Esame: Analisi della Superficie

Nel precedente post ho accennato alla non stabilità della superficie di Costa come realizzata attraverso una bolla di sapone. La superficie di Costa, come tutta la sua famiglia, si dice più propriamente che è meta-stabile, ogni perturbazione ad essa applicata porta al collasso in 2 parti che per l'ottimizzazione fisica propria del modello porta alla formazione di due superfici la cui somma rappresenta la minima possibile.

Per verificare questo fenomeno ho studiato e immaginato un modello della superficie rispettando il genere della stessa, quindi l'ho realizzato per Surface Evolver analizzando e dimostrando il collasso dei punti centrali. Ho trovato interessante la parte di modellazione che senza l'ausilio di carta e penna e di un modellino fisico in carta non avrei mai potuto realizzare.

Qui riporto per maggiore chiarezza una ricostruzione grafica dei miei ragionamenti, necessari alla trasposizione dall'astratto al codice: come sappiamo Surface Evolver per la realizzazione di un modello tridimensionale ragiona per dichiarazione esplicita di punti (definiti da funzioni in parametri oppure da coordinate), i quali presi a 2 compongono uno spigolo, che a loro volta consentono la realizzazione di facce e quindi oggetti che si presentano come insieme di facce. Rispettivamente nel programma questi elementi costitutivi sono chiamati vertices, edges, faces e bodies.

La colorazione applicata a questa rappresentazione è risultata fondamentale per la formulazione del modello (che ammetto mi ha procurato non pochi grattacapi). Con i due colori evidenzio la faccia dove la normale risulta uscente dal piano; in z=0 avviene l'inversione di essa per ciascuna faccia.

Si potrà osservare inoltre la presenza centrale di 4 "buchi", proprio come la superficie di Costa (che per inciso ha genere 1): questa rappresentazione mi ha consentito di formulare agilmente l'apertura di questa fessure nonostante nello scripting esse, ad avvio del codice, risultino di area nulla.

Questa rappresentazione invece rappresenta il criterio con il quale ho realizzato il codice: i numeri in nero rappresentano i vertices, quelli piccoli in rosso, con la direzione punto-punto, gli edges e infine quelli in grande le faces dove, guardando il lato giallo, la rotazione dei vettori deve essere antioraria.

// costa.fe
// Superficie di Costa

PARAMETER  RMAX = 2.5        // raggio terminali
PARAMETER  CMAX = 5          // raggio centrale
PARAMETER  ZMAX = 2.5        // altezza  

boundary 1 parameters 1     //  bordo inferiore
x1:  RMAX * cos(p1)
x2:  RMAX * sin(p1)
x3:  -ZMAX

boundary 2 parameters 1    //   bordo superiore
x1:  RMAX * cos(p1)
x2:  RMAX * sin(p1)
x3:  ZMAX

boundary 3 parameters 1    //   bordo centrale
x1:  CMAX * cos(p1)
x2:  CMAX * sin(p1)
x3:  0

boundary 4 parameters 1    //   centro
x1:  RMAX * cos(p1)/2
x2:  RMAX * sin(p1)/2
x3:  0

vertices
1  5*pi/4  boundary 1   fixed
2  7*pi/4  boundary 1   fixed
3    pi/4  boundary 1   fixed
4  3*pi/4  boundary 1   fixed //
5  5*pi/4  boundary 4   
6  7*pi/4  boundary 4   
7    pi/4  boundary 4   
8  3*pi/4  boundary 4   //
9  5*pi/4  boundary 4   
10 7*pi/4  boundary 4   
11   pi/4  boundary 4   
12  3*pi/4  boundary 4   //
13  5*pi/4  boundary 4   
14  7*pi/4  boundary 4   
15    pi/4  boundary 4   
16  3*pi/4  boundary 4   //
17  5*pi/4  boundary 3   fixed
18  7*pi/4  boundary 3   fixed
19    pi/4  boundary 3   fixed
20  3*pi/4  boundary 3   fixed //
21  5*pi/4  boundary 2   fixed
22  7*pi/4  boundary 2   fixed
23    pi/4  boundary 2   fixed
24  3*pi/4  boundary 2   fixed

edges
1  1 2 boundary 1   fixed
2  2 3 boundary 1   fixed
3  3 4 boundary 1   fixed
4  4 1 boundary 1   fixed
5  5 6
6  6 7  
7  7 8
8  8 5
9  1 5
10 2 6
11 3 7
12 4 8
13 5 9
14 9 12
15 12 8
16 10 6
17 7 11
18 11 10
19 9 10
20 11 12
21 17 18 boundary 3   fixed
22 18 6
23 6 5
24 5 17
25 18 19 boundary 3   fixed
26 19 15
27 15 14
28 14 18
29 19 20 boundary 3  fixed 
30 20 8
31 8 7
32 7 19
33 20 17 boundary 3  fixed 
34 17 13
35 13 16
36 16 20
37 13 5
38 6 14
39 15 7
40 8 16
41 21 22 boundary 2   fixed
42 22 23 boundary 2   fixed
43 23 24 boundary 2   fixed
44 24 21 boundary 2   fixed
45 21 13
46 5 21
47 21 9
48 22 10
49 6 22
50 22 14
51 23 15
52 7 23
53 23 11
54 24 12
55 8 24
56 24 16

faces
1 1 10 -5 -9
2 2 11 -6 -10
3 3 12 -7 -11
4 4 9 -8 -12 //ok
5 13 14 15 8
6 19 -18 20 -14
7 16 6 17 18 //ok
8 21 22 23 24
9 22 38 28 
10 -25 -28 -27 -26
11 26 39 32
12 -29 -32 -31 -30
13 30 40 36
14 -33 -36 -35 -34
15 34 37 24 //ok
16 -37 -45 -46 //ok
17 -13 46 47 //ok
18 -19 -47 41 48
19 -16 -48 -49 //ok
20 -38 49 50 //ok
21 27 -50 42 51 
22 -39 -51 -52 //ok
23 -17 52 53 //ok
24 -20 -53 43 54
25 -15 -54 -55 //ok
26 -40 55 56 //ok
27 35 -56 44 45 //ok

bodies
1   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27  volume 1

read

evolvi := { r; V 5; g 2; } //alcune operazione per iterare e distribuire i vertice omogeneamente

Il collasso nei punti centrali è meno evidente rispetto l'esempio del blog Andrew's Brain, probabilmente ci sono stati problemi legati alla modellazione della topologia.

NB consiglio vivamente di scaricare il programma SE-Fit che con il suo editor consente un comodo highlight e l'incolonnamento dello script, nonchè un'interfaccia meno ostica a chi si approccia al programma per la prima volta che di per se ha l'interfaccia del prompt di MS-Dos