Descrizione esercizio:
Trave reticolare con 11 aste e una disposizione simmetrica degli elementi,e una ripartizione delle forze anch’essa simmetrica.La trave reticolare è isostatica in quanto i gradi di libertà sono uguali ai gradi di vincolo(L=V).
Passaggio 1
Verifica isostaticità:
V=Ve+Vi (somma dei vincoli esterni ed interni)
Ve=3
Vi=2(n*-1)
n*=numero aste per ogni nodo
Vi=30
V=3+30=33
Gradi di libertà:
L*x11
L*=numero aste
11x3=33
V=L VERIFICATO
Passaggio 2
Calcolo reazioni vincolari:
Il modello non presenta carichi o forze applicate in orizzontale,pertanto essendo la struttura simmetrica le sole forze verticale saranno ripartite ugualmente tra il carrello e la cerniera.
Rua=Ruh=0
Rva=Rvh=30 kn
Passaggio 3
Risoluzione modello:
In questo caso ho ritenuto opportuno risolvere il modello con il metodo delle sezioni di Ritter,tagliando laddove necessario la trave in modo da avere 3 aste sezionate e poter fare il calcolo dei momenti intorno ad un polo,ovvero un nodo della trave.Ricaverò da questo calcolo un valore dello sforzo assiale dell’asta,che sarà di compressione(puntone) o di trazione(tirante).
In casi particolari potrò sezionare anche 2 sole aste(come nel nodo A).Tale che andrò a fare in questo caso anziché il calcolo dei momenti intorno ad un polo,farò invece il calcolo degli equilibri delle forze dirette in verticale(∑Fy) e/o in orizzontale(∑Fx).Anche in questo caso ricaverò un valore di sforzo assiale di compressione o trazione dell’asta.
Considerazioni finali:
Il modello essendo simmetrico facilita le operazioni di calcolo,andrò così a calcolare solo metà della trave sapendo già dall’inizio che gli elementi simmetrici hanno stessi valori.Per quanto riguarda la verifica dell’isostaticità avrei potuto anche usare un altro metodo ovvero, 2n-m=3,(n-numero nodi,m-numero aste).Nel caso il valore risultante fosse minore di 3 l’uguaglianza non è verificata e la trave non sarà in condizioni di equilibrio statico.
Le travi reticolari sono impiegate in architettura per la loro efficienza su grandi luci,dovuta per prima istanza all’alta resistenza dell’acciaio.Altri vantaggi sono dovuti al minor utilizzo di materia prima e quindi minor peso della struttura,ne consegue un massimo sfruttamento degli elementi che la compongono.Ciò è permesso sfruttando un metodo semplice ed efficace che è la geometria e la forma dei componenti.In ultimo esistono vari modelli di travature reticolari es. Warren(come quella dell’esercizio),Vierendeel,Howe ecc.che hanno forme e comportamenti differenti ma che utilizzano tutte lo stesso principio geometrico e di ripartizione degli sforzi sulle aste.
DIMENSIONAMENTO TRAVE IN LEGNO,ACCIAIO,CLS. ARMATO.
Ho immaginato in questo esercizio il solaio di copertura di un piccolo edificio,pertanto nell’analisi dei carichi accidentali dovrò considerare questo dato ,che ricaverò dalla normativa vigente.Inoltre nello specifico dell’esercizio ho ipotizzato un piccolo sbalzo.Quindi già da adesso saprò che nel calcolo del momento max. della trave avrò un valore diverso rispetto a quello di una trave appoggiata.Nel mio caso il momento max è pari a ql²/18.
Dati progetto:
Luce= 6 m.
Sbalzo= 2 m.
Interasse= 5 m.
Area d’influenza (interasse x luce + sbalzo)= 40 mq.
Analizzo la struttura per trovare il momento max. e inserirlo nel file excel.
Analisi dei carichi
Nell’analisi del carico totale incidente sulla trave, dovrò tener conto di 3 carichi ,ovvero:
qs:carico strutturale che dipende dalla tecnologia impiegata.
qp:carichi permanenti,dipende anche qui dalla tecnologia impiegata per il solaio,ma verranno compresi in questo valore anche altri fattori quali,incidenza del peso dei tramezzi,impianti,intonaci,ecc.
qa:carichi accidentali, dipendono dalla funzione dell’edificio e seguono le direttive della normativa vigente.Nel mio caso,ovvero copertura praticabile(CAT. H2-valida per coperture e sottotetti).La normativa mi rimanda alla categoria di appartenenza dell’edifico,pertanto avendo deciso di fare il solaio di copertura di un piccolo negozio, il valore qk(carichi verticali uniformemente distribuiti) sarà di 4 Kn/mq.Fatta questa necessaria premessa inizierò a fare i calcoli per ogni tecnologia impiegata.
Nell’analisi dei carichi dovrò tener conto del volume e del peso specifico del materiale impiegato.Successivamente dividerò il suo peso per l’area d’influenza analizzata.Faccio l’esempio di un pannello osb.
P=V x ɣ=(1m x 1m x 0,02 m) x 5 Kn/mc. =0,1 Kn (valore unitario di un pannello osb)
Q= P/A = 0,1 Kn/mq.
Legno
Qs-carico strutturale (ɣ x h):
pannello osb:0,02 m x 5 Kn/mc. =0,1 Kn/mq (valore unitario di un pannello osb) ---I pannelli di osb sono 2,quindi moltiplico il valore di un pannello(0,1 Kn/mq ) per 2. 0,1 Kn/mq x 2= 0,2 Kn/mq.
Q=P/A= 0,2 Kn / 1mq.= 0,2 Kn/mq.
Listelli in larice: (0,025 m x 0,05 m) x 6 Kn/mc.= 0,0075 Kn/mq x 2(numeri di listelli in un metro lineare)= 0,015 Kn/mq.
Qs=0,215 Kn/mq
Qp-carico permanente(ɣ x h):
Copertura in tavole di larice: 0,02 m x 6 Kn/mc = 0,12 Kn/mq
Guaina impermeabilizzante: 0,30 Kn/mq(valore standard)
Pannello isolante in lana minerale: 0,15 m x 0,3 Kn/mc= 0,065 Kn/mq
Barriera al vapore: 0,30 Kn/mq(valore standard)
Controsoffitto in cartongesso: 0,02 m x 1 Kn/mc= 0,02 Kn/mq
Qp= 0,805 Kn/mq
Carico accidentale:
Qa = 4 Kn/mq (come da normativa)
Qtot (qs+qp+qa) = 5,02 Kn/m
Dimensionamento travetti:
Calcolo del carico totale per metro lineare(q):
interasse: 1m
luce:5 m
(qs+qp+qa) x interasse = 5,02 Kn/mq x 1m = 5,02 Kn/m
Avendo ricavato il valore q,e sapendo già il valore del momento max di una trave doppiamente appoggiata con sbalzo(ql²/18),otterrò in questa maniera un dimensionamento appropriato del travetto in legno.
M=(q x l²/18) 5,02 Kn/m x 25 mq/18 = 6,972 Kn x m
Fd di progetto; fm è la resistenza a flessione del legno mentre kmod è un coefficiente compreso tra 0,3 e 0,5 in funzione della durata del carico nel tempo,tiene conto del suo deterioramento.
Ipotizzo una base del travetto di 15 cm e,inserendo questo dato nel foglio excel,ricavo un’altezza della sezione di 12,52 cm.Approssimo quindi a 15 cm.
Ricalcolo a questo punto il carico strutturale aggiungendo il peso a metro lineare dei travetti,per verificare se anche con l’aggiunta del peso proprio del travetto,il calcolo è giusto.
Qs + (0,15 x 0,15) x 6 Kn/mc x 1m = 0,2 + 0,135= 0,335 Kn/mq
L’altezza indicata con il nuovo carico è sempre inferiore di 15 cm. (12,69cm<15cm).
Il calcolo del travetto è verificato!
interasse qs qp qa q(Kn/m) luce M(kn x m) fm,k Fd b(cm) h(cm)
Dimensionamento trave:
interasse: 5 m
luce: 8 m
q= P/A
Qs:0,335 Kn/mq
Qp:0;82 Kn/mq
Qa: 4 Kn/mq
Qtot= 5,155 Kn/mq
Calcolo del carico totale per metro lineare(q):
Qtot x interasse= 5,155 Kn/mq x 5 m = 25,775 Kn/m
Il procedimento del dimensionamento della trave è lo stesso di quello per i travetti,ipotizzo anche in questo caso una base della mia trave in legno di 30 cm.Immetto questo dato nel foglio excel e ricaverò così un’altezza della sezione della trave che poi andrò ad approssimare per eccesso,per essere più sicuro in fase di verifica.In questo caso il risultato ottenuto è 32,11 cm,che io approssimo a 35 cm.
interasse qs qp qa q(Kn/m) luce M(kn x m) fm,k Fd b(cm) h(cm)
B= 30 cm H= 35 cm Area sezione= 0.105 mq
Moltiplico l’area della sezione per il peso specifico del materiale.Infine divido il risultato per l’interasse.
(0,105 mq. X 6 Kn/mc) / 5 m x = 0,126 Kn/mq
Aggiungo a qs il valore del peso della trave per metro quadro.
Qs+0,126 Kn/mq = 0,56 Kn/mq
Ricalcolando Qtot. Includendo il peso della trave,il valore dell’altezza della trave che ottengo è 32,50cm<35cm.Il calcolo della trave è verificato!
interasse qs qp qa q(Kn/m) luce M(kn x m) fm,k Fd b(cm) h(cm)
ACCIAIO
Qs-carico strutturale:
lamiera grecata(sp. 0,6 cm):0,065 Kn/mq (valore da tabella società produttrice-EDIL LOMBARDO S.R.L.)
getto di cls. collaborante*: 0,08 m x 25 Kn/mc = 2 Kn/mq
qs= 2,065 Kn/mq
Qp-carico permanente(ɣ x h):
Massetto: 0,04m x 10 Kn/mc= 0,4 Kn/mq
Guiana impermeabilizzante:0,30 Kn/mq (valore standard)
Isolante in lana minerale: 0,10 m x 0,3 Kn/mc =0,03 Kn/mq
Pavimentazione in pietra(gneiss): 0,02 m x 2,6 Kn/mc= 0,51 Kn/mq
Controsoffitto in cartongesso: 0,02 m x 1 Kn/mc= 0,02 Kn/mq
qp= 1,26 Kn/mq
Qa-carico accidentale:
qa: 4Kn/mq
Qtot= 4 + 1,46 +2,065= 7,325 Kn/mq
Dimensionamento travetti:
Qtot x interasse (1 m) = 7,325 Kn/m
interasse:1 m
luce:5 m
Inseriti i rispettivi carichi nella tabella di excel,ricavo un valore del modulo di resistenza pari a 95,72 cm³.Nel profilario il valore che più si avvicina a questo risultato è quello dell’ IPE 160 (Wx= 109 cm³).Il peso di questo profilo è 15,8 kg/m.Ricordo per scrupolo che il modulo di resistenza è calcolato attraverso il rapporto tra il momento max agente e la tensione di progetto Fd(M/fd).
interasse qs qp qa q(Kn/m) luce M(kn x m) fyk Fd Wx(cm³)
Calcolo quindi il peso dei travetti in un metro quadro.
0,15 Kn/m / 1 m= 0,15 Kn/mq----------qs + 0,15 Kn/mq = 2,215 Kn/mq
Questo risultato lo inserirò di nuovo nella tabella per calcolarmi il modulo di resistenza della trave.
interasse qs qp qa q(Kn/m) luce M(kn x m) fyk Fd Wx(cm³)
Prima però devo verificare se il calcolo è corretto,pertanto sostituisco il nuovo qs nel foglio excel,e ottengo così un valore del modulo di resistenza pari a 97,68 cm³ < 109 cm³.Il calcolo è verificato!
Dimensionamento trave:
Qtot x interasse (5 m) = 37,375 Kn/m
interasse: 5 m
luce: 8 m
Tensione di progetto fD :
f_D =fy,k/1,15= 275 (N/mmq) /1,15 = 239,13 N/mmq
dove fyk è la resistenza a snervamento di questa classe di acciaio calcolata in Mpa.
interasse qs qp qa q(Kn/m) luce M(kn x m) fyk Fd Wx(cm³)
Modulo di resistenza Wx = M/ fD
Wx = (132,88 KN x m / 239,13 N/mmq) x 1000 = 555,72 cm3
Anche quì come nel caso del dimensionamento dei travetti,scelgo per approssimazione l’IPE 330 con una Wx di 713 cm³,ampiamente sopra il valore ottenuto.Pertanto già posso immaginare che il dimensionamento sarà verificato.Comunque per sicurezza sono obbligato a fare il calcolo,e così avrò un peso al metro unitario pari a 49,1 kg/m.
0,491 Kn/m / 1 m= 0,491 Kn/mq ---------aggiungo di nuovo a qs un nuovo valore,cioè il peso della trave stessa,per poi verificare se il risultato ottenuto sarà inferiore di quello ricavato in precedenza.
interasse qs qp qa q(Kn/m) luce M(kn x m) fyk Fd Wx(cm³)
Qs + 0,491 Kn/mq= 2,706 Kn/mq ---------- Wx= 592,22 cm³< 713 cm³
Verificato!
CALCESTRUZZO
Qs-carico strutturale:
solaio in laterocemento (20 cm blocco + 5 soletta) = 3,17 Kn/mq (valore standard)
qs = 3,17/Kn/mq
Qp-carico permanente(ɣ x h):
massetto: 18 Kn/mc x 0,04 m x = 0,72 Kn/mq
guiana impermeabilizzante:0,30 Kn/mq = 0,30 Kn/mq
intonaco:0,30 Kn/mq = 0,30 Kn/mq
isolante in lana minerale: 0,10 m x 0,3 Kn/mc = 0,03 Kn/mq
pavimento in lastre di cls: 0,03 m x 18 Kn/mc = 0,54 Kn/mq
qp = 1,89 Kn/mq
Qa-carico accidentale:4 Kn/mq
Qtot = 9,06 Kn/mq
DIMENSIONAMENTO TRAVE:
carico totale a metro lineare:
(qs + qp + qa) x i = 45,3 Kn/m
Calcolo della tensione di progetto fd_f:
fy/1,15=450/1,15= 391,30 N/mmq
-acciaio B450C
Il valore di progetto della tensione dell’acciaio sarà pari al valore massimo della tensione fy diviso il coefficiente di sicurezza 1,15.Ho usato quindi questa classe di acciaio(B450C) anzichè il B450A,poichè è vietato l'utilizzo di quest'ultima, nell'armatura del cemento armato in zone a rischio sismico.
Calcolo della tensione di progetto fd_c:
fck/1,75=40/1,75= 22,86 N/mmq
-calcestruzzo C40/50
Il valore di progetto della tensione del calcestruzzo sarà pari alla resistenza cilindrica fck diviso il coefficiente di sicurezza 1,75.
Ora che ho deciso le classi di calcestruzzo e acciaio da utilizzare nel progetto della trave,ipotizzerò la base della trave stessa per poi ottenere il valore dell’altezza utile della sezione(h).Questo valore è importante perché corrisponde alla distanza tra il lembo superiore della trave(parte compressa)e la sezione dell’armatura in ferro(parte tesa).A questo valore dovrò aggiungere un’altra porzione di calcestruzzo(delta),tale che questa aggiunta protegga l’armatura dalla corrosione degli agenti atmosferici.
Hutile = 37,81 cm
Delta = 5 cm
Htot = 42,81
In questo caso(come ho già fatto per il dimensionamento delle travi di acciaio e legno) sceglierò un’altezza totale di 45 cm,approssimando per eccesso il valore ricavato dai calcoli.Dopo quest’operazione aggiungerò il peso proprio della trave a quello totale per metro lineare(q).
Sezione 0,25 x 0,45
q + 2,68 Kn/m = 47,98 Kn/m
Infine verifico che la sezione della trave sia corretta anche con l'aggiunta del peso proprio della trave,comparando il valore dell'altezza totale(H).
43,91 cm < 45 cm
La sezione è verificata!
STRUTTURA RETICOLARE SPAZIALE
L’esercizio prevede il disegno in autocad 3d di una travatura reticolare spaziale,per poi esportarla in SAP 2000,per verificarne le sollecitazioni a cui è sottoposta e dimensionare le aste.
1)Disegno il modulo base 2 x 2 x 2.
Per prima cosa devo creare il layer “aste”,così quando importerò il modello in SAP sostituirò questo layer con quello “frames”.Successivamente disegno il mio modulo a partire dalla pianta(piano xy)per poi andare in vista 3d e completare il mio modulo 2 x 2 x 2.
2)Array(serie)
Una volta fatto il modulo con il comando polilinea,andrò ad esplodere questo piccolo modulo così da non avere una sovrapposizione di aste e avere quindi un disegno pulito.Infine con il comando array(serie) replico il mio modulo 7 x 5 nelle direzioni x-y.
3)Struttura completata
Una volta che ho completato la struttura salverò il modello come file dxf 2000 di autocad.Questo passaggio mi consentirà di aprire il modello 3d di autocad in SAP 2000,e svolgere le operazioni di calcolo.
4)Importo il file dxf 2000
Assegno al layer frames quello di aste.
In seguito a questo passaggio devo considerare una serie di passaggi che dovrò affrontare per il corretto svolgimento dell’esercizio:
a-assegnare i vincoli esterni agli estremi della travatura reticolare
b-definizione vincoli interni(cerniere di collegamento tra le singole aste)
c-definizione del materiale
d-definizione sezione materiale
e-definizione del carico verticale
f-verifica delle aste più sollecitate a compressione e trazione
N.B. selezionare in basso a destra le corrette unità di misura Kn,m,C.
a)
Assegno i 4 vincoli esterni selezionando attentamente i 4 punti posti agli estremi inferiori della travatura reticolare.
b)
Definisco i vincoli interni tra le aste,selezionandole tutte e dando ad ognuna di loro un momento iniziale e finale.Procedimento assign > frame > partial fixity > assign frame realeses e spuntare il rilascio del momento inizale e finale per ogni asta.
c)
Definisco quindi il materiale acciaio.Define > materials > add new material > creo il materiale acciaio(steel).
d)
Definisco la sezione delle aste,scegliendo una sezione tubolare(pipe).Define > section properties > pipe,dovrò quindi assegnare alla sezione il materiale acciaio precedentemente creato.Infine seleziono tutte le aste e assegno loro questa sezione.
e)
Define > load pattern > creo una nuova forza(forza concentrata).A questo punto assegno a tutti i nodi superiori della struttura la forza concentrata.Per fare ciò dovrò andare in display > options > e spunto la voce “frames not in view”,così da avere solo i nodi e poterli selezionare più facilmente.La forza concentrata sarà pari a 40 Kn,ed agirà su ogni nodo.
f)
Faccio partire l’analisi delle sollecitazioni e la deformazione.Inoltre per capire qual è l’asta più sollecitata farò il seguente procedimento,display > show tables > elements output.Da questa finestra andrò a vedere l’asta più sollecitata a trazione e compressione,per la quale eseguirò il dimensionamento.
DIMENSIONAMENTO A COMPRESSIONE
L’asta più sollecitata è la n 192 sulla quale agisce una forza pari a 389,018 Kn.
Scelgo l’acciaio s355 che mi servirà per il dimensionamento dell’asta.
Fd = Fyk/1,05-----355/1,05 = 338,095 N
A = N/Fd------ 389018 N / 338,095 N/mmq = 1150,61 mmq = 11,50 cmq
Ho scelto quindi un profilo con una sezione di 12,50 cmq.Dovrò verificare la stabilità del profilo attraverso la formula del carico critico euleriano,essendo un’asta sottoposta a sforzo di compressione.
Pcritico = |(3,14)² x E x Imin.| / lo²
E:modulo di elasticità del materiale
Imin.:momento d’inerzia
Lo = lunghezza libera d’inflessione;l’asta sottoposta a maggiore compressione è un’asta obliqua con una lunghezza pari a 2,828 m;posso considerare quindi quest’asta come una trave doppiamente appoggiata dove la sua lunghezza libera d’inflessione è uguale alla lunghezza dell’asta(lo = 1).
Pcritico = |(3,14)² x 210000 x 1920000 | / 2828 = 497073,95 N = 497,073 Kn > 389,018 Kn
Il dimensionamento dell’asta è verificato!
DIMENSIONAMENTO A TRAZIONE
L'asta maggiormente sottoposta a sforzo di trazione è la 221 con un valore di 328,569 Kn.Anche quì come nelle aste compresse sceglierò un'acciaio con un fyk pari a 355 Mpa.
A = N / Fd = 328569 N / 338,095 N/mmq = 971,824 mmq = 9,71 cmq
9,71 < 12,5
Posso dunque adottare il profilo utilizzato per il dimensionamento a compressione,in quanto è verificato anche nel dimensionamento a trazione.A differenza del precedente dimensionamento,nel calcolo della sezione sottoposta a sforzo di trazione non dovrò fare alcuna verifica,in quanto negli elementi tesi non ci sono carichi di punta e pericoli d'instabilità dell'elemento.
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