SdC(b) (LM PA)

Dopo la linea elastica, si utilizza un altro strumento per risolvere il problema iperstatico. In particolare si vuole risolvere una trave continua su più appoggi, 3 volte iperstatica, attraverso il metodo delle forze.

 Lo schema di calcolo è il seguente:

I valori delle rotazioni dovute sia alla forza X  che al carico q non saranno calcolate, ma saranno ricavate dai seguenti schemi notevoli:

1.      SCHEMA ISOSTATICO EQUIVALENTE, nel quale, in corrispondenza degli appoggi rappresentati dai carrelli, rompo la continuità della trave ( abbassando i gradi di vincoli da tre a due).

2.      EQUAZIONI DI VINCOLO E EQUAZIONI DI COMPATIBILITA’CINEMATICA
Impongo che in corrispondenza degli appoggi la rotazione relativa sia uguale a zero in modo che venga ripristinata l’azione del vincolo cinematico soppresso.

Equazioni di vincolo

·         ∆φB = 0

·         ∆φC = 0

·         ∆φD = 0

Equazioni di compatibilità cinematica

·         ∆φB = φBs – φBd = 0

φBs = φBs (q) + φBs (X1) =  ql³/24EI – X1L / 3EI

φBd = φBd (q) + φBd (X1) + φBd (X2) = - ql³/24EI + X1L/3EI + X2L/6EI

ql³/24EI – X1L / 3EI + ql³/24EI - X1L/3EI - X2L/6EI = 0       →       X₁= - ql²/8 - X₂/4

·       ∆φD = ∆φC = φCs – φCd = 0

φCs = φCs (q) + φCs (X1) + φCs (X2) =  ql³/24EI – X1L / 6EI – X2L / 3EI

φCd = φCd (q) + φCd (X1) + φCd (X2) = - ql³/24EI + X1L/6EI + X2L/3EI

ql³/24EI – X1L / 6EI – X2L / 3EI + ql³/24EI - X1L/6EI - X2L/3EI = 0 → X₂= ql²/8 - x₁/2

3.      RISOLUZIONE DEL SISTEMA DI EQUAZIONI

X₁= - ql²/8 - X₂/4

X₂= ql²/8 - x₁/2

X1= 3/28 ql²

X2= ql²/14

4.      SOVRAPPOSIZIONE EGLI EFFETTI

Trovato il valore delle incognite iperstatiche, posso determinare il valore delle reazioni vincolari, utilizzando il principio della sovrapposizione degli effetti e tracciare infine i diagrammi di Taglio e Momento per la struttura in esame.

DIAGRAMMI MOMENTO E TAGLIO

Metodo delle forze - Struttura iperstatica

Così facendo "tiro fuori" le reazioni vincolari interne dei momenti X₁, X₂, X₃ (dove X₁ = X₃ per simmetria).

• prima in relazione al carico q:

• poi in relazione ai momenti X₁, X₂, X_3:

• facendo le dovute somme:

• Posso unire il tutto trovando le reazioni vincolari finali:

Infine, disegno i diagrammi del taglio e del Momento, trovandone i valori nei diversi punti.

 

Taglio

 

 

Momento:  

 

---

compongo un solaio 6X6m; interasse 6m; base della trave 20cm

prendo come riferimento una porzione tipo di un solaio in legno 

(allegato1)

eseguo l'analisi dei carichi studiando la composizione del solaio

(allegato2)

inserisco poi nella tabella excell:

-interasse                                          -la resistenza a flessione del legno lamellare di classe GL 24c

-i valori dei carichi trovati                   -il coefficiente di riduzione kmod

-la luce                                               -la base

ottenendo così il dimensionamento della mia trave.

(allegato3)

Per questa prima esercitazione abbiamo dovuto calcolare, tramite la linea elastica, lo spostamento massimo a cui viene sottoposta una trave iperstatica appoggiata da una parte su un carrello e incastrata dall’altra e, successivamente, verificare in SAP2000 se i calcoli fatti a mano coincidono con i calcoli effettuati dalla macchina.

Inizialmente ho effettuato il calcolo a mano che ripropongo qui postando la scansione dell’esercitazione.

Successivamente si è passati sul programma SAP2000 dove si è verificato il lavoro svolto a mano.

SAP non è un programma difficile ma è importantissimo che ogni passaggio sia svolto nel modo giusto se si vuole avere un risultato attendibile. Innanzitutto si apre il programma e si apre un nuovo file. Compare quindi una schermata in cui viene richiesto che tipo di modello si deve usare. Impostiamo il “Grid Only”

e, secondo i diversi utilizzi che si devono fare si imposta la quantità di linee della griglia che ci servono. Nel nostro caso saranno 2 in direzione x, 1 in y e 1 in z.

Si procede quindi con l’inserimento di una linea che andrà dal punto 1a al punto 1b che starà a rappresentare la nostra trave e con l’inserimento dei vincoli di incastro e carrello.

Si inserisce quindi il peso della struttura stessa che per i nostri calcoli azzereremo.

Alla nostra trave abbiamo imposto che deve sopportare un peso distribuito  di 10KN.

Visto che avevo già eseguito i calcoli a mano ho inserito un punto a distanza (come si vede dai fogli scansionati ) 0,5775 in direzione x dove si dovrebbe avere il punto di massimo spostamento, con T=0 e M=max.

A questo punto faccio partire l’analisi e per prima cosa mi fa vedere la deformata.

Procedo quindi allo studio del momento e del taglio:

M:

T:

Fatto ciò, come richiesto, dò una forma alla linea, che indica la mia trave, pensandola in acciaio rettangolare cavo e in calcestruzzo armato rettangolare a cui poi ho richiesto al programma di calcolarsi gli sforzi.

Calcestruzzo armato:

Acciaio:

Importo in SAP il modello 3d creato con autocad e salvato in dxf, settando l'unità in (KN,m,C), ed impostando il layer utilizzato in autocad.

Annullo possibili margini d'errore che possono avvenire nel trasferimento di dati tra i 2 programmi. (edit-points--merge joints-merge tolerance- assegno un valore di 0.01.

Assegno i vincoli (in questo caso 1 cerniera e 2 carrelli): seleziono i nodi. poi Assign-joint restraint e scelgo il tipo di vincolo.

ESERCITAZIONE n.3

Dimensionamento di una trave in legno:

1-      Compongo una porzione di solaio:

2-      Definisco il dimensionamento del solaio:

-          Interasse tra le travi = 3m

-          Base di una trave (larghezza) = b = 0.30m

-          Interasse tra i travetti = 0.50m

-          Ipotizzo la composizione del solaio:

1-      Travetti in legno (conifera):

Dimensioni 8cm x 10cm

γ  = 5 KN/mc

2-      Tavolato (conifera):

h= 3cm

γ  = 5 KN/mc

3-      Sottofondo: sabbia e cemento

 h= 3cm

γ  = 18 KN/mc

4-      Isolante termico: fibra di legno

h = 2cm

γ  = 0.24 KN/mc

5-      Lastra di fibro-gesso

h = 3cm

γ  = 0.14 KN/mc

6-      Pavimento in ceramica

h = 1.5cm

γ  = 20 KN/mc

3-      Calcolo i carichi strutturali: qs

Questi sono costituiti dalle somme dei pesi degli elementi che compongono la struttura portante del solaio.

Calcolo i pesi di tutti gli elementi strutturali che compongono il solaio considerando una sezione dello stesso di dimensioni 1m X 1m:

-          Ps1 = γ x V = 5KN/mc x 0.08mc = 0.045 KN/mq ; essendo 2 I travetti : 0.045x2 = 0.09 KN/mq

-          Ps2 = 5KN/mc x  0.03mc = 0.18 KN/mq

Totale dei carichi strutturali = Ps1 + Ps2 = 0.27 KN/mq

4-      Calcolo i carchi portati: qp

Questi sono costituiti dalle somme dei pesi degli elementi che compongono il solaio con l’ aggiunta del peso degli eventuali impianti cosi come dei tramezzi.

Perciò considero:

Psi = 0.5KN/mq per gli impianti

Pst = 1    KN/mq per i tramezzi

Calcolo i pesi di tutti gli elementi che compongono il solaio considerando una sezione dello stesso di dimensioni 1m X 1m:

-          Ps3 = 18KN/mc x 0.03mc = 0.9 KN/mq

-          Ps4 = 0.24KN/mc x 0.02mc = 0.0048 KN/mq

-          Ps5 = 0.14KN/mc x 0.03mc = 0.0042 KN/mq

-          Ps6 = 20KN/mc x 0.015mc = 0.3 KN/mq

Totale dei carichi portati = Ps3+Ps4+Ps5+Ps6 = 2.7 KN/mq

5-      Calcolo i carichi accidentali : qa

Questi sono considerati sovraccarichi accidentali ed hanno valori regolati da una normativa.

Per questo esercizi ipotizzo edifici di categoria A e cioè Ambienti ad Uso Residenziale con

Ps = 2 KN/mq

6-      Trovati quindi tutti i carichi che insistono sulla sezione considerata inserisco gli stessi in una apposita tabella excell

In cui:

-           M è dato da =E3*F3^2/8

-          Fm,k è il valore della resistenza a flessione del legno lamellare di classe GL 24c

-          Sig am è dato da =I3*H3/1,45

-          h è dato da =( 6*G3*1000/(K3*J3))^0,5

ANALISI DEI CARICHI E DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE

DESTINAZIONE D'USO

uffici non aperti al pubblico 

TRAVE PIU' SOLLECITATA

AREA D'INFLUENZA

STRATIGRAFIA SOLAIO

1)pavimento

2)allettamento (2 cm)

3)massetto cementizio (10 cm)

4)tavolato (4cm)

5)travicelli (10 x 10)

6)trave

ANALISI DEI CARICHI

-CARICHI STRUTTURALI qs

Travicelli

P = γ * V γ travicelli = 6 KN V = 0,1 * 0,1 * 1 = 0,01 m³

P = 6 KN/m³ * 0,01 m³ = 0,06 KN/mq mq perchè il carico agisce su un'area

Su 1 mq ci sono due travetti quindi 0,06 * 2 = 0,12 KN/mq

Tavolato

γ = 6 KN/ m³ V = 0,2 * 0,04 * 1 = 0,008 m³

P = 6 * 0,008 = 0,048 KN/mq

In 1 mq ci sono 5 tavole quindi 5 * 0,008 = 0,24 KN/mq

qs = 0,12 + 0,24 = 0,36 KN/mq

-CARICHI PERMANENTI qp

Massetto cementizio

γ = 18 KN/m³ V = 1 * 1 * 0,1 = 0,1 m³

P = 18 * 0,1 = 1,8 KN/mq

Allettamento

γ = 21 KN/m³ V = 1 * 0,02 * 1 = 0,02 m³

P = 21 * 0,02 = 0,42 KN/mq

Pavimento in mattonelle di granito

γ = 27 KN/m³ V = 0,2 * 0,2 * 0,01 = 0,0004 m³

P = 27 * 0,0004 = 0,0108 Kn/mq

il peso complessivo delle mattonelle che agisce su 1 mq = 0,0108 * 1 * 1 = 0,0108 KN/mq

Incidenza dei tramezzi

1 KN/mq

Impianti

0,5 KN/mq

qp = 1,8 + 0,42 + 0,0108 = 2,23 KN/mq

-CARICHI ACCIDENTALI qa = 2 KN/mq ( data dalla normativa )

DIMENSIONAMENTO CON LA TABELLA DI EXCEL

Avendo deciso di avere la base della trave di 30 cm e la luce della trave più sollecitata di 6 m, risulta dall'analisi dei carichi che per sorreggere i carichi provenienti dal solaio devo avere una trave alta 49,96 cm.

Questo tipo di dimensionamento ci permette di calcolare l'altezza di una trave per volta, quindi noi andremo a calcolare sempre i carichi che agiscono sulla trave più sollecitata (ci accorgiamo che una trave è più sollecitata rispetto ad un'altra osservando l'orditura del solai, quindi i carichi agiranno in maggior modo sulla trave perpendicolare all'orditura dei solai).

DIMENSIONAMENTO DI UN SOLAIO IN LEGNO

      In rosso è evidenziata la trave la quale si è scelta per effettuare il dimensionamento

sezione del solaio in legno

dobbiamo calcolarci l'altezza h della trave , mentre sono definiti i valori della base, del momento massimo e della resisenza di progetto fd 

La resistenza di progetto è fd= Kmod * fmk / γm

dove: 

Kmod (coefficiente che dipende dalla durata del carico e dall’umidità) = 0,6

fmK ( caratteristica resistenza a flessione) = 36 N/mmq

γm(coefficiente di sicurezza relativo al materiale) = 1,45

dove σmax= (Mmax/ Ix) * ymax = M/W

(W) è il modulo di resistenza a flessione che dipende dalle caratteristiche geometriche della sezione. In questo caso la trave ha sezione rettangolare, per cui (ymax = h/2), quindi avrò:

Ix = bh³/12

W= Ix/ymax

W= bh²/6 

quindi ymax/Ix = Wx è il modulo di resistenza a flessione della sezione   →   σmax= Mmax/(bh²/6)

da quest'ultima ci ricaviamo l'altezza  h = rad(6q/8b fd) * l

ANALISI DEI CARICHI

definiamo una base b= 30 cm 

 CARICHI STRUTTURALI qs

Trave = 1,00 m x 050 m x 0,30 m x 430 Kg/m³  = 0,65 KN/m²

Travicelli (abete)= 2 x 1,00 m x 0,10 m x 0,10 m x 600 Kg/m³ = 0,12 KN/m²

Tavolato  (abete) = 1,00 m x 1,00 m x 0,03 m x 600 Kg/m³ = 0,18 KN/m²

totale =      0,95 KN/m²

CARICHI PERMANENTI qp

Massetto = 1,00 x 1,00 m x 0,05 m x 1900 Kg/m³ = 0,95  KN/m²

Allettamento= 1,00 x 1,00 m x 0,03 m x 1800 Kg/m³ = 0,54  KN/m²

Pavimento = 1,00 m x 1,00 m x 0,01 m x 400 Kg/m³ = 0,40  KN/m²

Incidenza tramezzi = 1,00  KN/m²

Incidenza impianti = 0,50 KN/m²   

totale = 2,99  KN/m²

CARICO ACCIDENTALE qa

Locali d’abitazione = 2  KN/m²

 Totale dei carichi  = 5,94  KN/m²

qtot[Kn/m] = (qs+ qp+ qa) * i = 5,94 * 5 = 29,7 KN/m²

Insiriamo ora nella tabella excell i valori ricavati e ci troviamo l'altezza della trave 

L'altezza risulta essere circa 45 cm.

DIMENSIONAMENTO DI UN SOLAIO IN CALCESTRUZZO 

SEZIONE DEL SOLAIO

carico permanente q = 38 KN/m²

M = ql²/8 ( trave appoggiata appoggiata)

Imponiamo che fd= σmax = α * Rck/γm

dove:

Rck = resistenza caratteristica calcestruzzo = 30 N/mm²

E' stato scelto un calcestruzzo ordinario di classe C 25/30

α = coeff. riduttivo per la resistenza a lunga durata = 0,85

γm = coeff. riduttivo parziale di sicurezza relativo al cls = 1,5

σfa = fy/γs

dove:

fy = tensione di snervamento delle barre di acciaio = 450 N/mm²

γs = coeff. di sicurezza relativo all’acciao = 1,15

L'altezza di una sezione rettangolare è data da H = hu + δ

hu= r * rad(Mmax/b)

δ è distanza dal centro dei tondini al lembo inferiore della trave (5 cm)

ANALISI DEI CARICI

Carichi strutturali qs

Soletta = 1,00m x 1,00m x 0,04m x 2500Kg/m²   =  1KN/m²

Nervature = 2 x 0,1m x 0,2m x 1,00m x 2500 Kg/m²   = 1 KN/m²

Forati = 2 x 0,4 mx 0,2m x 1,00m x 800Kg/m²= 128    = 1,28 KN/m²

Totale = 3,28 KN/m²

Carichi permanenti qp

Intonaco = 1,00m x 1,00m x 30m = 0,30   KN/m²

Massetto = 1,00 mx 1,00m x 0,03m x 1900Kg/m²   =0, 57 KN/m²

Pavimento =   1,00mx 1,00m x 40m  =  0,40 KN/m²   

Incidenza tramezzi = 1  KN/m²  

Incidenza impianti = 0,50 KN/m²  

totale = 2,77

CARICO ACCIDENTALE qa

Locali d’abitazione = 2  KN/m²

Totale dei carichi  = 8,05  KN/m²

Inseriamo i valori nella tabella excel

L'altezza risulta essere circa 55 cm.