10 - Sabato 21 Novembre - Seminario parametri della progettazione strutturale 3

La lezione tenuta dalla professoressa Salerno con la partecipazione dell’Arch.Valerio Varano ha avuto come argomento l'individuazione delle prime formule esplicite per la parametrizzazione degli elementi strutturali. E' seguita poi un'esercitazione applicativa in Revit.

1_la trave

All'interno del modello semplificato e gerarchico trattato nella lezione precedente, viene determinata una prima approssimazione del momento flettente di progetto della trave, individuato come il momento massimo nella trave, considerata doppiamente appoggiata sui pilastri. Questo valore massimo vale M_max = ql² /8,  che a sua volta tiene conto del carico  q distribuito uniformemente sulla  lunghezza della trave (determinabile tramite la sua area di influenza) oltre che della lunghezza l della trave stessa.

Ciò premesso, la formula di Navier /S.Venant per la flessione ci consente di determinare le seguenti formule parametriche per la determinazione dell’altezza minima della sezione di una trave inflessa:

• in Cemento Armato (sezione rettangolare):

h_min =r* sqrt( M/b ) + δ

ove r è pari a:

r= sqrt ( 2 (σ_ca +σ_fa/n ) / (σ_ca²* (1- σ_ca / (3 σ_ca +3 σ_fa/n))))

• in Acciaio (profili IPE):

h_min = M / (b * s * σ_fa)+ s   
 

• in Legno (sezione rettangolare): 

h_min = sqrt( M/b ) * sqrt( 6/σ_am)   
 

Nelle formule ci sono tanti parametri ancora da definire:

-la larghezza b della sezione della trave, presa dunque come parametro indipendente. Osserviamo che il rapporto tra l’altezza della trave e la base è di proporzionalità  inversa (ossia, se aumenta la larghezza della sezione possiamo permetterci una sezione di altezza minore).

- per la trave in CA, le tensioni ammissibili del calcestruzzo σ_ca e dell'acciaio σ_fa , quest'ultimo opportunamente omogeneizzato tramite il coefficiente di omogeneizzazione n (n =15). Ricordiamo che le tensioni ammissibili sono pari alle resistenze caratteristiche (tensione di snervamento ƒyk –per l'acciaio o di rottura a compressione su provino cubico Rck – per il calcestruzzo) divise per un opportuno coefficiente di sicurezza (che assumiamo ν =1,15 per l’acciaio e ν =1,5 per il calcestruzzo). I valori caratteristici sono tabulati nelle norme tecniche tanto per gli acciai da tondini che per le diverse classi di calcestruzzo. Li trovate nei file qui allegati. Ancora nella sezione in C.A. appare δ che è praticamente pari al copriferro.

- per la trave in Acciaio, lo spessore delle ali del profilo IPE  s , oltre che la tensione ammissibile dell'acciaio σ_fa. In questo secondo caso però, le classi di resistenza dell’acciaio sono diverse, in quanto le classi di resistenza dell’acciaio per profili strutturali (ottenuto per laminazione) sono in numero maggiore e i diversi acciai  cui le classi fanno riferimento hanno resistenze abbastanza diverse. La formula riportata su è diversa dalla altre (non compare la radice quadrata) per un’approssimazione nel calcolo del momento di inerzia baricentrico).

- per la trave in Legno, la tensione ammissibile del legno σ_am ottenuta dividendo la resistenza caratteristica del legno f_mk per un opportuno coefficiente di sicurezza  (nel caso del legno lamellare assumiamo ν= 1,25). Anche nel caso del legno è possibile tabulare le resistenze caratteristiche. Una considerazione da fare che il legno non è un materiale, bensì una classe di materiali, differenti nel comportamento meccanico. Il legno massiccio da costruzione ha comportamento diverso dal legno lamellare, e dipende anche dal tipo di legno (aghifoglie, latifoglie etc) che si intende utilizzare. Ad ogni modo, nel file allegato sono elencate le resistenze ed altri parametri meccanici relativi ai legni lamellari.

In tutte e tre le formule osserviamo la compresenza di parametri relativi al carico, alla geometria e al materiale della trave. Notiamo inoltre che il dimensionamento della sezione viene effettuato solo a flessione e non a taglio, in quanto in genere nelle sezioni a momento flettente massimo il taglio è nullo (la funzione taglio è la derivata della funzione momento flettente). Inoltre questo è un primo dimensionamento che deve essere soggetto a verifiche ulteriori, nelle fasi del progetto successive a quella preliminare.

2_i pilastri

Abbiamo iniziato a riferirci alla parametrizzazione dei pilastri.

In particolare ci siamo riferiti al caso di pilastri non snelli, potendo dunque considerare come effetto principale la tensione legeta allo sforzo normale centrato N. Nel seguito metteremo in conto anche gli effetti del secondo ordine, legati alla eventuale snellezza del pilastro, e derivanti dall’insorgenza del fenomeno di instabilità euleriana (carico di punta)

E' importante ricordare che la posizione del pilastro non è un fattore trascurabile nel nostro modello gerarchico; il che impone di calcolare il numero di impalcati n_ik che un pilastro del livello k-esimo deve sostenere: il livelli sono numerati a partire dal piano terra (k=1). 

n_ik = (k_max - k) + 1

ove   k_max è il numero di livelli dell’edificio  (numero di piani).

E' a questo punto possibile definire lo sforzo normale N agente su un pilastro . 

N = n_ik  * 0,5 ( l₁ + l₂ ) * 0,5 ( b₁ + b₂ ) * qs

Possiamo in questo caso notare:

- che il ragionamento sulla gerarchia dei pilastri interviene nella definizione del numero di impalcati portati dal singolo pilastro.

- che il parametro fondamentale è il carico ripartito per unità di area di solaio qs carico, che è la somma del peso proprio a metro quadro del solaio e  del sovraccarico permanente ed accidentale agenti su di un metro quadrato di solaio.

- che la formula tiene conto dell'area di influenza del pilastro   Ai=0,5 ( l₁ + l₂ ) * 0,5 ( b₁ + b₂ )  .

- che la formula è applicabile solo nel caso di edifici che abbiano carichi ripartiti per unità di area qs uguali: il che implica che parliamo di piani che abbiamo stessa funzione (ovviamente l’impalcato dell’ultimo piano ha sempre una funzione perché porta il tetto; assimilarlo agli altri è in questo caso un’approssimazione che va a vantaggio di sicurezza). Mentre nel caso di piani con palesi differenze di funzioni occorre computare caso per caso i livelli e i pilastri.

Applicando la formula di Saint Venant dello sforzo normale centrato in forma inversa (ossia con l’obiettivo di determinare l’area della sezione e non la tensione—imposta pari al valore ammissibile σ _am) l'area A minima affinchè¨ il pilastro resista allo sforzo normale di progetto.

A_min = N /σ _am

Ricordiamo che la tensione ammissibile è una caratteristica  del materiale (vedi sopra).

La dimensione del pilastro dipende dallasua geometria che è a sua volta anche legata al materiale: che nel caso dell'acciaio (profili HE) è tabulata (vedi tabelle allegate) mentre per il legno e per il CA, nell’ottica nel nostro modello strutturale semplificato, è possibile assumere come meglio resistente la sezione quadrata di lato l = sqrt(A_min ) approssimato, ovviamente, per eccesso.