blog di ga.roselli

ESERCITAZIONE 2 - reticolare spaziale

RETICOLARE SPAZIALE

 

Ipotizzando uno schema semplice, un solaio piano basato su un telaio a cubi controventati, utilizziamo il software SAP2000 per ottenere informazioni sulle sollecitazioni a cui sarebbe sottoposta la struttura (e per imparare a sfruttare il software per configurazioni più complesse).

Lo studio delle strutture reticolari attraverso questo strumento è particolarmente utile perchè permette di avere informazioni su ogni singolo componente di telai composti da un grande numero elementi.

L’uso combinato di questo software e di un foglio di calcolo dove verranno inseriti i valori ottenuti, manipolati tramite le equazioni della meccanica, ci permette di dimensionare ed ingegnerizzare i profili da utilizzare per la struttura.

 

Iniziamo con la parte inerente al sofware.

 

Partiamo scegliendo lo schema base che utilizzeremo per la parte di modellazione e impostiamo le unità di misura. Nel nostro caso GRID ONLY e kN,m,C.

 

Una volta selezionata si aprirà un menù di interfaccia che ci permette di impostare le caratteristiche geometriche e dimensionali della griglia di riferimento che utilizzeremo per modellare il nostro solaio

 

Per questo semplice esempio impostiamo una griglia con 3 linee sull’asse X, 5 sull’asse y e 2 sull’asse z (ipotizzando che sia una struttura ad un solo livello). La distanza su tutti e tre gli assi è di 2m.

 

Il software ci mostra una vista bidimensionale e una tridimensionale della griglia che possiamo ora utilizzare come base di modellazione della nostra struttura.

 

 

utilizzando lo strumento di disegno draw frame/cable impostiamo il primo elemento del telaio:

un cubo con tutti i lati controventati da un elemento diagonale.

 

per terminare la struttura utilizziamo lo strumento copia e incolla per replicare l’elemento base il numero delle volte necessario a riempire tutti i campi della griglia

 

sull’asse X

seleziono gli elementi da copiare e imposto l’offset rispetto al punto d’origine (in questo caso 2m).

Ripeto rispetto ad y.

Otteniamo così la struttura completa.

Per verificare che non ci siano sovrapposizioni, o meglio elementi duplicati, utilizzo il comando MERGE DUPLICATES

 

 

Come sappiamo tutte le aste di una struttura reticolare lavorano trasmettendo solo le sollecitazioni assiali, ed i nodi sono a tutti gli effetti cerniere interne.

Di conseguenza utilizziamo il comando FRAME RELEASES/PARTIAL FIXITY, impostando che tutte le aste della struttura non trasmettano momento.

 

 

Il prossimo passo sarà definire la sezione e le caratteristiche meccaniche dei profili che compongono la struttura.

Selezionando il comando Frame section dal menù a tendina Define ci apparirà questa finestra di dialogo

 

 

Scegliamo un profilo a sezione circolare cava Pipe e il materiale (steel).

nella finestra successiva potremo definire le caratteristiche del nostro profilato

 

Attribuiamo un nome alla nuova sezione e una volta impostate le dimensioni e la classe di resistenza dell’acciaio (nel nostro caso quella si default: A992Fy50) possiamo assegnarla agli elementi moedellati.

 

 

Avremo conferma del buon esito dell’operazione dalla presenza del nome assegnato lungo la linea che rappresenta l’asta.

 

 

Dobbiamo ora definire i vincoli esterni della struttura: selezioniamo i quattro vertici esterni e impostiamo le equazioni cinematiche dei vincoli. Nel nostro caso imposteremo quattro cerniere che come sappiamo bloccano le traslazioni sulle tre direzioni ma consentono le rotazioni.

 

Ora dobbiamo definire il carico a cui è sottoposta la struttura, impostando una forza f

 

 

 

dopodichè assegnamo un valore in kN alla forza: in questo caso 100 kN, con il segno meno perchè rivolta verso il basso

 

assegniamo quindi il carico ai nodi

 

Dopo aver impostato tutti gli aspetti della rappresentazione virtuale della nostra struttura reticolare, possiamo finalmente avviare l’analisi simulata tramite il software.

 

La prima cosa che otteniamo dall’analisi del software è la simulazione delle deformazioni della struttura.

 

 

 

Richiedendo quindi di visualizzare i grafici delle sollecitazioni assiali otteniamo una simulazione grafica che le rappresenta.

 

con in rosso le aste compresse ed in blu le aste tese.

 

Per verificare di non aver commesso errori proviamo ad analizzare la struttura osservando le altre sollecitazioni interne, che come sappiamo devono risultare nulle.

 

 

 

Possiamo adesso esportare i dati ottenuti dall’analisi.

Il software genera una serie di tabelle che contengono i valori numerici estratti dalla simulazione.

Quelli utili al nostro scopo sono nella sezione Element Forces - Frames

 

 

 

Come abbiamo detto utilizzeremo questi dati per dimensionare e successivamente ingegnerizzare le sezioni delle nostre aste, utilizzando un foglio di calcolo excel.

 

Al fine di rendere manipolabili i dati è necessario organizzarli utilizzando gli strumenti di filtro.

 

per prima cosa eliminiamo i campi che non ci sono utili, e filtriamo in base al valore di P

(sollecitazione)>0 in modo da poter ottenere una tabella che mostri solo le aste tese

 

 

Possiamo ora esportare questi dati all’interno di un file excel per manipolarli.

Una volta esportati i dati possiamo ripetere le operazioni di “pulizia” della tabella includendo solo le aste compresse, P<=0.

 

Una volta esportati anche questi valori possiamo iniziare a manipolare i dati nel foglio di calcolo excel.

 

Noteremo che per tutt le aste, numerate con un numero progressivo casuale attribuito dal software, avremo nel foglio excel dei valori attibuiti a diverse lunghezze intermedie. Questo ovviamente accade perchè le sollecitazioni potrebbero avere in un’accezione più generale una andamento variabile in funzione della sezione dell’asta presa in considerazione. Nel nostro caso questa suddivisione ci è utile solamente per individuare la differenza tra le aste che rappresentano i lati del quadrato e le diagonali (che saranno più lunghe data la formula

D = Lrad2), visto che le sollecitazioni hanno un andamento costante lungo tutto l’elemento. Questa differenziazione sarà ovviamente utile per il calcolo della snellezza massima dell’elemento.

 

Evidenziamo quindi in rosso le diagonali ed eliminiamo le righe con le sezioni intermedie che non ci sono più utili, ottenedo queste tabelle ordinate in base all’andamento crescente delle sollecitazioni.

 

Possiamo inserire questi valori opportunamente organizzati e filtrati all’interno del foglio di calcolo per il dimensionamento.

 

Come prima cosa notiamo che il foglio di calcolo è diviso in due cartelle, una per le aste tese e un aper le compresse. Questo perchè come già detto per le aste compresse dovremo verificare anche la snellezza massima per evitare il verificarsi di fenomeni di instabilità.

 

Le aste tese vanno dimensionate solamente tenendo in considerazione la resistenza del materiale, o meglio la tensione che può sopportare il materiale.

 

Dovremo quindi calcolare la tensione ammissibile sigma max con la funzione sigma max = fd = fyk/gamma 

otterremo quindi la tensione di progetto che determierà di conseguenza l’area minima del profilo da selezionare secondo la formula .

 

 

sceglieremo ora un profilo che soddisfi le necessità per l’asta più sollecitata. Teoricamente potremmo assegnare un profilo differente per ogni asta, diciamo che solitamente si tende ad utilizzare un unico profilo per semplicità.

 

dobbiamo quindi consultare un catalogo di profili e scegliere quello che soddisfi le nostre necessità.

 

la tensione massima è 212,313 kN con una conseguente area minima (selezionando un acciaio 235Mpa) di 9,49 cm2  .

 

selezioniamo quindi un profilo con diametro 88,9mm che avrà un’area di 9,65cm2

 

Per la scelta del profilo adatto per le aste sottoposte a compressione il foglio di calcolo è leggermente più complesso, data la necessità di dimensionare gli elementi anche tenendo conto dei fenomeni di instabilità euleriana.

 

Dopo aver effettuato il procedimento base per la verifica della resistenza del materiale dobbiamo passare al calcolo dell’inerzia minima che come sappiamo ha un ruolo fondamentale nell’evitare il verificarsi delle instabilità. Per effettuare questo calcolo sarà necessario prendere in considerazione anche il modulo di elasticità del materiale E e la tipologia di vincolo dell’elemento che sarà rappresentata da un valore del coefficiente beta necessario per il calcolo della lunghezza di libera inflessione l₀ .

Questi valori ci permetteranno di calcolare il valore di snellezza massimo ammisisbile lambda, il raggio d’inerzia minimo e l’inerzia minima della sezione (rho_min e I_min).

 

Impositiamo E = 210000 Mpa (acciaio 235), beta= 1 (cerniera/cerniera) e la lunghezza (2m per il lati e 2,82m per le diagonali).

 

anche in questo caso ipotizziamo una sola sezione dimesionata in base all’asta maggiormente sollecitata.

In questo caso oltre all’area minima dobbiamo scegliere una sezione che abbia un valore sufficiente di momento di inerzia e di raggio di inerzia minimo

 

 

una volta inseriti i valori delle aste ingegnerizzate dobbiamo verificare che il valore di snellezza rientri in quelli ammessi dalla normativa

 

 

 

 

Prendendo ad esempio questa pianta di carpenteria ipotetica, possiamo dedurre che la trave maggiormente sollecitata è la C: è sicuramente una trave principale che sostiene l’orditura del solaio ed è quella con l’area di influenza maggiore (32mq), determinata dal prodotto della luce (8m) per l’interasse (4m).

 

Come prima cosa possiamo inserire nei fogli excel per tutte e tre le tecnologie le dimensioni (luce e interasse) determinate dalla pianta di carpenteria

 

[legno]

[acciaio]

[cls]

 

PREMESSA:

 

Prescindendo dal tipo di tecnologia e dalla stratigrafia specifica di ogni solaio, sappiamo che per conoscere a che tipo di sollecitazione è sottoposta la trave dovremo necessariamente calcolare i diversi carichi agenti sul solaio espressi come densità di carico superficiale [kN/mq].

 

Calcoleremo i diversi carichi (q) in base alla loro classificazione:

 

qs: carico degli elementi strutturali

 

qp: carico permanente degli altri elementi presenti con funzione non strutturale, a cui va aggiunto il carico dovuto ai tramezzi (1 kN/mq) e quello dovuto agli impianti (0,5 kN/mq)

 

[ vengono utilizzati questi valori approssimati per l’incidenza di questi due elementi sia per la difficoltà di effettuare precisamente il calcolo, sia perché la loro distribuzione interna e quantità spesso cambiano nella vita di una costruzione]

 

qa: carichi accidentali. Sono regolati dalla normativa (NTC2008- Norme tecniche per le costruzioni- D. M. 14 Gennaio 2008), comprendono anche fenomeni naturali queli sisma, vento o precipitazioni nevose. In questa esercitazione terremo conto solamente dei carichi di esercizio (legati alla destinazione d’uso dell’edificio). Nello specifico considereremo un edificio residenziale  che secondo normativa appartiene alla categoria A (ambienti ad uso residenziale: locali di abitazione e relativi servizi, alberghi ad esclusione di aree suscettibili ad affollamento) e per il quale è previsto un valore tabellato di 2kN/mq

 

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DIMENSIONAMENTO:

 

LEGNO

una volta ipotizzata la stratigrafia e la composizione del solaio è necessario prendere in considerazione il peso specifico di tutti i materiali che la compongono che sarà poi necessaio per il calcolo delle varie densità di carico.

 

materiale                  dimensioni(spessore/sezione) [cm]                 peso specifico [kN/mc]

1 travetto abete   [qs]                                15x15                                                     7

2 tavolato abete  [qs]                                   3,5                                                        7

3 caldana malta di cemento    [qp]                4                                                         21

4 isolante fibra di legno  [qp]                         4                                                       0,48

5 sottofondo malta di calce     [qp]                3                                                         18

6 tavolato (pav.) abete   [qp]                        2,5                                                        7

 

Dopo aver raccolto tutti i dati possiamo calcolare la densità di carico, cioè il carico superficiale per 1 mq di solaio.

Seguendo la premessa, calcoleremo questi valori suddividendoli per categorie, per ognuna delle quali saranno attribuiti dei coefficienti moltiplicativi di sicurezza differenti che sono riportati in normativa in funzione dello stato limite che si intende considerare: nel nostro caso allo stato limite ultimo.

 

carico strutturale qs:

1 travetto   (0,15 x 0,15 x 1) m³/m² x 7 kN/m³ = 0,157 kN/m²

2 tavolato  (0,035 x 1 x 1) m³/m² x 7 kN/m³ = 0,245 kN/m²

qs = 0,157 + 0,245 kN/m² = 0,402 kN/m²   ( in questa fase non stiamo considerando il peso  proprio della trave che stiamo dimensionando)

 

carico permanente qp:

3 caldana   (0,04 x 1 x 1) m³/m² x 21 kN/m³ = 0,84 kN/m²

4 isolante   (0,04 x 1 x 1) m³/m² x 0,48 kN/m³ = 0,192 kN/m²

5 sottofondo  (0,03 x 1 x 1) m³/m² x 18 kN/m³ = 0,54 kN/m²

6 tavolato (pav.)  (0,025 x 1 x 1) m³/m² x 7 kN/m³ = 0,175 kN/m²

 

qp = 0,84 + 0,192 + 0,54 + 0,175 kN/m² = 1,75 kN/m²

a cui dobbiamo aggiungere 1,5 kN/m² dovuti agli impianti e ai tramezzi

qp = 1,75 + 1,5 kN/m² = 3,25 kN/m²

 

carico accidentale qa:

come abbiamo detto considereremo un edificio in classe A e quindi assumiamo

qa = 2 kN/m²

L’inserimento dei risultati ottenuti nel foglio excel produrrà un valore qu, carico lineare, generato dal prodotto del singolo valore di carico per il proprio coefficiente moltiplicativo secondo la formula:

 qu = [(qs x 1,3) + (qp x 1,5) + (qa x 1,5)] x interasse =  [(0,402 x 1,3) + (3,25 x 1,5) + (2,00 x 1,5)] x 4 = 33,59 kN/m

E’ denominato qu perchè rappresenta la combinazione di carico per Stato Limite Ultimo determinato dalla normativa.

Inserendo questo valore nella formula per il calcolo del momento massimo di una trave doppiamente appoggiata e la luce che abbiamo impostato , otterremo il valore della sollecitazione per cui stiamo progettando la trave.

Possiamo quindi iniziare a inserire i dati relativi al progetto.

il primo valore da inserire è quello relativo alla resistenza caratteristica a flessione fm,k che è riferito alla tecnologia (massiccio o lamellare)

 

Si incontrano poi dei coefficienti che sono necessari per il calcolo della tensione di progetto:

Kmod e gamma.

Kmod è un coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale, che tiene in conto l’effetto della durata del carico e delle condizioni di umidità in cui la struttura si troverà ad operare.

Gamma è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale e i suoi valori sono tabellati.

Nel nostro caso ipotizzeremo un Kmod  relativo a una durata media (0,8) e un valore gamma per un legno lamellare incollato (1,45).

Dopo aver inserito le informazioni geometriche, le caratteristiche del materiale e aver determinato la tensione di progetto, possiamo dimensionare la sezione rettangolare della trave semplicemente scegliendo una base di progetto e quindi determinando l’altezza.

Questo metodo prevede infatti che l’altezza  (h) sia l’unica incognita da determinare per il dimensionamento, e che si considerino date la base (b) ,il momento massimo  e la tensione di progetto.

Come possiamo vedere, ipotizzando una base di 35 cm e una classe di resistenza GL24c, che l’altezza minima necessaria è 58,98 cm: arrotondata sceglieremo un’altezza di 60cm

qualora volessimo diminuire questo valore possiamo ipotizzare una classe di resistenza più elevata. Iterando il processo possiamo vedere che per ridurre di dieci centimetri l’altezza dobbiamo arrivare ad una classe di resistenza GL36c

 

A questo punto però, data la grande luce della trave, è opportuno verificare che la sezione risulti verificata anche aggiungendo a qs il peso proprio della trave:

qs trave =   (0,35 x 0,6 x 1) m³/m² x 7 kN/m³ = 1,47 kN/m²

aggiungendo questo valore al qs calcolato in precedenza:

qstot = 1,47 + 0,402 kN/m² = 1,872 kN/m²

si nota che matenendo la stessa classe di resistenza del legno (GL24c) la sezione non risulta verificata è necessario portare la classe di resistenza a GL32c.

 

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ACCIAIO

materiale                      dimensioni(spessore/sezione) [cm]             peso specifico [kN/mc]

1 controsoffitto cartongesso [qp]                          2                                                 7,6

2 travi secondarie IPE200   [qs]                      28,50cm2                                       78,5

3 lamiera grecata  [qs]                                      0,75                                            0,11 (kN/mq)

4 getto cls malta di cemento    [qs]                      6                                                   24

5 isolante lana di roccia  [qp]                               4                                                  0,4

6 massetto cemento cellulare [qp]                      4                                                 11,7

7 piastrelle (pav.) cotto [qp]                                2,5                                                 18

 

Dopo aver raccolto tutti i dati possiamo calcolare la densità di carico, cioè il carico superficiale per 1 mq di solaio.

 

carico strutturale qs:

2 travi secondarie   (0,00285 x 1) m3/m2 x 78,5 kN/m3 = 0,224 KN/m2

3 lamiera grecata   0,11KN/m2 

4 getto cls   (0,035 x 1) m3/m2 x 24 kN/m3 = 0,84 KN/m2

 

qs = 0,224 + 0,11 + 0,84 kN/m² = 1,174 kN/m²  

 

carico permanente qp:

1 controsoffitto   (0,02 x 1 x 1) m³/m² x 7,6 kN/m³ = 0,152 kN/m²

5 isolante   (0,04 x 1 x 1) m³/m² x 0,4 kN/m³ = 0,016 kN/m²

6 massetto  (0,04 x 1 x 1) m³/m² x 11,7 kN/m³ = 0,468 kN/m²

7 pavimento  (0,025 x 1 x 1) m³/m² x 18 kN/m³ = 0,45 kN/m²

 

qp = 0,152 + 0,016 + 0,468 + 0,45 kN/m² = 1,086 kN/m²

 

a cui dobbiamo aggiungere 1,5 kN/m² dovuti agli impianti e ai tramezzi

 

qp = 1,086 + 1,5 kN/m² = 2,58 kN/m²

 

carico accidentale qa:

come abbiamo detto considereremo un edificio in classe A e quindi assumiamo

qa = 2 kN/m²

Ora possiamo inserire i valori relativi al materiale:

Il valore che distingue un acciaio da un altro è la tensione caratteristica di snervamento fy,k (i pedici y e k significano rispettivamente yield/snervamento e k/caratteristico), che individua la classe di resistenza del materiale.

 

La tensione di progetto  fyd si calcola a partire dalla tensione di snervamento dell’acciaio prescelto, tenendo conto di un coefficiente parziale di sicurezza γs, che in questo caso è pari a 1,05:

 

 

 

Il foglio di calcolo fornirà ora il dato Wxmin calcolato tramite il valore del momento massimo (Mmax = ql2/8) e della tensione di progetto, secondo l’equazione Wxmin = Mmax / fyd

 

 

 

Una volta ottenuto il valore minimo del modulo di resistenza della sezione possiamo scegliere tra i profili esistenti sul mercato. Ovviamente non troveremo un valore pari a quello che otteniamo precisamente dai nostri calcoli, dovremo scegliere un profilo che abbia un modulo di resistenza superiore a quello ottenuto.

nel nostro caso Wx,min= 1025,86 cm3. Il profilo che soddisfa la nostra necessità è quello di una IPE400, il cui Wx è pari a 1160 cm3.

E’ opportuno verificare che la sezione sia verificata anche tenendo in considerazione il peso proprio della trave: (sezione: 84,5cm², densità 78,5 kN/m³)

qs trave =   (0,00845 x 1) m³/m² x 78,5 kN/m³ = 0,663 kN/m²

 

aggiungendo questo valore al qs calcolato in precedenza

qstot = 1,174 + 0,663 kN/m² = 1,837 kN/m²

Notiamo che il nuovo valore Wxmincalcolato considerando il peso della trave, rientra nel valore previsto per il profilo selezionato.

 

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CLS

 

materiale                 dimensioni(spessore/sezione) [cm]                  peso specifico [kN/mc]

1 intonaco [qp]                                                           1                                                          18

2 cls armato   [qs]                                                 840cm2                                                     25

3 pignatte laterizio [qs]                                         8x40x25                                       1,32 (kN/mq)

4 isolante lana di roccia  [qp]                                     4                                                          0,4

5 massetto cemento cellulare [qp]                             4                                                         11,7

6 parquet (pav.) larice [qp]                                       2,5                                                          7

 

Dopo aver raccolto tutti i dati possiamo calcolare la densità di carico, cioè il carico superficiale per 1 mq di solaio.

 

carico strutturale qs:

2 cls armato   (0,084 x 1) m3/m2 x 25 kN/m3 = 2,1 KN/m2

3 pignatte     1,32KN/m2
 

qs = 2,1 + 1,32 kN/m² = 3,42 kN/m²  

 

carico permanente qp:

1 intonaco   (0,01 x 1 x 1) m³/m² x 18 kN/m³ = 0,18 kN/m²

4 isolante   (0,04 x 1 x 1) m³/m² x 0,4 kN/m³ = 0,016 kN/m²

5 massetto  (0,04 x 1 x 1) m³/m² x 11,7 kN/m³ = 0,468 kN/m²

6 pavimento  (0,025 x 1 x 1) m³/m² x 7 kN/m³ = 0,175 kN/m²

 

qp = 0,18 + 0,016 + 0,468 + 0,175 kN/m² = 0,839 kN/m²

 

a cui dobbiamo aggiungere 1,5 kN/m² dovuti agli impianti e ai tramezzi

qp = 0,839 + 1,5 kN/m² = 2,339 kN/m²

carico accidentale qa:

come abbiamo detto considereremo un edificio in classe A e quindi assumiamo

qa = 2 kN/m²