SdC(b) (LM PA)

Progettazione Strutturale B (LM PA)

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1. Analizzando la struttura presa in esame si vede che si tratta di una struttura 3 volte iperstatica

2. La struttura è simmetrica ( geometria, vincoli, carichi), questo mi permette di studiarla semplificandola

3. Considerandola spezzata ora la struttura è 2 volte iperstatica

4. Rompo la continuità della trave e passo da una struttura iperstatica ad una stuttura nota, introducendo delle rotazioni interne (X)

5. Analizzando ogni tratto, faccio in modo di annullare la rotazione relativa delle cerniere interne

6. Applicando il principio di sovrapposizione dei due tratti presi in esame per poter risolvere il sistema

7. Studio il comportamento dell'asta soggetta a carico distribuito (q) e a momento (X)

8. Utilizzo la linea elastica per trovare il reale valore di X

9. Risolvo il sistema

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1) Analizzo la struttura in esame e noto che si tratta di una struttura iperstatica 4 volte.

2) Prendo in considerazione la simmetria relativa alla struttura in modo da semplificarne lo studio 

3) La struttura (divisa a metà) ora è una volta iperstatica

4) Ora posso trovare un sistema isostatico equivalente a quello iperstatico, rompo la continuità della trave unica in aste distinte introducendo delle rotazioni interne ( coppia X)

5) trovare il valore di X in modo che la struttura isostatica sia equivalente a quella ipestatica 

6) prendo in considerazione il singolo tratto AB 

7) Il tratto AB attraverso il principio di sovrapposizione delle forze viene studiato attrraverso dua casi indipendenti 

8) Quindi studio il comportamento dell'asta soggetta prima a carico distribuito e successivamente prendendo in considerazione il momento X.

9) In quanto strutture isostatiche sfrutto la linea elastica per trovare l'effettivo valore di X. Tiro fuori le informazioni cinematiche per trovare il valore di X.

10) Risolvo il sistema isostatico come la somma di due effetti

11)svolgo il medesimo procedimento per gli altri tratti della struttura .

 

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METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE

Il metodo delle forze è uno dei possibili metodi risolutivi per strutture iperstatiche semplici.

In generale, possiamo riassumere il suo svolgimento nel seguente modo: scegliamo, tra i possibili schemi notevoli, una struttura isostatica di riferimento equivalente alla struttura iperstatica data.

L'isostatica equivalente si ottiene degradando nella struttura iperstatica di partenza i vincoli (interni o esterni) in maniera opportuna affinché il sistema non diventi labile.

La struttura isostatica ottenuta risulta quindi essere soggetta, oltre ai carichi esterni, alle reazioni vincolari dovute ai vincoli soppressi; tali reazioni vincolari prendono il nome di incognite iperstatiche e il loro numero corrisponde al grado di iperstaticità.

Le incognite iperstatiche vengono determinate a partire dalle equazioni di congruenza (con le quali imponiamo il rispetto delle condizioni cinematiche relative ai vincoli soppressi) e attraverso l'applicazione del metodo di sovrapposizione degli effetti.

Infine una volta individuato il valore delle incognite iperstatiche si può procedere alla definizione delle reazioni vincolari per la struttura isostatica e alla determinazione dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione.

 

Risolviamo ora il seguente esercizio attraverso il metodo delle forze esplicitando i passaggi:

  1. analizzando qualitativamente la struttura notiamo che si tratta di una trave continua con carico uniformemente distribuito. Inoltre il sistema è 3 volte iperstatico, ma poiché si tratta di una struttura simmetrica per geometria, carichi e vincoli anche la sua soluzione sarà simmetrica: possiamo quindi considerarne una sola porzione (tratto AB e BC) e dire che per simmetria la struttura è 2 volte iperstatica.

  2. Individuiamo la struttura isostatica di riferimento: scomponiamo la trave continua in una serie di travi appoggiate, degradando la cerniera passante in una serie di cerniere interne.

 

  1.  Mettiamo in evidenza il momento flettente incognito sulle cerniere interne per garantire l'uguaglianza della cinematica tra l'isostatica e la struttura iperstatica di partenza.

 

  1. Dobbiamo determinare il valore di X e Y, attraverso il sistema delle equazioni di congruenza:

                                          ∆ φB = 0

                                          ∆ φC = 0

  1. Applichiamo il principio di sovrapposizione degli effetti nei due tratti in esame per poter risolvere il sistema delle equazioni

 

  1. Determinati ∆ φB e ∆ φC , risolviamo il sistema:

                                         ql2 – 8X – 2Y = 0

                                         ql2 – 4X – 8Y = 0

  1. da cui ricaviamo il valore delle due incognite X e Y che ripristinano la continuità della trave:

  1. A questo punto per completare l'esercizio si può proseguire con calcolo delle reazioni vincolari e la determinazione dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione.

 

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1- Noto che corrisponde a una trave continua su più appoggi.

2- La struttura è simmetrica per vincoli (la cerniera posso considerarla un carrello non essendo presente una forza assiale), geometria e carichi.

3- Data la simmetria la struttura non è iperstatica 3 volte ma 2.

4- Passo da questa struttura iperstatica ad una sottostruttura nota: trave doppiamente appoggiata.

5- Introduco le cerniere interne aggiungendo una coppia di forze concentrate per ottenere una struttura equivalente. Attraverso questa coppia ristabilisco la continuità del momento.

6- Faccio in modo che si annulli la rotazione relativa delle cerniere interne

  - Δ(Φ)=0

  - Δ(Φ)=(Φs)-(Φd)

7- Per trovare (Φbs) considero il tratto della trave doppiamente appoggiata AB ed applico il principio della sovrapposizione degli effetti

8- Studio l'effetto del carico q e la forza concentrata X per trovare (Φbs)

9- Faccio lo stesso nel tratto BC ottenendo un'equazione contenente le incognite X e Y (l'equazione di Δ(Φb))

10- Ripeto il procedimento per ottenere Δ(Φc), studiando il tratto BC,CD.

11- Metto a sistema le due equazioni trovate e ricavo X e Y

 

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1) Analizzare la struttura e individuare i gradi di iperstaticità della stessa;

2) Trasformare la struttura iperstatica in un modello noto isostatico;

3)Sostituire, perciò,un vincolo della struttura di partenza con un vincolo che presenta un numero inferiore di gradi di vincolo come  per esempio un incastro in una cerniera;

4)Nel caso di una trave continua, spezzare la trave e riprodurre la situazione di partenza garantedo la contiuità della funzione momento negli appoggi come si verificherebbe in una trave continua;

5) Inserire, perciò una forza generalizzata X, ovvero una coppia a destra e a sinistra nel punto di interruzione della trave;

6) Inserire, perciò, un'incognita cinematica che riequilibri la struttura, e ricrei perfettamente la condizione della struttura di partenza;

7) Più gradi di iperstaticità caratterizzano la struttura più icognite cinematiche si dovranno inserire;

8)La coppia X a destra e a sinistra perciò saranno forze interne che impediranno al corpo di spezzarsi e garantiranno la continuità della struttura nel caso di una trave continua;

9)Perciò, se l'operazione è stata quella di inserire una coppia,l'equazione cinematica che permetterà di trovare la forza generalizzata sarà imporre la rotazione pari a zero ( la mia forza generalizzata è una forza di taglio basterà imporre come condizione cinematica che lo spostamento trasversale sia pari a zero, così come per lo sforzo normale lo spostamento assiale sia uguale a zero;

10)Capire che spezzando la struttura, il vincolo nel punto inizia a reagire e nel caso di un carrello si verificherà la presenza di una reazione vincolare parallela all'asse del carrello;

11)Questa reazione del carrello si traduce come un carico singolare;

12)Il grafico del taglio perciò avrà un salto in quel punto pari al carico;

13)Il grafico del momento perciò avrà uno spigolo in quel punto, essendo la funzione Taglio legata direttamente alla derivata della funzione Momento.

 

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Metodo delle Forze

1_Utilizzando il metodo delle forze si può risolvere un qualsiasi tipo di struttura iperstatica, riconducendoci a strutture semplicissime, passando da una struttura iperstatica a strutture isostatiche equivalenti.
2_ Nel caso di una struttura simmetrica per geometria, carico e vincoli, posso procedere ad analizzarla considerando solo una porzione.
3_ Per ottenere questo passaggio di tipologia strutturale, bisogna declassare uno o più vincoli a seconda di quante volte la prima struttura è iperstatica, senza però dimenticare di introdurre la cinematica relativa al vincolo dell'iperstatica poichè, se omessa, non risulterebbe equivalente al vincolo di partenza.
4_Ottengo coì un'incognita iperstatica X (forza generalizzata) e una struttura che presenta contemporanemente fozse isostatiche e iperstatiche (forze interne/esterne e agenti/reagenti): questo fa si che si avrà bisogno di un numero di equazioni di carattere cinematico ( relative agli spostamenti) pari al numero di vincolo, in qaunto si deve trovare la perfetta equivalenza tra le due strutture.
5_Queste equazioni ci consentiranno di trovare le incognite iperstatiche X per l'equivalenza tra gli schemi e rappresentano due forze uguali e opposte come forze interne/azioni di contatto e forze esterne.
6_Consideriamo ad esempio questa trave, messa a confronto con il suo schema equivalente

Il carrello presente in mezzeria nella prima struttura iperstatica è passante, ciò permette di mantenere la continuità nella trave e nelle forze generale; la seconda struttura, quella "equivalente" presenta un carrello con cerniera che invece frammenta in due porzioni la struttura, spezzando la continuità della trave. 
7_Eseguendo i tagli alla Cauchy e analizzando le sezioni dello schema in mezzeria possiamo vedere i diversi comportamenti che hanno i due vincoli sulla stessa trave: le due strutture non si equivalgono poichè la struttura di partenza, iperstatica, non trova la sua continuità nella struttura equivalente.
8_Lo schema iperstatico implica che tutte le forze di contatto si trasferiscano su tutta la lunghezza della trave; nello schema isostatico questa continuità viene bloccata dalla presenza della cerniera interna che, oltre a generare due tratti (destro e sinistro rispetto il vincolo di mezzeria), impedisce la trasmissione della continuità del momento.
9_Devo quindi aggiungere una coppia di forze intorno al vincolo della struttura isostatica (cerniera interna) che mi garantirà di determinare l'incognita iperstatica prima citata.

10_ Dovendo arrivare ad una equivalenza allora devo considerare l'elemento come unico (basandomi sulla struttura iniziale di carattere iperstatico) e cercare una continuità in termini cinematici:

  • lo spostamento orizzontale di destra è uguale a quello di sinistra
    Ubs=Ubd, ovvero che Ubs - Ubd = 0 (traslazione orizzontale relativa è nulla)
  • lo spostamento trasversale di sinistra è uguale a quello di destra
    Vbs=Vbd, ovvero che Vbs - Vbd = 0
  • la terza relazione che dobbiamo imporre è che la rotazione nel vincolo B deve essere = 0, il che si traduce che l'equazione della rotazione a destra e a sinistra devono essere = 0 per la continuità della struttura, ma avendo una cerniera interna si può generare una rotazione relativa

11_All'incognita iperstatica stabilita come momento di contatto bisogna associare l'equazione cinematica relativa allo spostamento a cui questa incognita si oppone e che è quindi in grado di rigenerare l'effetto del vincolo di partenza. E' proprio per questo che impongo la rotazione relativa = 0

12_Proprio con questa equazione posso determinare il valore dell'incognita X posta in partenza, in modo da poter risolvere la struttura isostatica, ora equivalente alla struttura iperstatica iniziale.

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-Verifico grado di iperstaticità, in quanto il numero di quante volte la struttura è iperstatica ci indica quante incognite di iperstaticità dovremmo trovare per risolvere la struttura con il metodo delle forze.

-Nell'esempio riportato abbiamo una struttura 3 volte iperstatica, in quanto se la considerassimo come corpo rigido (indeformabile) allora mi basterebbero solo una cerniera e un carrello (GDL=GDV). Tenendo conto delle deformazioni questo non è possibile avendo così una struttura per cui i GDL<GDV, in questo esempio in particolare 3 gradi di iperstaticità = 3 incognite di iperstaticità.

-Il “Metodo delle forze” si basa sul riportare una struttura iperstatica alla condizione isostatica + le forze contatto (interno e/o esterno) che la equilibrano degradando un vincolo o e/o come in questo caso interrompendo la continuità della trave inserendo una cerniera interna a cui applico una coppia di momenti uguali che altro non rappresentano le azioni di contatto  in quel punto della trave continua.

-Posso semplificare  ulteriormente il calcolo tenendo conto della specularità della struttura in quanto il passo (l) e uguale, la trave ha stessa sezione e stesso materiale, stesso carico uniformemente ripartito e non ci sono forze orizzontali che fanno nascere una reazione vincolare orizzontale in a (ua=0). Quindi posso supporre che le incognite di iperstaticità in B e D sono uguali.

 

-Imposto le equazioni della cinematica che mi permettono di espletare le incognite di iperstaticità. Nel nostro caso sono quelle di rotazione relativa:

 

-Riconosco la natura della struttura potendo descriverla come una serie di travi su due appoggi sottoposta ad un carico uniforme sulle quali agisce un momento (incognita di iperstaticità) in uno o entrambi gli estremi (a seconda del tratto che si sceglie).

-Per la sovrapposizione degli effetti posso considerare qualsiasi tratto come una su cui agisce solo un carico uniformemente ripartito + una (medesima) su cui agisce un momento. Questo perché sono situazioni notevoli delle quali io conosco già il valore della rotazione (f).

 

-Mi calcolo la rotazione relativa in B e C.

 

 

-Pongo a sistema le due equazioni che mi rappresentano le rotazioni relative nei punti ed esplicito le due incognite.

-Note queste reazioni sono in grado di conoscere le restanti reazioni vincolari, N,T,M e spostamenti.

 

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1) Usiamo il metodo delle forze per risolvere una qualsiasi struttura iperstatica semplice, procedo immaginandola come una struttura isostatica, dunque semplifico i vincoli aggiungendo una reazione (per esempio l'incastro viene semplificato in una cerniera con momento), o sostituisco il vincolo con la reazione (il carrello viene semplificato con una reazione verticale).

2) Lo scopo della semplificazione è ottenere una struttura isostatica. Da non dimenticare, dunque, che nella struttura "diventata" isostatica ci sarà comunque un vincolo cinematico relativo alla iperstatica che sarà uguale a zero (nullo). Questo perchè, se così non fosse, non verrebbe rispettata la natura del vincolo iniziale. 

3) Introduco quindi un'incognita iperstatica che corrisponde alla reazione nata dalla semplificazione.

4) Prendendo come esempio l'esercizio svolto in aula sulla trave continua, posso affermare che la semplificazione migliore e più veloce, non è quella di trasformare gli appoggi intermedi in reazioni verticali (poichè dovrei analizzare ogni incognita singolarmente per vedere come reaggisce la trave cinematicamente), bensì è quella di trasformare gli appoggi in cerniere interne aggiungendo dunque ad essi una coppia di momenti interna.

5) Difatti, il vincolo intermedio (appoggi della trave continua) permette di far passare N, T ed M indistintamente, come anche riesce così la cerniera interna (una volta semplificata la struttura) grazie all'aggiunta della coppia dei momenti. Se la coppia non ci fosse stata, la trave risulterebbe discontinua e di conseguenza permetterebbe attraverso la cerniera la continuità di N e T, ma non del Momento flettente. 

6) So per certo che negli appoggi (anche nel caso della cerniera interna con la coppia dei momenti) avrò il momento continuo poichè i carrelli (appoggi) corrispondono a forze concentrate che generano una discontinuità solo nel Taglio (derivata di M) e non nel Momento. Negli appoggi so che il Momento avrà un punto angoloso, di conseguenza posso anche dire che la coppia di momenti che ho inserito, è composta da due reazioni uguali e opposte.

7) Il passaggio successivo è quello di cercare di dividere la struttura per analizzarla parte per parte, risolvendola grazie ai risultati notevoli ove è possibile. Per fare ciò usiamo il metodo della sovrapposizione degli effetti.

 

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