Esercitazione

Risolviamo una struttura iperstatica con il metodo delle forze, che consiste nel porre come incognite delle reazioni vincolari, tante quanti sono i gradi di iperstaticità della struttura (nel nostro caso quindi 3). È importante definire bene queste incognite affinchè non rendano labile il sistema della struttura di partenza.

In questo caso le reazioni incognite coincidono con i momenti flettenti, rappresentati come coppie uguali ed opposte, il cui effetto cinematico è quello di evitare la rotazione delle sezioni su cui agiscono, la cui rotazione sarebbe concessa dalle cerniere e precedentemente negata dai vincoli.

Definiamo le equazioni di compatibilità cinematica per ripristinare il vincolo iperstatico

∆ϕB=0   ;     ∆ϕB= ϕBs + ϕBd =0   ;   ϕBs = ϕBd

∆ϕC=0   ;     ∆ϕC= ϕCs + ϕCd =0   ;   ϕCs = ϕCd

∆ϕD=0   ;     ∆ϕD= ϕDs + ϕDd =0   ;   ϕDs = ϕDd

Ora andiamo a studiare le rotazioni nei nodi B e C (è una struttura simmetrica uindi B=D), ponendo i valori noti per una trave appoggiata con un momento applicato a un estremo in modo che mettendole a sistema possiamo ricavare i valori delle incognte X1 e X2

ϕBs = (ql³)24EI  -  (X1l)/3EI

ϕBd = -(ql³)24EI  +  (X1l)/3EI  -  (X2l)/6EI      

ϕCs = (ql³)24EI  -  (X2l)/3EI  -  (X1l)/6EI

ϕCd = -(ql³)24EI  +  (X2l)/3EI  -  (X1l)/6EI      

mettendo le equazioni a sistema otteniamo i valori di X1 e X2 pari a

X1 =( 3ql²)/28               X2=(ql²)/14

Ora, per applicare il principio di sovrapposizione per trovare il valore delle reazioni semplifichiamo ulteriormente la struttura isostatica in 2 stutture: una dipendente dal carico q e l’altra dipendente dalla reazione vincolare x

In entrambi i casi possiamo scomporre la struttura in quattro travi reciprocamente incernierate, tutte doppiamente appoggiate sulle quali studieremo le reazioni dipendenti dal carico q e dall’incognita x

Per il carico q

per il momento x

A questo punto possiamo determinare i diagrammi di taglio e momento flettente della struttura iperstatica attraverso l’applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti. Quindi andiamo a sovrapporre gli schemi degli effetti dovuti alla densità di carico e alla coppia x per le strutture isostatiche di riferimento.

Anzitutto si osserva che la trave Vieerendel può essere vista può essere vista come un telaio con travi ShearType le cui proprietà sono note e verificate.

Prima di elencarle è necessario precisare che la risoluzione totale di un telaio ShearType attraverso metodi analitici base può avvenire quando esso si appoggia su due incastri: in questo caso la struttura ha un'ulteriore iperstaticità conferita dal doppio incastro aggiuntivo che come vedremo impedirà la determinazione dello sforzo Normale, in realtà anche a causa del modello stesso che prevede il ritto come infinitamente rigido.

Per via delle sua trave indeformabile lo spostamento in una trave ShearType non può essere diverso da quello rappresentato in figura poichè le travi in generale si ammettono indeformabili assialmente.

La struttura si deforma per assecondare la sua iperstaticità esattamente come una trave doppiamente incastrata sottoposta a cedimento vincolare sull'incastro.

Il cedimento vincolare genera tensioni, figlie in questo caso della forza applicata orizzontalmente.

L'integrazione della linea elastica avviene a partire dall'equazione EIv^IV + q= 0 ma q=0.

φ(s) = 1/2 c₁s² + c₂s + c₃
v(s) = 1/6c₁s³ + 1/2c₂s² + c₃s + c₄

φ(0)=0, φ(l)=0, v(0)=0, v(l)=-δ ⇒ c₁=12/l³ δ , c₁=6/l² δ

χ(s)=φ'(s)= 12/l³ δs - 6/l² δ, M(s)=EIχ=12EI/l³ δs - 6EI/l² δ
⇒ -M'=T ⇒ T(S)=-12EI/l³ δ

F = 2T = 24EI/l³ δ ⇒ δ = Fl³/24EI

Iterando il modello su un telaio ShearType semplice su due incastri con forze F orizzontali agenti su ogni asta orizzontale si può facilmente verificare che:

- il taglio a partire dall'alto verso il basso per ogni asta verticale è F/2 più tutto il contributo in termini di Forze agente sopra di esso
- il momento è il taglio di quell'asta per la metà del braccio (il pilastro nel telaio ShearType)

Il telaio è stato ruotato a rappresentare una Vieerendel aggettante (il funzionamento è il medesimo)

Tornando alla Vieerendel doppiamente appoggiata può essere utile (data la simmetria della struttura) raffigurarla secondo la seguente logica:

Considerando l e F valori parametrici sostituibili al processo generale illustrato precedentemente (non all'esempio!) facilmente troviamo:

T_CD=F/4 = 12EI/l³ δ ⇒ δ = Fl³/48EI
T_BC=F/4 + F/2 = 3/4 F = 12EI/l³ δ ⇒ δ = 3Fl³/48EI
T_AB=3F/4 + F/2 = 5/4 F = 12EI/l³ δ ⇒ δ = 5Fl³/48EI

Sull'incastro invece per la rigidità dei ritti e la simmetria della struttura la forza totale agente (5/4F) si ripartisce sui 4 incastri.

TAGLIO

MOMENTO

Anche i ritti posseggono un loro equilibrio al momento che è nella fattispecie risolvibile attraverso l'equilibrio nel nodo. Il momento rimane lineare e i picchi, che si hanno nei punti estremi della trave, sono la somma dei valori (tenendo conto dei segni) del momento sulle sezioni di trave orizzontale collegate al nodo.

MOMENTO NEI RITTI

Verifichiamo dunque la validità dei risultati su SAP2000.
Una volta disegnata la struttura assegnamo alle travi e ai ritti sezioni diverse sezioni e al loro incrocio un carico verticale di 10KN con un LoadPatterns con Weight Multiplier = 0.

Con sezioni quadrate di 40cm per lato indistintamente dalla sua posizione l'esercizio non sembra essere coerente ai risultati ottenuti. Questo perchè i ritti hanno un fattore EI non sufficiente a rendere quanto più indeformabile la trave.

Il modello scelto consente infatti una valutazione bonaria delle azioni di contatto ma lontana dalla realtà. Infatti per avere risultati efficaci (senza modificare le proprietà del materiale) bisogna assegnare una sezione di 3x3m.

Qui di seguito i grafici con le sezioni così assegnate.

TAGLIO

MOMENTO

SFORZO NORMALE

A partire dal precedente schema strutturale iperstatico si vuole ottenere l'andamento di Momento e Taglio per ogni sezione di esso. Partiamo anzitutto riducendo la struttura ad una isostatica sostituendo per ciascun vincolo incognito una forza, intesa come ente dinamico capace di generare spostamento, tale che per l'intorno del punto in cui viene applicata la situazione cinematica rimanga inalterata.

Questo algoritmo prende il nome di Metodo delle Forze.

Si vuole ridurre il grado di vincolo del carrello in modo tale che esso consenta la rotazione relativa delle aste da esso collegate.

Per ripristinare la continuità sarà necessario dunque applicare un momento tale da ripristinare la continuità:

Per porre dei riferimenti sulla trave indichiamo con le seguenti lettere i punti di discontinuità della trave:

Ricordiamo inoltre i seguenti schemi noti riguardo le rotazioni generate su trave appoggiata rispettivamente da un carico distribuito e da un momento applicato su uno dei carrelli terminali:

Essendo la struttura simmetrica possiamo analizzare la struttura fino al punto C sapendo che Taglio e Momento rispettimente saranno antisimmetrico e simmetrico.

Δφ_B=0 così come Δφ_C=0 inoltre agli estremi di B e C i comportamenti delle sezioni di frontiera saranno diversi quindi vanno studiati e analizzati

φ_Bsx = ql³/24EI - X₁l/3EI, φ_Bdx = -ql³/24EI + X₁l/3EI + X₂l/6EI
φ_Csx = ql³/24EI - X₂l/3EI - X₁l/6EI, φ_Cdx = -ql³/24EI + X₂l/3EI + X₁l/6EI

ql³²/24EI - X₁l/3EI = -ql³²/24EI + X₁l/3EI + X₂l/6EI
ql³²/24EI - X₂l/3EI - X₁l/6EI = -ql³²/24EI + X₂l/3EI + X₁l/6EI

ql²/4 - 2X₁ - X₂/2 = 0
ql²/4 - 2X₂ - X₁ = 0 ⇒ X₁ = ql²/4 - 2X₂

ql²/4 - 2ql²/4 +4X₂ - 2X₂/2  ⇒ X₂ = ql²/14

X₁ = ql²/4 - 2ql²/14 ⇒ X₁ = 7ql²-4ql²/28 ⇒ X₁ = 3ql²/28

Poniamo in equilibrio le singole aste e quindi ricaviamo l'equilibrio per l'asta isostatica sottoposta a momenti flettenti in A,B,C

+

=

Le funzioni che descrivono il Taglio sono:

T_AB(s) = 11/28ql - qs ⇒ T_AB(l) = -17/28ql
T_BC(s) = -17/28ql + 8/7ql - qs ⇒ T_BC(0) = 15/28ql,  T_BC(l) = 13/28ql

e poichè dM/ds = - T ⇒ M(s) = - ∫T(S) le equazioni del Momento saranno (tenendo conto del valore del momento generato dall'eventuale asta precedente):

M_AB(s) = -11/28qls - qs²/2 ⇒ M_AB(l) = 3/28ql² ,  M_AB(11/28l) = 121/1568ql²
M_AB(s) = -15/28qls - qs²/2 +3/28ql²⇒ M_BC(l) = 1/14ql² ,  M_BC(15/28l) = 57/1568ql²

Il secondo esercizio riguarda una struttura composta sempre da 6 telai shear type sovrapposti e ruotati, ma in questo caso la struttura rimanda ad una trave doppiamente incastrata per via della presenza degli incastri anche sulla destra. Qualitativamente ci aspettiamo risultati almeno in parte diversi e sfruttiamo per i nostri calcoli il concetto di simmetria di cui la struttura gode.

Il primo passo rimane il medesimo rispetto all’esercizio precedente, ossia il calcolo dei valori costanti del Taglio nei pilastri sempre tramite l’equilibrio delle forze orizzontali. Mentre per i telai più esterni non abbiamo particolari problemi, per i due centrali, per la simmetria, dobbiamo avere l’accortezza di ripartire la forza F agente in 4 forze F/4:

I valori del Taglio ottenuti consentono di calcolare i valori del Momento Flettente massimo negli incastri nei pilastri. Infatti, è sufficiente moltiplicare il valore del taglio nel pilastro in questione per la metà della lunghezza dello stesso:

A questo punto passiamo ad analizzare le travi e prima di tutto calcoliamo il loro Momento Flettente sempre mediante l’equilibrio dei momenti nei nodi:

Ora avendo i valori dei Momenti, determiniamo quelli del Taglio nelle travi. Come nell’esercizio analogo precedente i due momenti agli estremi sono concordi, quindi sommiamo i loro valori e dividiamo il risultato ottenuto per la luce, ovvero per il braccio, quantificando così il valore del Taglio:

Inutile ripetere come i pilastri abbiano tutti la medesima rigidezza che, dallo studio del telaio shear type, possiamo ritenere uguale a 12EI/L³. A questo punto siamo in possesso di tutti i requisiti utili alla determinazione degli spostamenti. Ancora una volta ci affidiamo all’equilibrio alla traslazione orizzontale del corpo rigido identificato con la trave:

VERIFICA SU SAP

Come fatto in precedenza, verifichiamo i risultati ottenuti attraverso il software SAP. Utilizziamo nuovamente un modello “2D Frames” e impostiamo numero di piani, di campate e lunghezze. Assegniamo sempre ai pilastri il materiale acciaio di default e una sezione di un profilo qualsiasi; per quanto riguarda le travi, invece, ricordiamoci di modificare i parametri giusti al fine di renderle infinitamente rigide da un punto di vista flessionale: teniamo sempre a mente che la rigidezza dipende dal materiale (modulo elastico E), dalla sezione (momento d’inerzia I) e dalla luce (L), quindi scegliamo di assegnare un materiale dal modulo elastico infinitamente elevato. Come possiamo vedere dalle immagini dei diagrammi di Taglio e Momento e dalla deformata i risultati precedentemente calcolati sono in linea con il reale comportamento della struttura:

Il  primo esercizio riguarda una struttura composta da 6 telai shear type sovrapposti, ma ruotata come se fosse una mensola. Come vedremo, però, rispetto alla canonica mensola della medesima lunghezza può vantare valori del Momento flettente molto più contenuti.

Innanzitutto, possiamo calcolare rapidamente i valori costanti del Taglio nei pilastri utilizzando l’equilibrio delle forze orizzontali. Nell’analisi precedente del Telaio Shear Type abbiamo potuto constatare come la forza agente si ripartisca in maniera proporzionale alla rigidezza e, conseguentemente, alla luce. Essendo i nostri pilastri tutti di uguale lunghezza, materiale e sezione, avranno la stessa rigidezza, quindi si fanno carico ciascuno della metà della forza agente:

I valori del Taglio ottenuti consentono di calcolare i valori del Momento Flettente massimo negli incastri, sempre per quanto concerne i pilastri. Infatti, è sufficiente moltiplicare il valore del taglio nel pilastro in questione per la metà della lunghezza dello stesso:

A questo punto passiamo ad analizzare le travi e prima di tutto calcoliamo il loro Momento Flettente mediante l’equilibrio dei momenti nei nodi:

Ora avendo i valori dei Momenti, determiniamo quelli del Taglio nelle travi. Essendo i due momenti agli estremi concordi, sommiamo i loro valori e dividiamo il risultato ottenuto per la luce, ovvero per il braccio, quantificando così il valore del Taglio:

In precedenza abbiamo sottolineato come i pilastri abbiano tutti la medesima rigidezza che, dall’analisi precedente del telaio shear type, possiamo ritenere uguale a 12EI/L³. A questo punto siamo in possesso di tutti i requisiti utili alla determinazione degli spostamenti. Ancora una volta ci affidiamo all’equilibrio alla traslazione orizzontale del corpo rigido identificato con la trave:

VERIFICA SU SAP

In ultima istanza, possiamo verificare i risultati ottenuti mediante SAP. Utilizziamo un modello “2D Frames” con il numero di piani e di campate identico a quello in esame e con le medesime lunghezze. Assegniamo ai pilastri il materiale acciaio di default e una sezione di un profilo qualsiasi; per quanto riguarda le travi, invece, dobbiamo far attenzione a modificare i parametri giusti al fine di renderle infinitamente rigide da un punto di vista flessionale: essendo la rigidezza dipendente dal materiale (modulo elastico E), dalla sezione (momento d’inerzia I) e dalla luce (L), è sufficiente assegnare un materiale dal modulo elastico infinitamente elevato. Come possiamo vedere dalle immagini dei diagrammi di Taglio e Momento e dalla deformata i risultati precedentemente calcolati sono in linea con il reale comportamento della struttura:

Prima di procedere con l’esercitazione è bene definire il concetto di rigidezza. Essa può essere espressa come la forza necessaria ad imprimere uno spostamento unitario, dal momento che la forza F è pari alla rigidezza K per lo spostamento d. In sostanza è ciò che lega la causa (forza) all’effetto prodotto (spostamento): maggiore è la rigidezza, maggiore dovrà essere la forza necessaria a produrre un medesimo spostamento.

TELAIO SHEAR TYPE

Questo tipo di telaio costituisce una delle 2 configurazioni limite attraverso la quale studiamo in maniera ideale il comportamento di un portale. In particolare esso è legato intrinsecamente al concetto di rigidezza, in quanto un assunto imprescindibile è che la trave sia considerata come un corpo rigido piano, la cui rigidezza flessionale infinita non ne consente alcuna deformazione.

Non essendoci deformazione, né rotazione negli incastri tra pilastri e trave, quest’ultima trasla orizzontalmente di una lunghezza dche intendiamo conoscere. Siccome la forza F è nota, necessitiamo della rigidezza dei pilastri, unici elementi deformabili del sistema e oggetto della nostra analisi. 

Il pilastro in esame è una struttura 3 volte iperstatica dal momento che è incastrato ad entrambi gli estremi, ma possiamo imporre un cedimento vincolare elastico nell’estremo destro per il quale l’elemento si deforma. La deformazione presuppone una curvatura e di conseguenza un momento, a prescindere dalla presenza di un carico.

Proprio l’assenza del carico ci consente di utilizzare con maggiore semplicità l’integrazione della linea elastica:

Per trovare le 4 costanti di integrazione incognite investighiamo le condizioni al bordo:

A questo punto possiamo scrivere le equazioni dello spostamento e della rotazione:

Deriviamo la rotazione jper ottenere la curvatura. Da quest’ultima ricaviamo il Momento flettente M e il Taglio T che ne è la derivata:

Ottenute le equazioni di taglio e momento, possiamo diagrammare i due sforzi:

Le tensioni calcolate sono le reazioni vincolari nel pilastro, ma dobbiamo tenere a mente che esso fa parte di un telaio, quindi tali tensioni si trasmettono, uguali ed opposte, all’interno della trave:

PILASTRO                                                                                       TRAVE

Attraverso l’equilibrio alla traslazione orizzontale del corpo ridido trave calcoliamo il valore dello spostamento de della rigidezza: