Esercitazione trave reticolare 2d- Metodo delle sezioni di Ritter-
Nel modello di travatura reticolare consideriamo le aste soggette solo a sforzo normale, e non a momento e a taglio. Un metodo per calcolare una travatura reticolare isostatica è il metodo delle sezioni di Ritter.
Prendo in considerazione quindi il modello di trave reticolare (AB= 2*sqrt2 m, AC= 4m) rappresentato in figura sopra. Come prima cosa ne verifico l'isostaticità. Illustro i due metodi per farlo:
1) l=V (con l: gradi di libertà e V= Ve + Vi: vincoli esterni + vincoli interni)
l= n_aste * 3= 11*3=33
Ve= carrello + cerniere= 2+1=3 Vi= 2(n-1) --> con n= numero di corpi che la cerniera collega
A-H= 2(2-1)= 2; B-G= 2(3-1)= 4; C-D-E= 2(4-1)=6; Vi=30 --> V= 30+3= 33= l (isostaticità verificata)
2) Ve + a = 2n ( dove a= numero aste e n= numero nodi) --> 3+11= 2*7 --> 14=14 (isostaticità verificata)
Calcoliamo ora facilmente le reazioni vincolari di carrello e cerniera tenendo a mente la simmetria della struttura. Faccio l'equilibrio a traslazione verticale: Va + Vb= 3F. Per simmetria Va= Vb= 3/2F
Il metodo delle sezioni di Ritter prevede di effettuare dei tagli virtuali che dividono in due la struttura sezionando le aste facendo in modo che tre di esse non convergano nello stesso nodo.
-primo taglio s1:
Scomponiamo N1 nelle sue componenti verticale e orizzontale entrambe con valore N1*(sqrt2)/2.
Per prima cosa facciamo l'equilibrio a rotazione con centro in B. Otteniamo quindi: 30*2 -2* N2= 0 --> N2= 30KN
Facendo poi l'equilibrio a traslazione verticale otteniamo N1*(sqrt2)/2=N2 --> N1=30*(sqrt2) KN
L'asta AB risulta quindi compressa (puntone). L'asta AC risulta invece tesa (tirante).
-secondo taglio s2:
Scomponiamo N3 nelle sue componenti verticale e orizzontale entrambe con valore N3*(sqrt2)/2.
Facciamo l'equilibrio a rotazione con centro in C. Otteniamo quindi: 30*4 - 20*2 - N4*2 --> N4= 40 KN
Facendo poi l'equilibrio a traslazione verticale otteniamo: 30 - 20 - N3*(sqrt2)/2= 0 --> N3= 10*(sqrt2) KN
L'asta BD risulta quindi compressa (puntone). L'asta BC risulta invece tesa (tirante).
-terzo taglio s3:
Scomponiamo N5 nelle sue componenti verticale e orizzontale entrambe con valore N5*(sqrt2)/2.
Facciamo l'equilibrio a rotazione con centro in D. Otteniamo quindi: 30*6 - 20*4 - N6*2 --> N6= 50 KN
Facendo poi l'equilibrio a traslazione verticale otteniamo: 30 - 20 - N5*(sqrt2)/2= 0 --> N5= 10*(sqrt2) KN
L'asta CD risulta quindi compressa (puntone). L'asta CE risulta invece tesa (tirante).
Per simmetria della struttura possiamo considerare i valori delle azioni di contatto trovati validi anche per il pezzo di trave speculare non calcolato.
Esercitazione trave reticolare 2d- Metodo dei nodi-
Un altro metodo per calcolare lo sforzo normale in una travatura reticolare isostatica è quello dei nodi. Partiamo dal presupposto per il quale una struttura si considera in equilibrio se ognuno dei suoi nodi è in equilibrio. Poniamo quindi per ciascuno di essi l'equilibrio a traslazione.
Il modello di trave reticolare preso in considerazione è rappresentato in figura sopra. (AB=AC= 1m). Come illustrato nel precedente esempio verifichiamo l'isostaticità della struttura.
l= 11*3= 33= V= 30+3=33 --> l=V
Calcoliamo facilmente quindi le reazioni vincolari di carrello e cerniera. Dall'equilibrio a traslazione verticale: Ya= 2F. Dall'equilibrio a rotazione: Xh= 3F. Dall'equilibrio a traslazione orizzontale: Xa= Xh= 3F.
-) nodo B:
Non essendo presenti forze esterne agenti, dall'equilibrio a traslazione ricaviamo che N1=N2=0
Da cui: aste AB-BD scariche.
-) nodo A:
Scomponiamo N3 nelle sue componenti verticale e orizzontale entrambe con valore N3*(sqrt2)/2.
Da Eq. Fy ricaviamo che: N3= 2F*(sqrt2)
Da Eq. Fx ricaviamo che: N4= F
Da cui: aste AC-AD compresse.
-) nodo C:
Da eq. Fy ricaviamo che N6=0
Da eq. FX ricaviamo che N5=N4= F
Da cui: asta CD scarica; asta CE compressa.
-) nodo D:
Scomponiamo N7 nelle sue componenti verticale e orizzontale entrambe con valore N7*(sqrt2)/2.
Da Eq. Fy ricaviamo che: N7= F*(sqrt2)
Da Eq. Fx ricaviamo che: N8= 3F
Da cui: asta DG compressa; asta DE tesa.
-) nodo E:
Scomponiamo N10 nelle sue componenti verticale e orizzontale entrambe con valore N10*(sqrt2)/2.
Da Eq. Fy ricaviamo che: N9= F
Da Eq. Fx ricaviamo che: N10= 0
Da cui: asta EH scarica; asta EG compressa.
-) nodo G:
Da Eq. Fy ricaviamo che: N9= F
Da Eq. Fx ricaviamo che: N8= N11= 3F
Da cui: asta GH compressa.
-) nodo H:
Da Eq. Fx ricaviamo che: N11= 3F
Di seguito riportiamo i diagrammi dello sforzo normale elaborati in Sap:
Esercitazione dimensionamento trave in legno, acciaio e calcestruzzo
Per svolgere l’esercitazione di dimensionamento di travi ho preso in considerazione la prima ipotesi di struttura che sto elaborando con il mio gruppo di laboratorio 2M (Forlani, Cardone, Dad Khan) per il progetto di un albergo a Garbatella. In particolare ho scelto come modello di impalcato da analizzare una porzione di piano tipo dell’edificio-albergo che comprende lo schema distributivo camera-ballatoio.
La struttura raffigurata nel disegno sottostante è caratterizzata da un interasse di 4 metri e una luce di 6 metri, con uno sbalzo (ballatoio) di 2 metri. La trave e il travetto di cui eseguirò il dimensionamento nelle tre tecnologie sono quelli evidenziati con il colore. L' area di influenza della trave è di 4,00m x 8,00m= 32 mq mentre l'area di influenza del travetto in legno e acciaio è 1,00m x 4,00= 4,00 mq, in calcestruzzo: 0,50m x 4,00m= 2mq. (Tutti i pesi specifici dei materiali sono stati presi da http://www.sanzioniamministrative.it/collegamenti/Testi/Tabelle/Tab_Pesi_Spec.htm ).
DIMENSIONAMENTO SOLAIO IN LEGNO
-)TRAVETTI:
In primo luogo immagino che l’impalcato sopra descritto sia realizzato in legno, dunque rappresento di seguito un’ipotetica soluzione di pacchetto di solaio in legno. Subito dopo comincio a ragionare sui carichi che un solaio così realizzato deve sostenere. In base alle tre categorie in cui sono suddivisi i carichi annovero (per una porzione di solaio di 1mq) in:
-CARICHI STRUTTURALI (qs) le travi, i travetti, e il tavolato;
-SOVRACCARICHI PERMANENTI (qp) isolante acustico, massetto, parquet;
-SOVRACCARICHI ACCIDENTALI (qa) legati alla funzione dell’edificio, nel mio caso per l’albergo, considero il valore stabilito per un edificio mediamente affollato (2 KN/mq).
Calcolo ora nello specifico i carichi:
-CARICHI STRUTTURALI (qs): tavolato in legno di noce, peso specifico: 700 kg/mc
volume tavolato (per 1 mq): 0,05 m x 1,00 m x 1,00 m= 0,05 mc
peso tavolato (per 1 mq): 700 x 0,05= 35 kg/mq= 0,35 KN/mq
-CARICHI PERMANENTI (qp): isolante acustico ACUSTIC SYSTEM 7, peso al mq (tabellato),
spessore 7 mm, peso: 3 kg/mq= 0,03 KN/mq
massetto in cemento, massa volumica: 2000 kg/mc
volume massetto (per 1 mq): 0,07m x 1 m x 1 m= 0,07 mc
peso massetto (per 1 mq): 2000 x 0,07=140 kg/mq=1,4 KN/mq
parquet in ciliegio, peso specifico: 850 kg/mc
volume parquet (per 1 mq): 0,02m x 1m x 1m= 0,02 mc
peso parquet (per 1 mq): 0,02 x 850= 17 kg/mq= 0,17 KN/mq
incidenza impianti: 0,5 KN/mq
incidenza tramezzi: 1 KN/mq
-CARICHI ACCIDENTALI (qa): 2 KN/mq (edificio per civile abitazione)
-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse
( 0,35 + 3,1 + 2 ) x 1= 5,45 KN/m
A questo punto inserisco i dati relativi ai carichi calcolati nel foglio elettronico fornito a lezione, viene quindi calcolato il momento massimo per una trave appoggiata appoggiata mediante la formula q*l^2/8. Scelgo poi la classe di resistenza del legno, ad esempio GL24H, con fm,k=24 N/mmq e inserisco il kmod (coefficiente legato alla durata del materiale) che per il legno lamellare vale 0,7.
Inserisco infine un valore per la base della sezione di 12 cm, ottengo un valore di altezza minima di 21,69 cm. Scelgo quindi un profilato, da una tabella di prodotti fornita da un’azienda produttrice trovata in rete (Kaufmann-Canducci), di 12 x 22 cm.
Verifico il progetto del travetto aggiungendo ai carichi strutturali precedentemente calcolati anche il peso del travetto progettato:
peso specifico legno lamellare: 450 kg/mc
volume travetto (per 1 mq): 0,12m x 0,22m x 1,00 m= 0,0264 mc
peso travetto (per 1 mq): 450 x 0,0264= 11,88 kg/mq= 0,
12 KN/mq
CARICO TOTALE: ( (0,35 + 12) + 3,1 + 2 ) x 1= 5,57 KN/m
Inserisco il nuovo valore di carico totale nel foglio elettronico, e ottengo un valore di altezza minima di 21,93 cm < 22 cm inferiore a quello della sezione progettata, che risulta quindi verificata.
-)TRAVE:
Dopo aver calcolato i carichi al mq nel progetto del travetto, il procedimento per il progetto della trave risulta analogo e velocizzato. Devo però ricordare che i carichi sono gli stessi eccetto il carico strutturale a cui devo aggiungere il contributo del travetto progettato, e l’interasse è ora quello della trave, 4 metri.
-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse
(O,47 + 3,1 + 2 ) x 4= 22,28 KN/m
Devo ora calcolare il momento massimo agente sulla trave. Stavolta non si tratta di una trave appoggiata appoggiata come nel travetto, ma di una trave appoggiata appoggiata con uno sbalzo di 2 metri (ballatoio). Per desumere rapidamente il momento massimo disegno il mio modello in SAP2000, assegnandogli il carico che ho calcolato. Trovato quindi il momento massimo lo inserisco nel foglio elettronico.
Scelgo la classe di resistenza del legno, stavolta GL36H sempre consultando i dati forniti dall’azienda produttrice, e inserisco un valore per la base della sezione di 20 cm. Ottengo quindi un valore di altezza minima della trave di 36,91 cm, scelgo dunque un profilato di 20 cm x 40 cm.
Verifico il progetto della trave aggiungendo ai carichi strutturali precedentemente calcolati anche il peso della trave progettata:
peso specifico legno lamellare: 450 kg/mc
volume trave: 0,20m x 0,40m x 8,00 m= 0,64 mc
peso trave: 450 x 0,64= 288 kg
peso distribuito della trave: 288/(8 x 4)= 9 kg/mq= 0,09 KN/mq
CARICO TOTALE: ((O,47 + 0,09) + 3,1 + 2 ) x 4= 22,64 KN/m
Avendo calcolato il nuovo carico totale comprensivo del contributo della trave progettata, mi ricalcolo il momento massimo modificando il modello già disegnato in SAP2000, e inserisco il valore trovato nel foglio elettronico.
Ottengo un valore di altezza minima di 37,20 cm < 40 cm, inferiore a quello della sezione progettata, che risulta quindi verificata.
DIMENSIONAMENTO SOLAIO IN ACCIAIO
Prendo in considerazione lo stesso impalcato immaginando stavolta di realizzarne la struttura in acciaio. Ipotizzo che il solaio sia in lamiera grecata.
-)TRAVETTI:
-CARICHI STRUTTURALI (qs): lamiera grecata tipo HI-BOND A55/P600, spessore: 0,7 mm
peso: 9,16 kg/mq= 0,092 KN/mq
soletta, spessore (Htot): 12cm
peso: 240 kg/mq= 2,4 KN/mq
-CARICHI PERMANENTI (qp): rete elettrosaldata ф6/20 cm, peso specifico acciaio: 78,50 KN/mc
Volume 10 ф6 (per 1 mq): (πr^2*1)*10= 0,0011304 mc
Peso rete (per 1 mq): 78,50 x 0,0011304= 0,0887 KN/mq
isolante acustico ACUSTIC SYSTEM 7, peso al mq (tabellato)
3 kg/mq= 0,03 KN/mq
Sottofondo in malta, peso specifico: 1900 kg/mc
Volume sottofondo (per 1 mq): 0,06m x 1 m x 1 m= 0,06 mc
peso sottofondo (per 1 mq): 1900 x 0,06=114 kg/mq=1,14 KN/mq
pavimento in marmo, peso specifico 2694 kg/mc
volume lastra di marmo (per 1 mq): 0,02m x 1m x 1m= 0,02 mc
peso pavimento (per 1 mq): 0,02 x 2694= 53,88 kg/mq= 0,54 KN/mq
controsoffitto in lastre di gesso tipo KNAUF,spessore di rivestimento:2,7cm
peso controsoffitto: 30 Kg/mq
peso sovraccarichi controsoffitto (materiali isolanti, lampade, plafoniere,
impianti in genere…): 40 Kg/mq
peso totale controsoffitto: 70 kg/mq= 0,7 KN/mq
incidenza impianti: 0,5 KN/mq
incidenza tramezzi: 1 KN/mq
-CARICHI ACCIDENTALI (qa): 2 KN/mq (edificio per civile abitazione)
-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse
( 2,492 + 3,9987 + 2 ) x 1= 8,4907 KN/m
Inserisco a questo punto i valori dei carichi calcolati nel foglio elettronico. Scelgo la classe di resistenza del ferro FE430S275 e ottengo un valore di Wx=64,84 cm^3. Dalla tabella trovata in rete, il profilo con valore di Wx immediatamente superiore risulta avere una sezione di 14 x 7,3 cm, con un Wx=77,3 cm^3.
Verifico il progetto del travetto aggiungendo ai carichi strutturali precedentemente calcolati anche il peso del travetto progettato:
peso travetto (per 1 m): 12,9 kg/m (dalla tabella di riferimento trovata in rete)
peso travetto (per 1 mq): 12,9/1= 12,9 kg/mq= 0,13 KN/mq
CARICO TOTALE: ( (2,492 + 0,13) + 3,9987 + 2 ) x 1= 8,6207 KN/m
Inserisco il nuovo valore del carico strutturale (aumentato del contributo del travetto) nel foglio elettronico e ottengo un nuovo valore di Wx= 65,83 cm^3 < 77,3.
La sezione è dunque verificata.
-)TRAVE:
Anche in questo caso, dopo aver calcolato i carichi al mq nel progetto del travetto, procedo al progetto della trave principale. Aggiungo ai carichi strutturali il contributo dato dal travetto appena progettato, e considero che l’interasse è stavolta quello della trave, ovvero 4 metri.
-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse
(2,622 + 3,9987 + 2 ) x 4= 34,4828 KN/m
Calcolo ora il momento massimo agente sulla trave. Inserisco il mio modello di trave appoggiata appoggiata con sbalzo in SAP e ottengo il valore del momento massimo= 122,13 KN*m. Lo inserisco nel foglio elettronico.
Mantenendo la classe di resistenza del ferro FE430S275 ottengo un valore di Wx minimo= 466,31 cm^3. Dalla tabella che ho preso come riferimento seleziono una sezione di dimensioni 30cm x 15cm e Wx= 557 cm^3.
Verifico ora il progetto della trave aggiungendo ai carichi strutturali il peso proprio della trave:
peso trave (per 1 m): 42,2 kg/m (tabellato)
peso trave (per 1 mq): 42,2/4= 10,55 kg/mq=0,1KN/mq
CARICO TOTALE: ((2,622 + 0,1) + 3,9987 + 2 ) x 4= 34,8828 KN/m
Calcolo nuovamente in SAP il momento massimo agente sulla trave avendo modificato il carico. Il momento massimo risulta essere di 123,54 KN*m.
Inserisco il nuovo valore del momento nel foglio elettronico e ottengo un valore di Wx minimo= 471,70 < 557 cm^3.
La sezione risulta dunque verificata.
DIMENSIONAMENTO SOLAIO IN CEMENTO ARMATO
Infine prendo in considerazione ancora lo stesso impalcato immaginando stavolta di realizzarne la struttura in cemento armato. Analizzo quindi un solaio in latero cemento come mostrato nel disegno sottostante.
-)TRAVETTI:
Considero inizialmente il carico strutturale qs=0
Calcolo ora i carichi permanenti:
-CARICHI PERMANENTI (qp): massetto in cemento, massa volumica: 2000 kg/mc
volume massetto (per 1 mq): 0,04m x 1 m x 1 m= 0,04 mc
peso massetto (per 1 mq): 2000 x 0,04=80 kg/mq=0,8 KN/mq
isolante acustico ACUSTIC SYSTEM 7, peso al mq (tabellato), spessore
7 mm, peso: 3 kg/mq= 0,03 KN/mq
Sottofondo in malta, peso specifico: 1900 kg/mc
Volume sottofondo (per 1 mq): 0,06m x 1 m x 1 m= 0,06 mc
peso sottofondo (per 1 mq): 1900 x 0,06=114 kg/mq=1,14 KN/mq
pavimento in granito, peso specifico 2500 kg/mc
volume lastra di marmo (per 1 mq): 0,02m x 1m x 1m= 0,02 mc
peso pavimento (per 1 mq): 0,02 x 2500= 50kg/mq= 0,5 KN/mq
intonaco, sp. 1 cm, peso al mq per cm di spessore: 16 kg/mq= 0,16 KN/mq
incidenza impianti: 0,5 KN/mq
incidenza tramezzi: 1 KN/mq
-CARICHI ACCIDENTALI (qa): 2 KN/mq (edificio per civile abitazione)
-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse
( 0 + 4,13 + 2 ) x 0,5= 3,065 KN/m
Inserisco a questo punto i valori dei carichi calcolati nel foglio elettronico. Scelgo la classe di resistenza del ferro: FE360S235 e del cemento: C32/40. Seleziono una sezione del travetto di base 12 cm e ottengo dal foglio elettronico un valore minimo di altezza utile di 9,50 cm con copriferro di 4 cm.
Seleziono da una tabella trovata in rete di una casa produttrice, un pacchetto di solaio in calcestruzzo con interasse 50 cm, travetti da 12 cm di larghezza e altezza 16 cm (12cm + 4cm).
Verifico il progetto del travetto considerando il suo peso proprio come carico strutturale:
peso del pacchetto strutturale del solaio selezionato: 2,15 KN/mq (tabellato)
CARICO TOTALE: (2,15 + 4,13 + 2) x 0,5= 4,14 KN/m
Inserisco il valore nel foglio elettronico e ottengo un'altezza minima totale di 15,04 cm < 16 cm.
La sezione risulta dunque verificata.
-)TRAVE:
Anche in questo caso, dopo aver calcolato i carichi al mq nel progetto del travetto, procedo al progetto della trave principale. Aggiungo ai carichi strutturali il contributo dato dal travetto appena progettato, e considero che l’interasse è stavolta quello della trave, ovvero 4 metri.
-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse
(2,15 + 4,13 + 2) x 4= 33,12 KN/m
Calcolo ora il momento massimo agente sulla trave. Inserisco il mio modello di trave appoggiata appoggiata con sbalzo in SAP e ottengo il valore del momento massimo= 117,3 KN*m.
Scelgo la classe di resistenza del ferro: FE360S235 e del cemento: C32/40. Considero una sezione di base 20 cm e ricavo un valore di altezza utile minimo di 32,18 cm, considerando 5 cm di copriferro: 37,18 cm. Seleziono quindi una sezione di dimensioni 20 x 40 cm.
Verifico il progetto della trave aggiungendo ai carichi strutturali il suo peso proprio:
peso specifico cemento: 2500 kg/mc
volume: 0,2 x 0,4 x 8= 0,64 mc
peso trave per 1 mq: (2500 x 0,64)/32= 50 kg/mq= 0,5 KN/mq
CARICO TOTALE: ((2,15 + 0,5) + 4,13 + 2) x 4= 35,12 KN/m
Calcolo nuovamente in SAP il momento massimo agente sulla trave avendo modificato il carico. Il momento massimo risulta essere di 124,38 KN*m.
Inserisco il nuovo valore del momento nel foglio elettronico ottengo un valore minimo di altezza utile di 33,13 cm, altezza totale : 33,13 cm + 5 cm= 38,13 cm < 40 cm.
La trave è quindi verificata.
ESERCITAZIONE TRAVATURA RETICOLARE TRIDIMENSIONALE
Dopo aver svolto l’esercitazione sulla travatura reticolare tridimensionale in aula, ho provato a rifarne una rielaborando la struttura. Il modulo base e l’intera struttura sono rappresentati nelle immagini sottostanti.
Quindi una volta disegnata la struttura reticolare tridimensionale in autocad la salvo in formato .dxf (possibilmente 2000 perché può dare problemi con le versioni successive).
Importo quindi il file .dxf appena disegnato in SAP2000 e in primo luogo assegno i vincoli esterni, cioè le quattro cerniere agli angoli.
Definisco quindi il carico concentrato, ponendo il moltiplicatore di peso proprio uguale a zero.
Assegno il carico concentrato solamente ai nodi superiori, di valore 100 KN. Per selezionare solo i nodi superiori imposto la vista sul piano xy e controllo di essere alla quota giusta tramite il comando “set 2d view”. Con il comando “set display options” disattivo la voce “invisible” sotto “joints” e attivo la voce “frames not in view” sotto “frames”. Ho reso così visibili solo i nodi superiori della struttura e posso selezionarli per assegnare la forza concentrata.
Trattandosi di una travatura reticolare le aste sono collegate tra loro da cerniere interne, quindi seleziono tutte le aste e rilascio i momenti all’inizio e alla fine.
Eseguo quindi l’analisi.
Mi serve visualizzare i valori dello sforzo normale per le singole aste, quindi clicco su “display”, “show tables”, spunto la voce “element output” sotto “analysis results”. Per esportare il file con i valori dello sforzo normale delle aste in excel seleziono “file”, “export current table”, “to excel”.
Per eseguire il dimensionamento delle aste mi occorre ottenere un file excel che mi comunichi le tre informazioni principali: numero dell’asta, lunghezza, e sforzo normale agente su essa.
So che Sap per ogni asta effettua più sezioni, essendo lo sforzo normale costante, e dato che l’ultima sezione corrisponde alla lunghezza dell’asta, posso ordinare la tabella excel in base alle sezione. Sapendo che nello schema strutturale da me disegnato ho precisamente due tipi di aste: di lunghezza 2 metri e di lunghezza 2,8 metri (aste diagonali), posso copiare su un nuovo file excel la tabella solamente con i dati relativi alle sezioni effettuate rispettivamente a 2 metri e a 2,8 metri.
Così facendo ottengo un file excel in cui ogni asta compare una sola volta con le tre informazioni principali: numero asta, lunghezza e sforzo normale agente.
Dimensiono in primo luogo le aste tese considerando lo sforzo normale massimo di trazione, e poi dimensiono le aste compresse considerando lo sforzo normale massimo di compressione relativo sia alle aste lunghe 2,8 metri e sia alle aste lunghe 2 metri, in modo da poterle verificare separatamente poi a instabilità euleriana.
Per trovare lo sforzo normale massimo di trazione utilizzo la funzione di excel che permette di trovare massimi e minimi di una serie di valori.
Una volta trovati i valori procedo al dimensionamento dei tubolari attraverso la formula: σ= N/A, quindi A =N/σ. In fase di progetto considero σ= Fyd= Fy/γ.
Scelgo il tipo di acciaio, Fe360s235, e considero γ=1,15.
Otteniamo per le aste tese un valore minimo di area di 32,9 cm^2, per le aste compresse lunghe 2,8 metri area minima di 54,9 cm^2 e per le aste compresse lunghe 2 metri area minima di 48,3 cm^2.
Una volta trovate le aree seleziono i tubolari da una tabella trovata in rete.
Per le aste tese seleziono tubolari di area 33,6 cm^2, per le aste compresse lunghe 2,8 metri scelgo tubolari di area 55,1 cm^2 e per le aste compresse lunghe 2 metri scelgo tubolari di area 52,8 cm^2.
Per le aste compresse calcoliamo poi il peso critico per la verifica a instabilità euleriana tramite la formula:
Pcritico= (π^2*E*Jmin)/l0^2
l0= k*l, dove k dipende dalle condizioni di vincolo e l è la lunghezza effettiva dell’asta. Nel mio caso K=1 perché ho due cerniere alle estremità delle aste.
Quindi calcolo il peso critico per le aste lunghe 2,8 metri:
Pcritico= (3,14)^2*21000(KN/cm^2)*8464(cm^4))/(280cm)^2= 21906 KN
Confronto il valore con lo sforzo normale massimo di compressione agente=1123,01KN<<21906 KN
Calcolo poi il peso critico per le aste lunghe 2 metri:
Pcritico= (3,14)^2*21000(KN/cm^2)*4696(cm^4))/(200cm)^2= 24307 KN
Confronto il valore con lo sforzo normale massimo di compressione agente=986,654KN<<24307 KN
Entrambe le aste sono largamente verificate a instabilità euleriana.
Ho poi provato nel foglio excel ad aumentare la classe di resistenza dell’acciaio. Ho inserito prima un ferro FE430S275 e poi un ferro FE510S355. Ho notato che all’aumentare della classe di resistenza, diminuisce l’area della sezione, diminuisce il momento d’inerzia e di conseguenza diminuisce il valore del carico critico euleriano.
Le sezioni sono ugualmente verificate.
Circuiti chiusi
Consideriamo un circuito chiuso di travi di lunghezza l e forze F applicate a l/4 come mostrato in figura:
Con le sole equazioni di equilibrio a traslazione e rotazione questa struttura non è risolvibile in quanto in qualunque punto noi decidiamo di tagliare la struttura ci sono sempre sei incognite e solo tre equazioni. La struttura quindi è tre volte iperstatica. La situazione cambia notevolmente se inseriamo tre cerniere interne come mostrato in figura.
Conosciamo ora tre incognite interne e dunque la struttura è isostatica.
Per risolvere la struttura consideriamo i tratti che vanno da cerniera a cerniera e li poniamo in equilibrio.
Tratto AB:
Xa=Xb
Ya=Yb
Xa*l/2= Ya*l/2
Tratto BC:
Xb + Xc - F= 0
Yb= Yc
-Xb*l - Yb*l/2 + F*l/4=0
Tratto AC:
Xc + Xa - F= 0
Ya= Yc
-Xc*l/2 + Yc*l + F*l/4=0
Dai tre sistemi ricaviamo:
Yb=Yc=Ya=Xa=Xb= F/6 e Xc= 5/6 F
Dopo aver calcolato a mano i diagrammi delle sollecitazioni abbiamo effettuato la verifica in SAP2000 con una F=50 KN.
N) T)
M)
.
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