per il progetto a trazione, mantenedo il tipo di acciaio che ho scelto per le aste compresse:
A = Nmax(trazione)/fD = 263469 N/261,9 N/mm2 = 1006 mm2 = 10,06 cm2
Scelgo un tubolare con diametro di 8,89 cm e spessore di 4 mm e area di 10,7 cm2.
VERIFICA SNELLEZZA
Nell’asta soggetta a compressione, inoltre, occorre verificare che l’asta non sia troppo snellaper non incorrere in uno sbandamento laterale. Attraverso la formula di Eulero posso calcolarmi il valore del carico critico per cui si innesca il fenomeno dello sbandamento:
-
Se Nmax ≥ Pcrit → Asta instabile
-
Se Nmax < Pcrit → Asta stabile
Pcrit = (∏² * E * Jmin) / l₀² dove: E = modulo elastico dell' acciaio
Jmin = momento d’inerzia minore
l0 = lunghezza libera d' inflessione, che dipende dalla luce e dalla condizione di vincolo Nel nostro caso i vincoli sono costituiti solo da cerniere per cui l₀ = l, dove l è la lunghezza dell’asta quindi pari a 2,828m (poiché l’asta soggetta a massimo sforzo di compressione è una delle aste inclinate)
Pcrit = (3,14² * 210000N/mm² * 2340000 mm⁴) / 2828² mm = 605808N = 605,808 KN
Nmax = 385,631KN < Pcrit = 605,808 KN → la sezione è verificata.
ES 5. RIPARTIZIONE FORZE SISMICHE
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