LINEA ELASTICA. Esercitazione manuale + SAP2000

La Cacciata di Adamo ed Eva dal Giardino del Paradiso - Alexandre Cabanel

Chissà a che livelli arrivò la frustrazione di Adamo ed Eva nell'ascoltare la sentenza di Dio, riguardante il loro definitivo allontanamento dal Paradiso Terrestre. Allora erano forse inconsapevoli del fatto che, a causa di quel gesto di superbia, avevano perduto per sempre i doni preternaturali, i quali, tra le altre cose, li mettevano al riparo da ignoranza e inettitudine. Sicuramente non immaginavano di aver abbandonato, col loro atto, una parte del genere umano alle frustrazioni causate dal burrascoso rapporto con la meccanica e la statica. Diverse generazioni di studenti di architettura hanno convissuto con lo spauracchio degli esami di queste due discipline. Spauracchio che puntualmente si acuiva nel momento in cui venivano pronunciate due parole: LINEA ELASTICA.

Nonostante il senso di inquietudine che ancora mi pervade, proverò in questo post a spiegare come affrontare un sistema iperstatico, tramite l'utilizzo, appunto, dell'equazione della linea elastica. Iniziamo.

Questo era il sistema iperstatico assegnato, in cui dovevamo trovare il valore dello spostamento verticale v e ricavare un disegno della deformata, da verificare poi in SAP2000.

Scriviamo innanzitutto le equazioni relative al modello della trave di Bernoulli.

Equazioni differenziali di bilancio:

$\left\{\begin{matrix}\frac{dN}{ds}+q1=0 \\ \frac{dT}{ds}+q2=0 \\ \frac{dM}{ds}+T=0 \end{matrix}\right.$ [1]

Equazioni del legame costitutivo:

$\left\{\begin{matrix}M=EI\chi \\ N=\varepsilon AE \end{matrix}\right.$ [2]

Equazioni di congruenza:

$\left\{\begin{matrix}\varepsilon (s)=u's=\frac{du}{ds} \\ \chi (s)=\varphi s=\frac{d\varphi }{ds} \\ \varphi =\frac{dv}{ds} \end{matrix}\right.$ [3]

Eliminiamo dal sistema le equazioni relative allo sforzo normale, dato che non prendiamo in considerazione l'analisi della deformata assiale, e mettiamo a sistema le rimanenti:

$\left\{\begin{matrix}\frac{dT}{ds}+q_{2}=0 \\ \frac{dM}{ds}+T=0 \\ M=EI\chi \\\chi =\frac{d\varphi }{ds} \\ \varphi =\frac{dv}{ds} \end{matrix}\right.$ [4]

Partiamo dalla 2° equazione:

$T=-\frac{dM}{ds}\Rightarrow \frac{d}{ds}\left ( -\frac{dM}{ds} \right )+q_{2}=0\Rightarrow -\frac{d^{2}M}{ds^{2}}+q_{2}=0$ [5]

$\varphi =\frac{dv}{ds}\Rightarrow \chi =\frac{d}{ds}\left ( \frac{dv}{ds} \right )=\frac{d^{2}v}{ds^{2}}=0\Rightarrow M=EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}}$ [6]

Sostituendo nella precedente:

$-\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left ( EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}}\right )+q_{2}\Rightarrow -\frac{d^{4}v}{ds^{4}}+\frac{q_{2}}{EI}=0\Rightarrow\frac{d^{4}v}{ds^{4}}= \frac{q_{2}}{EI}$ [7]

Imponiamo che q2 sia costante, e,integrando 4 volte l'equazione differenziale ottenuta qui sopra, possiamo ricavare l'equazione esplicitata in v(s), che ci permetterà poi di ricavare tutte le altre incognite:

$\int \frac{d^{3}v}{ds^{^{3}}}=\frac{q_{2}}{EI}s+c_{1}$ [8]

$\int \int \frac{d^{2}v}{ds^{2}}=\frac{q_{2}s^{2}}{2EI}+c_{1}s+c_{2}$ [9]

$\int \int \int \frac{dv}{ds}=\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+c_{1}\frac{s^{2}}{2}+c_{2}s+c_{3}$ [10]

$\upsilon (s)=\frac{q_{2}s^{4}}{24EI}+c_{1}\frac{s^{3}}{6}+\frac{c_{2}s^2}{2}+c_{3}s+c_{4}$ [11]

Scriviamo quindi le condizioni al bordo nei punti s=0 e s=L, per trovare i valori delle varie costanti c.

Per s=0:

$v(0)=0\Rightarrow c_{4}=0$ [12]

$\frac{dv}{ds}(0)=0\Rightarrow c_{3}=0$ [13]

Per la condizione s=L, mettiamo a sistema le 2 equazioni:

$\left\{\begin{matrix}v(L)=\frac{q_{2}L^{4}}{24EI}+c_{1}\frac{L^{3}}{6}+c_{2}\frac{L^{2}}{2} \\ \frac{d^{2}v}{ds^{2}}(L)=\frac{q_{2}L^{2}}{2EI}+c_{1}L+c_{2} \end{matrix}\right.$ [14]

$\left\{\begin{matrix}\frac{q_{2}L^{4}}{24EI}+c_{1}\frac{L^{3}}{6}+c_{2}\frac{L^{2}}{2}=0 \\ \frac{q_{2}L^{2}}{2EI}+c_{1}L+c_{2}=0 \end{matrix}\right.$ [15]

$\left\{\begin{matrix}\frac{q_{2}L^{4}}{24EI}+c_{1}\frac{L^{3}}{6}+c_{2}\frac{L^{2}}{2}=0 \\ c_{2}=-\frac{q_{2}L^{2}}{6EI}-c_{1}L \end{matrix}\right.$ [16]

$\left\{\begin{matrix}\frac{q_{2}L^{4}}{24EI}+c_{1}\frac{L^{3}}{6}+\frac{L^{2}}{2}\left ( -\frac{q_{2}L^{2}}{6EI}+c_{1} \frac{L}{2}\right )=0 \\ c_{2}=-\frac{q_{2}L^{2}}{6EI}-c_{1}L \end{matrix}\right.$ [17]

$\left\{\begin{matrix}\frac{q_{2}L^{4}}{24EI}+c_{1}\frac{L^{3}}{6}-\frac{qL^{4}}{4EI}\left-c_{1} \frac{L^{3}}{2}=0 \\ c_{2}=-\frac{q_{2}L^{2}}{6EI}-c_{1}L \end{matrix}\right.$ [18]

$\left\{\begin{matrix}-\frac{5qL^{4}}{24EI}-\frac{c_{1}L^{3}}{3}=0 \\ c_{2}=-\frac{q_{2}L^{2}}{6EI}-c_{1}L \end{matrix}\right.$ [19]

$\left\{\begin{matrix}c_{1}=-\frac{5qL}{8EI} \\ c_{2}=-\frac{q_{2}L^{2}}{6EI}-c_{1}L \end{matrix}\right.$ [20]

$\left\{\begin{matrix}c_{1}=-\frac{5qL}{8EI} \\ c_{2}=-\frac{q_{2}L^{2}}{6EI}-\left ( -\frac{5qL}{8EI} \right )L \end{matrix}\right.$ [21]

$\left\{\begin{matrix}c_{1}=-\frac{5qL}{8EI} \\ c_{2}=\frac{qL^{2}}{8EI} \end{matrix}\right.$ [22]

Sapendo che lo spostamento v ha un massimo o un minimo dove la pendenza della tangente alla deformata è nulla, poniamo l'equazione della rotazione pari a 0, per trovare un valore accettabile di s:

$\varphi =\frac{dv}{ds}=\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+\frac{c_{1}s^{2}}{2}+c_{2}s^{2}=0$ [23]

$\varphi =\frac{dv}{ds}=\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+\left ( -\frac{5q_{2}L}{8EI} \right )\frac{s^{2}}{2}+\frac{q_{2}L^{2}}{8EI}s^{2}=s\left ( \frac{q_{2}s^{2}}{6EI}-\frac{5q_{2}Ls}{16EI}+ \frac{q_{2}L^{2}}{8EI} \right )=0$ [24]

Supponiamo inoltre che la sezione della trave sia costante e dello stesso materiale, cosicchè possiamo sostituire ad I la formula del momento di inerzia di una sezione generica:

$I=\frac{bh^{3}}{12}$ [25]

$\frac{12q_{2}s^{2}}{6Ebh^{3}}-\frac{60q_{2}Ls}{16Ebh^{3}}+\frac{12q_{2}L^{2}}{8Ebh^{3}}=0\Rightarrow \frac{q_{2}}{Ebh^{3}}\left ( 2s^{2} -\frac{15Ls}{4}+\frac{3L^{2}}{2}\right )=0\Rightarrow \frac{\frac{15L}{4}\pm \sqrt{\left ( \frac{225L^{2}}{16}-12L^{2} \right )}}{4}=\frac{\frac{15L}{4}\pm \sqrt{\left ( \frac{33L^{2}}{16} \right )}}{4}=0$ [26]

$x_{1}= 1,29L\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=0,57 L$ [27]

Consideriamo solo s=0,57, in quanto s<1, e lo andiamo a sostituire nell'equazione differenziale precedente per trovare v(s):

$v(s)=\frac{q_{2s^{4}}}{24EI}+c_{1}\frac{s^{3}}{6}+c_{2}\frac{s^{2}}{2}+c_{3}s+c_{4}\Rightarrow \frac{q_{2}\left ( 0,57L \right )^{4}}{24EI}-\frac{5q_{2}L}{8EI}\cdot \frac{\left( 0,57L \right )^{3}}{6}+\frac{q_{2}L^{2}}{8EI}\cdot \frac{\left( 0,57L \right )^{2}}{2}\Rightarrow \frac{0,1q_{2}L^{4}}{24EI}-\frac{0,9q_{2}L^{4}}{48EI}+\frac{0,32q_{2}L^{4}}{16EI}=\frac{0,26q_{2}L^{4}}{4Ebh^{3}}$ [28]

Disegniamo i diagrammi del taglio e del momento, da confrontare poi con quelli di SAP2000, impostando q₂=-q e calcolando i relativi valori:

$M(s)=EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}}=EI\left ( -\frac{qs^{2}}{2EI}+\frac{5qLs}{8EI}-\frac{qL^{2}}{8EI} \right )=-\frac{qs^{2}}{2}+\frac{5qLs}{8}-\frac{qL^{2}}{8}$ [29]

$M(0)=-\frac{qL^{2}}{8}$ [30]

$M(L)=-\frac{qL^{2}}{2}+\frac{5qL^{2}}{8}-\frac{qL^{2}}{8}$ [31]

Per le condizioni al bordo, M è nullo in:

$\left\{\begin{matrix}s=L \\ s=\frac{L}{4} \end{matrix}\right.$ [32]

Troviamo anche i valori del taglio, sapendo che esso è la derivata del momento, consapevoli del fatto che nel punto in cui il taglio è nullo, il momento è invece massimo:

$M'(s)=-qs+\frac{5qL}{8}\Rightarrow T=-M'=qs-\frac{5qL}{8}$ [33]

$T(0)=-\frac{5qL}{8}$ [34]

$T(L)=\frac{3qL}{8}$ [35]

Dopo la parte dei calcoli manuali (poco piacevole, a dir la verità), portiamo il tutto su SAP2000, verificando di non aver sbagliato nulla.

Apriamo innanzitutto un nuovo file basato su griglia e andiamo nella vista 2D xz. Tramite lo strumento POINT inseriamo un punto in corrispondenza del vmax che usciva fuori dai precedenti calcoli (0,57L), e, grazie allo snap dei 3 punti, disegniamo la nostra trave (DRAW-FRAME):

Ora assegniamo una sezione generica IPE alla trave in acciaio (DEFINE-SECTION PROPERTIES-FRAME SECTIONS):

Dopo aver assegnato i vincoli e rimosso l'analisi del carico proprio della struttura, come al solito, impostiamo la densità di carico q₂ per la trave:

Ora non ci resta che avviare l'analisi della deformata, ricordandoci prima di rimuovere dall'analisi il MODAL:

In ultimo, lasciamo che SAP2000 ci calcoli i diagrammi del momento flettente e del taglio, per verificare di averli disegnati correttamente in precedenza:

SdC(b) (LM PA) [36]

Esercitazione [37]