Calcolo struttura reticolare simmetrica con il metodo delle sezioni di Ritter

Ci troviamo di fronte ad una struttura reticolare, una struttura formata da elementi lineari, collegati da cerniere, soggetti a solo sforzo normale.

Passo 1

Per prima cosa dobbiamo verificare se la struttura è isostatica. Per fare ciò dobbiamo vedere se il numero dei vincoli è uguale al numero dei gradi di libertà della struttura.

Il numero di gradi di libertà è dato dal numero di aste presenti nella struttura moltiplicato per il numero di gradi di libertà di ogni elemento.

l = 11 (aste) x3 (gradi di libertà) =33

Il numero dei vincoli è dato dalla somma dei vincoli interni e esterni.

V = V_e + V_i

I vincoli esterni sono 3: la cerniera blocca 2 gradi di libertà, il carrello blocca la traslazione verticale perciò un grado di libertà.

Per calcolare i vincoli interni utilizziamo la formula: V_i = 2*(n -1) dove n è il numero di aste che arrivano alla cerniera interna. Calcoliamo perciò il contributo di ogni cerniera:

A-H --> 2*(2-1) = 2

B-G --> 2*(3-1) = 4

C-D-E --> 2*(4-1) = 6

La sommatoria dei vincoli interni sarà perciò: V_i = 2+2+4+4+6+6+6 = 30, che sommata ai vincoli esterni V_e = 3 dà V = 33

Perciò: V(33) = l(33)  VERIFICATO!

Bene, ora abbiamo verificato l' isostaticità della struttura, passiamo al calcolo delle reazioni vincolari:

Passo 2

Equilibrio alla traslazione orizzontale: U_A = 0

Equilibrio alla traslazione verticale: V_A + V_B - 60 kN = 0

Essendo simmetrica la struttura:  V_A = V_B = 30 kN

Passo 3: Metodo delle sezioni di Ritter

A questo punto utilizzando il metodo delle sezioni di Ritter calcoliamo gli sforzi assiali nelle singole aste.

Faccio l' equilibrio alla rotazione nel nodo C:  -120 kNm + 40 kNm - 2N₁ = 0 ----> N₁ = -40 kN

Equilibrio alla rotazione in B: -30 kN * 2 m + 2m * N₃ = 0 ----> N₃ = 30 kN

Per calcolare N₂ faccio l' equilibrio alla traslazione verticale considerando la componente verticale di N₂:

30 kN - 20 kN - N₂ * radice2/2 = 0 -----> N₂ = 14,14 kN

Passiamo ora alla sezione n° 2:

Faccio l' equilibrio alla traslazione orizzontale per calcolare N₄:

30 kN + radice2/2 N₄ = 0 ----> N₄ = -42,4 kN

Faccio l' equilibrio alla rotazione in D: N₅*2m + 20 kN*4m - 30 kN*6m = 0 -----> N₅ = 50 kN

Faccio ora l' equilibrio alla traslazione verticale per calcolare la reazione restante N₆:

30 kN - 20 kN + radice2/2*N₆ = 0 ----> N₆ = - 14,14 kN

Sfruttando le proprietà della simmetria riesco a disegnare tutte le reazioni nelle aste:

A questo punto posso verificare i risultati trovati tramite il software SAP2000:

- disegno la struttura

- assegno i carichi

- avvio l' analisi della struttura

Diagramma dello sforzo assiale: