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Prendo in considerazione un telaio con 2 travi (rigide assialmente) parallele incastrate agli estremi messe in orizzontale, inserisco tra le due travi 5 elementi infinitamente rigidi (assialmente e flessionalmente) con passo costante. Applicando una forza pari ad F su ogni traverso ottengo la seguente situazione:

nella seconda immagine vediamo la deformazione dovuta alle forze applicate. Specifico che la struttura è simmetrica e che entrambe le travi hanno la stessa rigidezza.

Ora calcolo i tagli nei vari tratti delle travi ricordando che, per simmetria, il taglio nel primo tratto della trave superiore è uguale al taglio nel primo tratto della trave inferiore, al taglio dell'ultimo tratto della trave superiore e all'ultimo tratto della trave inferiore. T= (12 EI / l^3)*d1
Sempre per simmetria: il taglio nel secondo tratto della trave superiore=taglio nel secondo tratto trave inferiore. T= (12 EI / l^3)*d2
Nel primo traverso, per equilibrio ottengo quindi l'equazione F + [(24 EI / l^3)*d2] - [(24EI / l^3)*d1] = 0
d1 e d2 sono incognite, non posso ancora risolvere quindi proseguo i calcoli avanzando dall'estremità del telaio verso il centro.

Il taglio nel secondo tratto di trave è T= (12 EI / l^3)*d2
Nel terzo tratto di trave abbiamo T= (12 EI / l^3)*d3
Nel secondo traverso per equilibrio ottengo l'equazione F + [(24 EI / l^3)*d3] - [(24EI / l^3)*d2] = 0
Le incognite sono sempre due (d2 e d3), analizzo il terzo e quarto tratto dove come incognita avrò solo d3.
Il taglio nel terzo tratto (superiore e inferiore) di trave è uguale al quarto tratto. T= (12 EI / l^3)*d3
Nel terzo traverso (quello centrale) per l'equilibrio ottengo l'equazione F - [(48EI / l^3)*d3] = 0

Posso quindi stabilire che d3 = Fl^3 / 48 EI

Sostituendo il valore di d3 nell'equazione precedente troverò che d1 = 5 Fl^3 / 48 EI ; d2 = Fl^3 / 16 EI
Sostituisco i valori trovati nelle equazioni del taglio e trovo i valori riportati nell'immagine:

Posso quindi calcolare i momenti con i valori riportati nell'immagine:

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Se considero il momento d'inerzia della trave inferiore 9 volte maggiore del momento d'inerzia della trave superiore dovrò chiaramente differenziare i calcoli. C'è sempre una simmetria tra il primo e l'ultimo tratto superiore così come c'è sempre simmetria tra il primo ed ultimo tratto nella trave inferiore.

Considero quindi che il taglio nel primo tratto è dato da (12 EI / l^3)*d1 (trave superiore) più (108 EI / l^3)*d1 (trave inferiore con I maggiore). Nel secondo tratto ho un taglio dato da (12 EI / l^3)*d2 più (108 EI / l^3)*d2.
Nel primo traverso per l'equilibrio quindi ottengo che F + [(120 EI / l^3)*d2] - [(120 EI / l^3)*d1] = 0

Nel secondo traverso per l'equilibrio ottengo che F + [(120 EI / l^3)*d3] - [(120 EI / l^3)*d2] = 0

Nel terzo traverso per l'equilibrio ottengo che F - [(240 EI / l^3)*d3] = 0
Quindi d3 = Fl^3 / 240 EI

Sostituisco il valore di d3 nell'equazione precedente e trovo d1 = Fl^3 / 48 EI ; d2 = Fl^3 / 80 EI

Il valore del taglio è riportato nell'immagine qui sotto:

Il valore del momento nei vari tratti è riportato nell'immagine qui sotto:

Soluzione di un telaio multipiano Shear Type attraverso il metodo delle rigidezze.

- Ipotizzo la deformata

- Attraverso l'equilibrio delle forze orizzontali del 3° traverso trovo lo spostamento relativo e i valori dei tagli

- Equilibrio delle forze orizzontali del 2° traverso

- Equilibrio delle forze orizzontali del 1° traverso, ricavo che lo spostamento è uguale a 0 

- Diagramma del Taglio e del Momento

- Deformata, Taglio e Momento con SAP

ESERCIZIO

Come primo passaggio ipotizzo la deformata, partendo sempre dal basso verso l’alto. Man mano che la disegno identifico δ sapendo che δ₁ deforma il piano terra, e trascina quelli sopra. Quindi δ₂ sarà la deformazione del primo piano mentre il terzo si sposta orizzontalmente di δ₁ + δ₂ e si deforma di δ₃.

Usando come modello di riferimento una trave doppiamente incastrata che ha un cedimento δ determino il taglio che agisce su ogni traverso.

Posso quindi definire le equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale dei traversi:

1)    F = (4 x 12EI/h^3) x δ₃

Da cui ottengo δ₃ = Fh^3/48EI

E quindi T = 12EI/h^3 x Fh^3/48EI = F/4

2)    2F = (4 x –F/4) + [(3 x 12EI/h^3) x δ₂]

Da cui ottengo δ₂ = Fh^3/12EI

E quindi T = 12EI/h^3 x Fh^3/12EI = F

3)    -3F +3F = (2 x 12EI/h^3) x δ₁ + 12EI/(h/2)^3 x δ₁

Da cui ottengo δ₁ = 0

E quindi T = 0

Sapendo che per questo modello di trave il momento è M = 6EI/h^3 x δ ottengo i momenti:

1. M =6EI/h^3 x Fh^3/48EI = Fh/8
2. M = 6EI/h^3 x Fh^3/12EI = Fh/2
3. M = 0

Sap 2000

Imposto l'esercizio su Sap inserendo h=2m e F=100kN

Inserisco nuovamente la seconda esercitazione perchè si è cancellata dal blog.

ESERCIZIO 1

La struttura presa in esame è 2 volte iperstatica quindi per poterne studiare la deformazione le conferisco 2 GdL consentendo la rotazione relativa nei punti B e C. Così facendo posso trovare il valore dell’azione esercitata dai vincoli in B e C, rispettivamente x₁ e x₂.

Inoltre per semplificare il calcolo sostituisco la mensola con il momento da essa prodotto: q(l/2)^2/2 = ql^2/8 

Punto B: la rotazione relativa Δφ_B = Δφ_Bs - Δφ_Bd = 0

Δφ_B = ql^2/16 -2x₁/3 –x₂/6 = 0

Punto C:la rotazione relativa Δφ_C = Δφ_Cs – Δφ_Cd = 0

Δφ_C = ql^2/12 -x₁/6 –2x₂/3 = 0

Mettendo a sistema le equazioni delle rotazioni relative ottengo x₁ e x₂:

x1 = ql^2/15

x2 = 13ql^2/120

ESERCIZIO 2

La struttura presa in esame è 1 volta iperstatica quindi per poterne studiare la deformazione le conferisco 1 GdL sostituendo l’asta BD con x, supponendo l’asta tesa. In questo modo ottengo due strutture isostatiche: la mensola con carico distribuito q e forza concentrata all’estremo B, x, e la trave appoggiata con carico distribuito q e forza concentrata in mezzeria x.

Dobbiamo porre come condizione v_B = v_C poiché abbiamo eliminato l’asta ma teniamo in considerazione la sua azione: impedisce l’allontanamento e l’avvicinamento dei punti B e D.

Punto B:lo spostamento relativo v_B = v_B(q) + v_B(x)

v_B = ql^4/8EI – xl^3/3EI

Punto D: lo spostamento relativo v_D = v_D(q) + v_D(x)

v_D = 5ql^4/384EI + xl^3/48EI

Posto v_B = v_C ottengo: x = 43ql^2/136