ESERCITAZIONE IV - DIMENSIONAMENTO DI UN PILASTRO

DIMENSIONAMENTO DI UN PILASTRO

 Si dimensioni un pilastro nelle tre diverse tecnologie: legno, acciaio e cemento armato.

Osservando una generica pianta di carpenteria, il pilastro centrale sarà quello maggiormente sollecitato  in quanto ha un area di maggiore influenza.

Pilastro: 2B

A_i= L₁ x L₂ = 6 m x 3 m = 18 m²

LEGNO

FASE 1°_ CALCOLO DELLO SFORZO NORMALE N AGENTE SUL PILASTRO

Fornisco alcuni dati necessari al foglio Excel, affinchè calcoli N:

_peso unitario delle due travi  (dipende dalla loro sezione) =

P x A

Si ottiene moltiplicando il peso specifico del materiale della trave per l’ area della sezione, essendo le due travi della stessa dimensione ed entrambe in legno i due valori saranno identici.

trave _p _  peso unitario della trave 1

trave _s _  peso unitario della trave 2

calcolo l’ area della sezione ( h = 50 cm; b= 30 cm)

50 cm x 30 cm= 1500 cm² = 0,15 m²  

Essendo il peso specifico del legno,

P legno = 8 KN/m³

Si ottiene il peso unitario delle travi:

8 KN/m³ x 0,15 m²   = 1,2 KN/m

_ valori dei carichi che gravano sul solaio

Questi dati posso ricavarli dalla prima esercitazione)

q_s = 0,39 KN/m2

q_p = 3,80 KN/m2

q_a = 2 KN/m2

Adesso il foglio Excel calcola il q_tot allo stato limite ultimo.

Inserendo il numero dei piani, ovvero il numero di solai che gravano sul pilastro

_ n piani = 3

il foglio calcolerà N sul pilastro maggiormente sollecitato con la seguente formula:

                         N= [ q_tot x A_i + t₁ x l₁ + t₂ x l₂ ] n piani

Dove :

t₁ = peso della trave 1

l₁ = lunghezza della trave 1

t₂ = peso della trave 2

l₂ = lunghezza della trave 2

FASE 2°_ CALCOLO DELL’ AREA MINIMA CHE DEVE AVERE LA SEZIONE DEL PILASTRO PER EVITARE CHE IL MATERIALE ENTRI IN CRISI

Fornisco alcuni dati necessari al foglio Excel, affinchè calcoli A_min:

_ fc0,k = 21 Mpa resistenza caratteristica parallela alle fibre del legno

_k_mod= 0,8 (ricavato dalle tabelle in base alla durata del carico, classe di durata/ classe di servizio)

_{_}γ_m= 1, 45 (coefficiente parziale di sicurezza)

Il foglio calcolerà A_min che poi andrò ad ingegnerizzare.

FASE 3°_ DETERMINAZIONE DELLA b E DELL’ ALTEZZA h

Fornisco alcuni dati necessari al foglio Excel, affinchè calcoli b e h:

E005 = 8000 Mpa modulo di elasticità del materiale

β= 1 coefficiente adimensionale che riflette l’ influenza dei vincoli, avendo due cenrniere, il suo valore sarà pari a 1

l= 3 m altezza del pilastro

I foglio calcolerà:

_λ_max, la snellezza dalla seguente formula

λ_max = 3,14 √(E /fcd)  

_ρ_min , il raggio minimo d ‘inerzia dato dal rapporto tra la luce libera d’ inflessione e la snellezza

ρ_min = l₀/ λ_max

_ b_min  la base minima della sezione del pilastro che andrò ad ingegnerizzare e che ricava attraverso:

ρ_min= √[(1/2)b]   =>   b= ρ_min  2 √3

_ h_min , l’ altezza minima della sezione del pilastro che andrò ad ingegnerizzare con h > h_min

FASE 4°_ VERIFICA

Avendo ora definito la b e l’ h del pilastro con b < h,

il foglio Excel ricava:

_ A_design, l’ area di progetto, fattore che mi garantisce che l’ elemento non entri in crisi se

                                                        A_design > A_min

_ Idesign, il momento d’inerzia di design che mi garantisce che l’ elemento non si infletta

Verifica:

A_design = 525 cm²

A_min = 465,5 cm²

quindi     525 cm² > 465,5 cm²  => VERIFICATA!

ACCIAIO

FASE 1°_ CALCOLO DELLO SFORZO NORMALE N AGENTE SUL PILASTRO

Fornisco alcuni dati necessari al foglio Excel, affinchè calcoli N:

_carico dovuto al peso proprio delle travi (lo si ricava dalle tabelle)

trave _p (IPE400)=  66,3 kg/m = 0,66 KN/m

trave _s (IPE 120) = 10,4 kg/m =0,10 KN/m

_ valori dei carichi che gravano sul solaio

Questi dati posso ricavarli dalla prima esercitazione)

q_s = 1,03 KN/m2

q_p = 2,49 KN/m2

q_a = 2 KN/m2

Adesso il foglio Excel calcola il q_tot allo stato limite ultimo.

Inserendo il numero dei piani, ovvero il numero di solai che gravano sul pilastro

_ n piani = 3

il foglio calcolerà N sul pilastro maggiormente sollecitato con la seguente formula:

                       N= [ q_tot x A_i + t₁ x l₁ + t₂ x l₂ ] n piani

 

FASE 2°_ CALCOLO DELL’ AREA MINIMA CHE DEVE AVERE LA SEZIONE DEL PILASTRO PER EVITARE CHE IL MATERIALE ENTRI IN CRISI

Fornisco alcuni dati necessari al foglio Excel, affinchè calcoli A_min:

_ f_yk = 235 MPa tensione di snervamento

_γ_m = 1,05 coefficiente parziale di sicurezza

FASE 3°_ DETERMINAZIONE DEL MOMENTO Dì INERZIA MINIMO I_min

Consultando le tabelle, fornisco alcuni dati necessari al foglio Excel:

E =  210.000 N/mm2   modulo di elasticità del materiale

β= 1 coefficiente adimensionale che riflette l’ influenza dei vincoli, avendo due cenrniere, il suo valore sarà pari a 1

l= 3 m altezza del pilastro

I foglio calcolerà:

_λ_max, la snellezza massima

_ρ_min , il raggio minimo d ‘inerzia

_ I_min = Ax (ρ_min)²

Confrontando le tabelle vado a scegliere il profilato che ingegnerizza i valori ρ_min e I_min ricavati dal foglio, ovvero quello i cui valori superino quelli ricavati dal foglio di calcolo.

_Scelgo il profilo HEA 140 e vado ad inserire i valori :  A_design ; I_design ; ρ_design

FASE 4°_ VERIFICA

Il profilo è verificato se e solo se  A_design > A_min

A_design = 31,4 cm²

A_min= 20,2 cm²

quindi                A_design > A_min   => VERIFICATA!

 

CEMENTO ARMATO

FASE 1°_ CALCOLO DELLO SFORZO NORMALE N AGENTE SUL PILASTRO

Fornisco alcuni dati necessari al foglio Excel, affinchè calcoli N:

_carico dovuto al peso proprio delle travi

A x P (prodotto tra area della sezione della trave per il peso specifico del suo materiale)

A = 20 cm x 35 cm = 700 cm²  => A = 0,07 m²

P= 2 4 KN /m³

trave _p = 0,07 m² x 24 KN/m³ = 1,68 KN/m

trave _s= 0,07 m² x 24 KN/m³ =1,68 KN/m

_ valori dei carichi che gravano sul solaio

Questi dati posso ricavarli dalla prima esercitazione)

q_s = 2,45 KN/m2

q_p = 3,53 KN/m2

q_a = 2 KN/m2

Adesso il foglio Excel calcola il q_tot allo stato limite ultimo.

Inserendo il numero dei piani, ovvero il numero di solai che gravano sul pilastro

_ n piani = 3

FASE 2°_ CALCOLO DELL’ AREA MINIMA  CHE DEVE AVERE LA SEZIONE DEL PILASTRO PER EVITARE CHE IL MATERIALE ENTRI IN CRISI E LA BASE MINIMA

Affinchè  il foglio calcoli A_min:

_ devo inserire f_ck = 60 MPa tensione di snervamento

FASE 3°_ DETERMINAZIONE DEL MOMENTO Dì INERZIA MINIMO I_min

fornisco alcuni dati necessari al foglio Excel:

_ E =21.000 N / mm²

_β = 1

_ l = 3 m

I foglio calcolerà:

_λ_max, la snellezza massima

_ρ_min , il raggio minimo d ‘inerzia

_ b_{min, la base minima} che andrò ad ingegnerizzare

Essendo ora nota la base della sezione del pilastro posso determinare anche l ‘ altezza h_min che devo sempre ingegnerizzare.

 

FASE 4°_ VERIFICA

Essendo noti la base e l’ altezza della sezione del pilastro (b < h) il foglio  Excel ricava:

A_design ;I_design ;I_max ;W_max ;Q_t ;M_t ;δ_max

Affinchè la sezione sia verificata, dovranno essere soddisfatte due condizioni di verica:

1° condizione di verifica : A_design > A_min

2° condizione di verifica :  δ_max ≤ f_cd  

(Viene effettuata questa seconda verifica in quanto nel c. a. il nodo trave – pilastro,essendo  un incastro, determina un momento e quindi sottopone il pilastro al fenomeno di presso-flessione)

entrambe le due condizioni risultano soddisfatte ,la sezione è VERIFICATA!