La rappresentazione parametrica

Dopo anni in cui il Parametro è stata figura mitologica in grado di rendere un'architettura un posto bellissimo, quando non una rivista o la reminiscenza dell'atavica nozione di fascio di rette, pare io sia diventato grande abbastanza per una utile definizione matematica.

Introduzione della rappresentazione parametrica

A quanto appreso (lezione del 28.10.2013), per ottenere una rappresentazione parametrica bisogna considerare un intervallo unidimensionale (tipicamente) all'interno del quale la variazione, appunto, del parametro restituisce, attraverso funzioni, un insieme di dati. Questi dati possono essere le coordinate di un vettore, come a noi sembra far molto comodo, donde l'esempio:

Una curva c(t) descrivibile attraverso due componenti analoghe ad x(t) ed y(t) — curva piana quindi, in questo esempio —, è tale che facendo "scorrere" il parametro t nell'intervallo dato, si va "disegnando" la curva, come spiega l'impagabile disegnino che ho fatto durante la lezione

Primi esercizî per curve parametriche nello spazio e sul piano

Ho avviato alcune sperimentazioni con il potente mezzo di Grapher, programma per Mac. Che in realtà molto potente non è — e anzi, ha dei bug che lo rendono quasi tragico— , ma, avendo ancora giocato poco con Mathematica, mostra molto bene ed in fretta il passaggio dall'intervallo unidimensionale alla curva. Mi ha anche concesso di animare il parametro.

Un primo esercizio richiesto è scegliere arbitrariamente tre funzioni x(t), y(t), z(t) e vedere di nascosto l'effetto che fa. Al programma si chiede facilmente di inserire tre funzioni in un sistema che descrive una curva in xyz. Con lo strumento usato vengono quindi rappresentati tutti i punti dell'intervallo b posto ad argomento delle tre funzioni coordinate. Stando ai fatti, in questo caso non è proprio il parametro a variare, bensì un estremo dell'intervallo in cui il programma valuta la variazione del parametro (è l'estremo denominato fine, che infatti ha l'apposito pulsantino play che produce l'incredibile animazione allegata). La variazione va da 0 a 1.

Si sono quindi osservate curve polinomiali, ovvero curve in cui le componenti hanno forma analoga alla seguente:

Di un polinomio è facile distinguere il grado, con conseguenze sul numero degli "zeri" che ammette. Il grado della curva parametrica corrisponde al grado del polinomio di massimo grado. Si è dunque elaborata una curva di III grado o cubica suggerita durante la lezione. La variazione dell'estremo finale dell'ntervallo è ancora da 0 a 1.

Infine, con lo stesso strumento, ho realizzato in un sistema xOy una curva di terzo grado razionale, tratta anch'essa dagli esempî indicati a lezione. Le curve razionali hanno componenti date dal rapporto di due polinomî.

Un esercizio sulla parametrizzazione in Mathematica

Questa si presenta in forma polinomiale — ed immagino dunque che la forma razionale sia assunta dalla generalizzazione nelle NURBS. Dapprima riprodotta in Grapher, l'ho sottoposta alla generalizzazione di grado che coincide con la possibilità di variare il numero di "punti di controllo". La funzione qui chiamata B(t) è lo strumento che, come da introduzione del tema, collega a dati unidimensionali tra 0 e 1 i dati bidimensionali di vettori indicanti i punti della curva. La restituzione di vettori avviene per l'immissione nell'espressione dei "punti di controllo" (Pᵢ) in forma di matrice di due termini noti.