3. Verifica a deformabilità di una trave a sbalzo

Nella prima esercitazione abbiamo progettato la stratigrafia di tre solai di differenti tecnologie costruttive (cls armato, acciaio, legno). Disegnando poi un semplice telaio strutturale abbiamo individuato al suo interno la trave doppiamente appoggiata maggiormente sollecitata in un piano tipo, per poi dimensionarla secondo i parametri di carico stabiliti. Abbiamo quindi progettato la suddetta trave prendendo in considerazione la resistenza massima del materiale, cioè nello Stato Limite Ultimo ovvero in quello stato appena precedente al cedimento della struttura a seguito della rottura delle sue parti..

In questo caso considereremo dei solai con identica stratigrafia di quelli dell’esercitazione 1 ma individuando questa volta la trave a sbalzo maggiormente sollecitata. La dimensioneremo in base ai parametri di carico stabiliti ed eseguiremo una verifica a deformabilità: verificheremo cioè che lo spostamento verticale massimo della mensola in questione sia inferiore ai valori massimi permessi dalla normativa. In questo caso lavoreremo perciò in regime di Stato Limite d’Esercizio, cioè in quello stato subito dopo il quale la struttura non si rompe, ma a causa di spostamenti e deformazioni cambia nella sua conformazione limitando la possibilità d’utilizzo dell’edificio.

1.  CALCESTRUZZO ARMATO

Per questo tipo di tecnologia costruttiva è stato scelto un solaio in latero cemento. Di seguito è rappresentato graficamente completo di tutte le sue parti costitutive.

analisi dei carichi

q_s (carichi strutturali)

_caldana in calcestruzzo: [(0,04*1,00*1,00)m³ + (0,16*0,20*1,00)m³]/m² * 2300kg/m³ = 165,60 kg/m² = 1,66 kN/m²

_rete elettrosaldata (maglia 15cm*15cm  ø8): 5,3 kg/m² = 0,053 kN/m²

_travetti: 2,00ml/m² * 10,50kg/ml = 21,00 kg/m² = 0,21 kN/m²

_pignatte (8 pz/m²): 66,4 kg/m² = 0,66 kN/m²

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale:    q_s = 2,58 kN/m²

q_p (carichi permanenti)

_pavimento in cotto (10 pz/m²): 42,0 kg/m² = 0,42 kN/m²

_massetto in sabbia e cemento: (0,04*1,00*1,00)m³/m² * 1800kg/m³ = 72,0 kg/m² = 0,72 kN/m²

_isolamento acustico: 5 kg/m² = 0,05 kN/m²

_intonaco: 13,3kg/m² = 0,13 kN/m²

_incidenza tramezzi: 0,5 kN/m²

_incidenza impianti: 1,0 kN/m²

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale:    q_p = 2,82 kN/m²

q_a (carichi accidentali)

_carichi accidentali in ambiente residenziale: 2,0 kN/m²

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale:    q_a = 2,00 kN/m²

Il valore di carico da utilizzare per il progetto della trave non è dato dalla sola somma q_s+q_p+q_a: i valori trovati devono ora essere moltiplicati per i rispettivi coefficienti stabiliti dalla normativa; i loro risultati poi andranno sommati e daranno come risultato q_tot /m² ovvero il carico di progetto ma relativo ad 1m² di solaio. Per ottenere q_u /ml (cioè il carico agente su un metro lineare di trave) sarà sufficiente moltiplicare q_tot /m² per la misura dell’interasse: conosceremo così quindi il carico della superficie disegnata in blu più scuro (1m² * interasse).

q_tot /m² = Ɣ_G1q_s + Ɣ_G2q_p + Ɣ_Q1q_a                                              Ɣ_G1=1,3    Ɣ_G2=1,5    Ɣ_Q1=1,5

q_tot /m² = (1,3 * 2,58) + (1,5 * 2,82) + (1,5 * 2,00) = 10,58 kN/m²

q_u /ml = q_tot /m² * interasse = 10,58 kN/m² * 3m        --------------->        q_u /ml = 31,75 kN/m

Passiamo adesso al calcolo del momento flettente massimo della nostra trave: essendo una trave a sbalzo la formula del momento flettnte massimo è la stessa di quello della mensola ed è nota:  M_max = ql²/2.

M_max = [(31,75 kN/m) * (3m)²]/2         ---------------------------------->        M_max = 142,88 kNm

Ora scegliamo il tipo di calcestruzzo e di acciaio che vogliamo utilizzare per sviluppare il nostro progetto. Entrambi saranno caratterizzati da una resistenza caratteristica: moltiplicando tali resistenze caratteristiche per i relativi coefficienti maggiorativi otterremo i valori delle loro resistenze di progetto (f_cd per il calcestruzzo, f_yd per l’acciaio: la “_y” sta per yield = snervamento, la “_d” per design = progetto).

f_cd = α_cc*f_ck/Ɣ_m = 0,85*(40 N/mm²)/1,5      ---------------------------->        f_cd = 22,67 N/mm²

f_yd = f_yk/ Ɣ_y = (450 N/mm²)/1,15                ---------------------------->        f_yd = 391,3 N/mm²

Adesso abbiamo tutti i dati necessari a ricavare la l’altezza della trave. Lo faremo sfruttando la relazione che intercorre tra il concetto di momento flettente (Bernoulli) e il concetto di tensione (Navier). Fisso arbitrariamente un valore per la base (in questo caso scelgo b= 25 cm).

x_c : h_u = f_cd : (f_cd + f_yd/n)       --->       x_c= h_u* [f_cd*(f_cd + f_yd/n)]          con       α = f_cd*(f_cd + f_yd/n)       --->        x_c = α  * h_u

h_u = √ 2/[f_cd*(1-α/3)*α] * √ M/b          con          r = √ 2/[f_cd*(1-α/3)*α]                h_u = r * √ M/b

Sommando al valore di h_u trovato quello dell’altezza del copriferro “δ” otteniamo la nostra h_min. I calcoli effettuati hanno preso in considerazione la massima resistenza del materiale, quindi per i dati di carico e misura della base da noi scelti, l’altezza trovata è l’altezza minima resistente “h_min”. Le misure di progettazione del calcestruzzo sono espresse in multipli di 5 cm, per questo l’altezza che sceglieremo sarà un valore multiplo di 5 subito più grande dell’h_min trovata. Nel nostro caso:

h_u = 35,83 cm     δ = 5 cm     ------>    h_min = h_u + δ = (35,83 + 5)cm = 40,83 cm     ---->       H = 45,00 cm

Terminata la fase di progetto passiamo alla fase di verifica. Adesso andremo ad aggiungere il peso proprio della trave (cosa che non faremo per l'acciaio e per il legno in quanto in quei casi il peso proprio della trave è trascurabile) alla somma dei carichi portati dalla trave stessa, calcoleremo il momento massimo, e verificheremo poi se la sezione scelta sarà adatta anche a queste nuove carattristiche di carico.

p_t/ml = 2,59 kN/m           lo moltiplico per Ɣ_G1 = 1,3

q_u’ = q_u + (2,59 kN/m*1,3) = (31,75 + 3,37) kN/m           -------------------->       q_u’ = 35,12 kN/m

M’_max = q_u’ * l² / 2     ------>    M’_max = (35,12 kN/m) * (3m)² / 2    ----------->       M’_max = 158,02 kNm

M’ = C*B* = T*B*     ------>    h’_u = √ 2/[f_cd*(1-α/3)*α] * √ M’/b      ----------->       h’_u = 37,68 cm

h’_min = h’_u + δ = (37,68 + 5)cm = 42,68cm      ----------------------------------->       H’ = 45,00 cm

La sezione scelta risulta quindi verificata in quanto       ---------------------->       H = H’ = 45,00 cm

Passiamo adesso alla parte concernente questa esercitazione, cioè la verifica a deformabilità. Dobbiamo trovare il valore dello spostamento verticale massimo “v_max” della trave a sbalzo. In questo caso, trattandosi di una trave a sbalzo: v_max=(q_e*l⁴)/(8*E*I_x), con q_e che comprende i carichi del solaio + il peso proprio della trave in stato d’esercizio ed E = 21000 N/mm². Lo spostamento verticale è inversamente proporzionale al momento d’inerzia, perciò più grande è il momento d’inerzia minore sarà lo spostamento causato dal carico sulla trave. Calcoliamo perciò il momento d’inerzia rispetto all’asse x perchè la trave è disposta con la lunghezza maggiore in verticale. In questo modo il momento d’inerzia è maggiore in quanto l’altezza nella formula è espressa alla quarta, e quindi oltre alle caratteristiche di resistenza del materiale anche la conformazione geometrica della trave l’aiuta a resistere meglio ai carichi su di essa applicati.

q_e = [(q_s + q_p +