blog di Matthew Hart

Tre ipotesi di trave doppiamente appoggiata (cerniera + carrello) con luce di 20 metri e carico distribuito di 20KN/m:

PRIMO CASO

Considero una semplice trave IPE. Il momento massimo si trova in mezzeria ed è pari a

(q*l^2)/8 = (20KN/m * 20^2m^2)/8 = 1000KN * m

Sapendo che la sigma dell’acciaio è pari a 235 KN/n e ponendo n=1.2 posso applicare la formula

Mmax = sigma * Wmin      cioè       1000KN * m = 195.84 N/mm^2 * Wmin

Posso quindi calcolare Wmin = (10^7 N*cm)/(19584 N / cm^2) = 5106.2 cm^3

Sulle tabelle di dimensionamento la IPE più grande è la IPE 600 con una Wx = 3069 cm^3 inferiore al valore trovato.

SECONDO CASO

Prendo in considerazione una trave reticolare con passo di 2m e altezza di 2m. In questo caso ci sono sia aste tese che aste compresse quindi ai fini del calcolo del dimensionamento differenzio lo sforzo normale massimo a compressione da quello a trazione (poiché per il dimensionamento a compressione devo considerare l’instabilità euleriana).

Considero prima le aste tese:

Nmax = 480 KN

Aammissibile = N / sigma = 480000N * n /  fyk = 480000 N * 1.2 / (235 N / mm^2) = 2451.06 mm^2

Scelgo quindi il profilato con sezione circolare cava con d x s = 76.1mm x 3.6 mm, area metallica = 8.2 cm^2, W = 14.2 cm^3

Considero ora le aste compresse:

Nmax = (q*l^2)/(8*h) = 500 KN

Aammissibile = N / sigma = 500000N * n /  fyk = 500000 N * 1.2 / (235 N / mm^2) = 2553.19 mm^2

Ora applico la formula per l’instabilità euleriana

Ncrit = (p^2 * E * Jmin) / Lo^2

N = 500000 N = Ncrit/n= [p^2 * (210000 N/mm^2) * Jmin] / 4800000 mm^2

Posso quindi calcolare Jmin = (4800000 mm^2 * 500000 N) / [p^2 * (210000 N/mm^2)] = 3639672 mm^4

Scelgo dalla tabella dei profilati la sezione con Jmin uguale o immediatamente superiore:

d x s = 139.7 x 4.0, area metallica = 17.10 cm^2, W = 56.20 cm^3, J = 393.0 cm^4

TERZO CASO

Considero una trave vierendeel con passo di 2m e altezza di 2m

Mmax = 96.37 KN * m

Nmax = 110 KN

W = Mmax /sigma  cioè       96.37KN * m /(195.84/mm^2) = 492.09 cm^3

Scelgo dalla tabella dei profilati scatolari quadri a x s = 250mm x 8mm con W = 605,00 cm^3 e sezione metallica = 77.4 cm^2

Verifico che la sezione sia sufficiente affinchè [(N/A) + (M/W)] < s

(110 KN / 7740 mm^2) + [(96370 KN*mm)/605000 mm^3] = 173,49 N/mm^2 < 195.84 N/mm^2

La sezione è verificata.

Prendo in considerazione un telaio con 2 travi (rigide assialmente) parallele incastrate agli estremi messe in orizzontale, inserisco tra le due travi 5 elementi infinitamente rigidi (assialmente e flessionalmente) con passo costante. Applicando una forza pari ad F su ogni traverso ottengo la seguente situazione:

nella seconda immagine vediamo la deformazione dovuta alle forze applicate. Specifico che la struttura è simmetrica e che entrambe le travi hanno la stessa rigidezza.

Ora calcolo i tagli nei vari tratti delle travi ricordando che, per simmetria, il taglio nel primo tratto della trave superiore è uguale al taglio nel primo tratto della trave inferiore, al taglio dell'ultimo tratto della trave superiore e all'ultimo tratto della trave inferiore. T= (12 EI / l^3)*d1
Sempre per simmetria: il taglio nel secondo tratto della trave superiore=taglio nel secondo tratto trave inferiore. T= (12 EI / l^3)*d2
Nel primo traverso, per equilibrio ottengo quindi l'equazione F + [(24 EI / l^3)*d2] - [(24EI / l^3)*d1] = 0
d1 e d2 sono incognite, non posso ancora risolvere quindi proseguo i calcoli avanzando dall'estremità del telaio verso il centro.

Il taglio nel secondo tratto di trave è T= (12 EI / l^3)*d2
Nel terzo tratto di trave abbiamo T= (12 EI / l^3)*d3
Nel secondo traverso per equilibrio ottengo l'equazione F + [(24 EI / l^3)*d3] - [(24EI / l^3)*d2] = 0
Le incognite sono sempre due (d2 e d3), analizzo il terzo e quarto tratto dove come incognita avrò solo d3.
Il taglio nel terzo tratto (superiore e inferiore) di trave è uguale al quarto tratto. T= (12 EI / l^3)*d3
Nel terzo traverso (quello centrale) per l'equilibrio ottengo l'equazione F - [(48EI / l^3)*d3] = 0

Posso quindi stabilire che d3 = Fl^3 / 48 EI

Sostituendo il valore di d3 nell'equazione precedente troverò che d1 = 5 Fl^3 / 48 EI ; d2 = Fl^3 / 16 EI
Sostituisco i valori trovati nelle equazioni del taglio e trovo i valori riportati nell'immagine:

Posso quindi calcolare i momenti con i valori riportati nell'immagine:

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Se considero il momento d'inerzia della trave inferiore 9 volte maggiore del momento d'inerzia della trave superiore dovrò chiaramente differenziare i calcoli. C'è sempre una simmetria tra il primo e l'ultimo tratto superiore così come c'è sempre simmetria tra il primo ed ultimo tratto nella trave inferiore.

Considero quindi che il taglio nel primo tratto è dato da (12 EI / l^3)*d1 (trave superiore) più (108 EI / l^3)*d1 (trave inferiore con I maggiore). Nel secondo tratto ho un taglio dato da (12 EI / l^3)*d2 più (108 EI / l^3)*d2.
Nel primo traverso per l'equilibrio quindi ottengo che F + [(120 EI / l^3)*d2] - [(120 EI / l^3)*d1] = 0

Nel secondo traverso per l'equilibrio ottengo che F + [(120 EI / l^3)*d3] - [(120 EI / l^3)*d2] = 0

Nel terzo traverso per l'equilibrio ottengo che F - [(240 EI / l^3)*d3] = 0
Quindi d3 = Fl^3 / 240 EI

Sostituisco il valore di d3 nell'equazione precedente e trovo d1 = Fl^3 / 48 EI ; d2 = Fl^3 / 80 EI

Il valore del taglio è riportato nell'immagine qui sotto:

Il valore del momento nei vari tratti è riportato nell'immagine qui sotto:

Ho preso in analisi il solaio progettato per il laboratorio 1m durante il workshop del filone di tecnologie. Ai fini dell'esercitazione ho considerato le travi superiori in legno, le travi intermedie in acciaio e le travi inferiori (usate per la fondazione) in cemento armato.
La disposizione è irregolare, quindi ho preso in considerazione il "trancio" con interasse maggiore, quindi la parte più sollecitata della struttura. La struttura ha funzione di spazio pubblico all'aperto, quindi il carico accidentale da considerare è di 4 kN/m.
Poichè il solaio non è un solaio tradizionale non ho valori standard, sono quindi partito calcolando prima le travi in legno che come carichi ha: carico permanente dei listelli di legno posti come piano di calpestio, carico accidentale di folla e il peso proprio della trave. Successivamente ho calcolato le travi in acciaio, potendo aggiungere il peso della tessitura superiore già calcolata.
Infine ho calcolato le travi in C. A. inserendo nel peso del solaio i risultati (sommati) trovati con i calcoli precedenti.

DATI LEGNO:
legno scelto: lamellare gl 28k
luce: 7.15 m
interasse: 4.45 m
carico accidentale: 4 kN/mq
carico permanente: 0.152 kN/mq
carico del solaio (trovato dopo aver calcolato l'altezza della sezione): 0.075 kN/mq
base della sezione: 20 cm
resistenza (fm,k): 28 N/mmq
altezza della sezione: 41.7 cm (per il calcolo del peso della trave scelgo 42 cm, misura più facilmente trovabile in commercio)

DATI ACCIAIO:
luce: 5m
interasse: 2.062 m
carico accidentale: 4 kN/mq
carico permanente: 0.227 kN/mq (piano di calpestio più solaio in legno)
carico del solaio (trovato dopo aver calcolato il peso della trave IPE): 0.0766 kN/mq
resistenza (fy,k): 360 N/mmq
Wx: 88.59 cm^3 (scelgo quindi IPE 160 con Wx di 108.7 cm^3, valore immediatamente superiore nella tabella del dimensionamento delle travi IPE)

DATI C. A.:
luce: 7.15m
interasse: 4.45m
carico accidentale: 4 kN/mq
carico permanente: 0.3036 kN/mq (somma del carico del piano di calpestio più solaio in legno più solaio in acciaio)
carico del solaio: 0.321 kN/mq (trovato dopo aver calcolato l'altezza totale della sezione)
resistenza barre: 275 N/mmq
resistenza cls: 60 N/mmq
base sezione: 20cm
copriferro: 4cm
altezza utile: 24.57 cm

prova prova... 1, 2, 3... sà... sà... sssssà.