Dimensionamento di massima di un pilastro di un edificio nelle tre tecnologie (legno, acciaio, cemento armato)

L’ obiettivo della quarta esercitazione è quello dimensionare la sezione di un pilastro nelle tre tecnologie, Legno, Acciaio e Cemento armato.

VERIFICA

Ho bisogno di fare alcune considerazioni in quanto prendo come modello fisco matematico di un pilastro un asta soggetta a sforzo normale di compressione centrato: i carichi compiendo continuamente LAVORO (che è la Forza per lo spostamento del punto di applicazione per la direzione dello spostamento) e comprimendo dunque l’asta possono provocare due crisi, la rottura del materiale (1) e due fenomeni detti fenomeni di instabilità euleriana quali la flesso-torsione e il carico di punta (2).

In figura Δl₁<Δl₂ perché abbiamo disegnato un’asta snella la cui rigidezza assiale è molto superiore a quella flessionale. In tal caso anche L₁<L₂ e dunque più l’asta è snella e più ci sarà possibilità che il fenomeno di instabilità si inneschi. La forza di compressione che che porta ad innescare il carico di porta è uguale a :

Ncrit_E = ∏²EI_min / l₀²    in cui

E= è il modulo di elasticità del materiale

I_min= è il momento di inerzia minimo della sezione, cioè la sua resistenza I_min= A x ρ²_min

ρ_min = è il raggio di inerzia minimo cioè come è distribuita l’area rispetto il suo asse baricentrico

l₀ = è la luce libera di inflessione, ossia la distanza tra due flessi l₀= β x l e dipende dalla luce dell’asta

l=lunghezza asta

β= coefficiente adimensionale che riflette l’influenza dei vincoli, cioè cambia a secondo il modo in cui il      pilastro è agganciato alla trave.

Per poter procedere al dimensionamento del mio pilastro devo verificare entrambe i fenomeni 1 e 2 dunque controllo che la tensione σ = N /A sia

1-    σ ≤ fcd

2-    σ ≤ σ_crit                 

 σ_crit = N_crit /A= ∏²EI_min / l₀² A , divide per A e ho che N_CRIT = ∏²EI_min / l₀²  = ∏²EAρ_min/l₀²  

So che la snellezza λ= ρ_min / l₀ quindi sostituisco λ nell’equazione :

N_CRIT = ∏²EA/ λ²   Deduco dunque che un asta più ha il valore della snellezza elevato minire è il carico critico.

Invece la tensione critica σ_crit= N_crit /A= ∏²E/ λ²  

PROGETTO

Quando un asta è compressa come in questo caso abbiamo bisogno di un AREA e di un MOMENTO DI INERZIA minimo della sezione medesima. Area e momento di inerzia sono variabili che NON dipendono tra loro.

L’ Area della sezione me la ricavo uguagliando la tensione massima sulle sezioni (che ho messo in relazione con la tensione critica ricavata precedentemente σ_max = σ_crit )  σ_crit alla resistenza di progetto a compressione del materiale preso in esame fcd .Quest’area è da intendersi come il minimo valore che deve avere l’area della sezione per evitare lo schiacciamento del materiale.

σ_crit = fcd                 N_crit /A = fcd        A_min = N_crit / fcd

uguagliando il la tensione critica con la resistenza di progetto ho effettuato una operazione DANNOSA poiché ho detto che io voglio che quando la tensione è tale da raggiungere la rottura del materiale contemporaneamente va in carico di punta.

Quindi dovrò cambiare la relazione tra questi due fattori:

se fcd  > σ_crit il pilastro andrebbe in carico di punta e successivamente si romperebbe per schiacciamento del materiale; questa scelta progettuale potrebbe venire intrapresa solo quando si ha conoscenza di quanto accade nella fase post-critica del fenomeno di instabili ma nel nostro caso non la sapremmo gestire.

se fcd  < σ_crit  il materiale si rompe prima che il profilo ha il tempi di andare in carico di punta; questa relazione la PREFERIAMO alle due precedenti dal momento che sappiamo controllarla.

Quindi sostituisco : fcd   <  ∏²E/ λ²  , metto in evidenza la snellezza λ² < ∏²E / fcd   

λ _max = ∏ √E/fcd

λ _max è la massima snellezza possibile che la trave compressa deve avere affinchè l’instabilità non si inneschi prima dello schiacciamento.

Da questo valore di λ _max possiamo ottenere una indicazione sul valore minimo del raggio di inerzia minimo che la sezione deve avere.  Ricordando che  la snellezza è uguale a λ= ρ_min / l_0,

ρ_min= l_{0 /}λ _max  una volta travato ρ_min sappiamo anche che I_min= A ρ_min² quindi da qui mi ricavo

ρ_min²= I_min/A dunque ρ_min=√I_min/A

Da quest’ultima equazione posso ricavare un importante dato che mi serve per calcolare l’Area minima quale la base:

ρ_min=√1/12hb²/hb     −›   ρ_min=√b²/12         −›   ρ_min=b/√12         −›  b_min= ρ_min 2√3

infine troverò h_min=b/A e ingenierizzo il tutto.

DIMENSIONAMENTO E INGENIERIZZAZIONE PILASTRO

Con l’ausilio di un foglio Excel vado ora a dimensionarmi la sezione del pilastro ed a ingenierizzarla  conoscendo ora come trovare l’area minima e il momento di inerzia che mi servivano per dimensionare questo elemento strutturale soggetto a compressione nelle tre diverse tecnologie.

Disegno una pianta di carpenteria, individuo il pilastro più sollecitato che sarà quello centrale e inquadro la sua area di influenza. Considero quindi la pianta di carpenteria del piano terra, poiché è quello più compressa dovendo supportare i carichi dei piani superiori, di un edificio tipo di 4 piani.

NB: Alcuni dei dati che andrò a mettere nel foglio Excel saranno presi dalle esercitazioni precedenti pubblicate sul mio blog come ad esempio i carichi strutturali come anche la stratigrafia dei solai delle tre tecnologie prese in considerazione.

LEGNO

Per poter compilare il mio foglio di lavoro Excel e trovare come fine ultimo la dimensione della sezione del pilastro ho bisogno di alcuni dati, che andrò ad inserire in 4 step.

1 AREA DI INFLUENZA

In cui L₁ e L₂  sono le due luci della pianta

2 SFORZO NORMALE DI COMPRESSIONE N

Per trovare N vado a prendere alcuni dati dai miei esercizi precedenti e mi trovo il carico dovuto al peso proprio delle travi qtrave che si calcola area di sezione x peso specifico del materiale x lunghezza della trave nell’area di influenza del  pilastro x il numero delle travi che confluiscono nel nodo.

Trave principale = (0.35 x 0.55)m² x 4.10 KN/m³ =0.79 KN/m

Trave secondaria= (0.35 x 0.55)m² x 4.10 KN/m³=0.79 KN/m

Qtrave=(0.79x7)x1.3 + (0.79x5) x1.3 = 12.32 KN

Carichi strutturali qs = 0.42KN/m²

Carichi permanenti qp= 2.83 KN/m²

Carichi accidentali qa= 2 KN/m²

Qsolaio: calcolo il carico dovuto al solaio allo SLU (stato limite ultimo) sommo i 3 carichi qs, qp e qa moltiplicandoli per i coefficienti di sicurezza e tutto moltiplicato per l’area di influenza

Qsolaio = (0.42x1.3 + 2.83x1.5 + 2x1.5) x 35 = 272.69 KN

Numero piani= 4

N= la forza di compressione N è dovuto al carico delle travi più il carico del solaio per il numero di piani.                   

N= (12.32 + 272.69) x 4 = 1140 KN

3 AREA MINIMA NECESSARIA

Avendo trovato il valore dello sforzo normale di compressione posso trovare ora l’area minima affinchè il materiale non entri in crisi.

Ho scelto un legno lamellare incollato GL28h il mio coefficiente parziale di sicurezza γm=1.45.                      

Kmod: è un coefficiente che riduce i valori della resistenza  che tiene conto della durata del carico e delle condizioni di umidità  e cambia a seconda del materiale prescelto , nel mio caso: classe di servizio 2, classe di durata del carico media =0.80. F_c0,k è la resistenza a flessione caratteristica del legno = 28 Mpa

Con questi coefficienti mi ricavo la tensione ammissibile di progetto a compressione:                                                        F_c0d= K_mod x F_c0,k / γm =  15.45 MPa

A_min= N/ F_c0d=738 cm²

4 RAGGIO DI INERZIA MINIMO AREA DI DESIGN E INERZIA DI DESIGN

Grazie al raggio di inerzia minima e al fatto che la sezione del pilastro è rettangolare e piena posso trovarmi la base minima della sezione del pilastro.

E= modulo di elasticità 8800Mpa

β = 1 il pilastro è vincolato a terra tramite un incastro e nel nodo trave pilastro tramite una cerniera/carrello

l= altezza del pilastro 3.5m

Con le formule che abbiamo dimostrato prima il foglio di Excel mi calcola:                                                      λ _max = ∏ √E/fcd                 ρ_min= l_{0 /}λ _max            

b_min= ρ_min 2√3=16.18cm ingenierizzo a b=30cm

h_min=b/A_min =24.60 cm ingenierizzo a h=50cm

Una volta che ho base e altezza ingenierizzate della sezione del pilastro trovo l’area di design e il momento di inerzia di design

A_design= bxh = 1500 cm²          I_design= hxb³/12 =112500cm⁴

La sezione del pilastro più sollecitato è di 30cmx50cm ed è VERIFICATA avendo A_design>A_min ed essendo h>b!

 

CEMENTO ARMATO

Per dimensionare la sezione del pilastro in cemento armato procedo come fatto per il legno dal momento che entrambe hanno sezione piena rettangolare dunque posso trovare la base minima della sezione tramite il raggio di inerzia e secondo perché nonostante siano composti da due materiali, (in entrambe gli elementi strutturali c’è dell’acciaio) li tratto come materiali omogenei essendo molto reagenti a compressione. Unica differenza, nel C.A. ci sarà un quinto step che tiene conto del fatto che il pilastro in cemento armato è soggetto a presso-flessione e non a solo sforzo di compressione.

1 AREA DI INFLUENZA

In cui L₁ e L₂  sono le due luci della pianta

2 SFORZO NORMALE DI COMPRESSIONE N

Per trovare N vado a prendere alcuni dati dai miei esercizi precedenti e mi trovo il carico dovuto al peso proprio delle travi qtrave che si calcola area di sezione x peso specifico del materiale x lunghezza della trave nell’area di influenza del  pilastro x il numero delle travi che confluiscono nel nodo.

Trave principale = (0.30 x 0.50)m² x 22 KN/m³ =3.3 KN/m

Trave secondaria= (0.30 x 0.50)m² x 22 KN/m³=3.3 KN/m

Qtrave=(3.3x7)x1.3 + (3.3x5) x1.3 = 51.48 KN

Carichi strutturali qs = 2.25KN/m²

Carichi permanenti qp= 2.89 KN/m²

Carichi accidentali qa= 2 KN/m²

Qsolaio: calcolo il carico dovuto al solaio allo SLU (stato limite ultimo) sommo i 3 carichi qs, qp e qa moltiplicandoli per i coefficienti di sicurezza e tutto moltiplicato per l’area di influenza  Qsolaio = (2.25x1.3 + 2.89x1.5 + 2x1.5) x 35 = 359.10 KN

Numero piani= 4

N= la forza di compressione N è dovuto al carico delle travi Qtrave più il carico del solaio Qsolaio per il numero di piani.                                                           

N= (54.48 + 359.10) x 4 = 1642 KN

3 AREA MINIMA NECESSARIA

Avendo trovato il valore dello sforzo normale di compressione posso trovare ora l’area minima affinchè il materiale non entri in crisi.

fck è la resistenza caratteristica a compressione del calcestruzzo data dal tipo di cls scelto in questo caso 50 N/mm². α_cc è un coefficiente riduttivo pari a 0.85 e γc è il coefficiente di sicurezza per il cls pari a 1.5 .

Con questi coefficienti mi ricavo la tensione ammissibile di progetto a compressione :                                                       F_cd= α_cc (fck/ γc) = 0.85(50/1.5)= 28.03 MPa

A_min= N/ F_cd=579.6 cm² avendo ipotizzato una sezione quadrata per il pilastro mi posso trovare intanto un ipotetica  b_min= √ A_min=24.1 cm

4 RAGGIO DI INERZIA MINIMO AREA DI DESIGN E INERZIA DI DESIGN

Grazie al raggio di inerzia minima e al fatto che la sezione del pilastro è rettangolare e piena posso trovarmi la base minima della sezione del pilastro.

E= modulo di elasticità 21000Mpa

β = 1 il pilastro è vincolato a terra tramite un incastro e nel nodo trave pilastro tramite sempre un incastro.

l= altezza del pilastro 3.5m

Con le formule che abbiamo dimostrato prima il foglio di Excel mi calcola:                                            λ _max = ∏ √E/fcd                 ρ_min= l_{0 /}λ _max           

 b_min= ρ_min 2√3=14.18cm ingenierizzo a      b=50cm

h_min=b/A_min =16.56 cm ingenierizzo a h=50cm

Una volta che ho base e altezza ingenierizzate della sezione del pilastro trovo l’area di design e il momento di inerzia di design

A_design= bxh = 2500 cm²          I_design= hxb³/12 =520833cm⁴

La sezione del pilastro più sollecitato è di 50cmx50cm ed è VERIFICATA avendo A_design>A_min ed essendo h≥b!

5 VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE

Il pilastro essendo collegato alla trave con un incastro, in quel nodo trasmette un momento il quale potrebbe sottoporre il pilastro alla presso-flessione.

Per far si chè il pilastro non sia soggetto a presso flessione la tensione massima deve essere minore uguale alla tensione di progetto σ_max ≤ fcd

- mi calcolo l’inerzia massima I_max= hxb³/12 =520833cm⁴

- calcolo il modulo di resistenza a flessione per le sezioni rettangolari

W_max= bxh²/6=20833.33 cm³

- calcolo il carico distribuito sulla trave  qt= qsolaio x L_s =51.30 KN/m

- calcolo il momento in testa al pilastro che è collegato alla trave

M_t= qt x L₁² /12 = 209.48 KNxm

- infine trovo la tensione massima la quale deve essere minore di quella di progetto:

σ_max=(N/A) +(M_t/W_max) x 1000 =16.62 Mpa

VERIFICATA  σ_max ≤ fcd    16.62 < 28.3 Mpa

ACCIAIO

Per dimensionare un pilastro in acciaio con una sezione HEA si procede inizialmente come per il legno e per il c.a. in questo caso però non ho necessità di ricavarmi la base ma una volta trovato il raggio di inerzia mi calcolo l’inerzia minima e  dopo di che posso andare sulle tabelle dei profilati e scegliere quello che ha l’inerzia maggiore di quella da me ottenuta.

1 AREA DI INFLUENZA

In cui L₁ e L₂  sono le due luci della pianta

2 SFORZO NORMALE DI COMPRESSIONE N

Per trovare N vado a prendere alcuni dati dai miei esercizi precedenti e mi trovo il carico dovuto al peso proprio delle travi qtrave che si calcola area di sezione x peso specifico del materiale x lunghezza della trave nell’area di influenza del  pilastro x il numero delle travi che confluiscono nel nodo.

La trave che avevo dimensionato nell’esercitazione precedente è un IPE 360  e nella tabella ho preso il suo peso proprio che è uguale a  57,1 kg/m che trasformo in KN/m dividendo per 100   

Trave principale = 0.57 KN/m

Trave secondaria= 0.57 KN/m

Qtrave=(0.57x7)x1.3 + (0.57x5) x1.3 = 8.89 KN

Carichi strutturali qs = 1.87 KN/m²

Carichi permanenti qp= 2.50 KN/m²

Carichi accidentali qa= 2 KN/m²

Qsolaio: calcolo il carico dovuto al solaio allo SLU (stato limite ultimo) sommo i 3 carichi qs, qp e qa moltiplicandoli per i coefficienti di sicurezza e tutto moltiplicato per l’area di influenza Qsolaio = (1.87x1.3 + 2.50x1.5 + 2x1.5) x 35 = 321.34 KN

Numero piani= 4

N= la forza di compressione N è dovuto al carico delle travi Qtrave più il carico del solaio Qsolaio per il numero di piani.                                                           

N= (8.89 + 321.34) x 4 = 1321 KN

3 AREA MINIMA NECESSARIA

Avendo trovato il valore dello sforzo normale di compressione posso trovare ora l’area minima affinchè il materiale non entri in crisi.

fyK è valore caratteristico di snervamento per l’acciaio che mi individua la classe di resistenza del materiale , in questo caso scelgo un acciaio medio (classe Fe430/s275) di resistenza 275 Nmm².

 γ_m coefficienti di sicurezza per la resistenza delle membrature e la stabilità pari a 1.05 .

Con questi coefficienti mi ricavo la tensione ammissibile di progetto a compressione:                              Fyd= fyk/ γ_m = 275/1.05)= 261.90 MPa

A_min= N/ Fyd=50.4 cm²

4 RAGGIO DI INERZIA MINIMO AREA DI DESIGN E INERZIA DI DESIGN

Trovo l’ Inerzia minima per poter cercare il mio profilato sulla tabella non prima di aver trovato dei valori importanti quali la snellezza e il raggio di inerzia.

E= modulo di elasticità 21000Mpa

β = 1 il pilastro è incernierato sia a terra che nel nodo trave pilastro.

l= altezza del pilastro 3.5m

Con le formule che abbiamo dimostrato prima il foglio di Excel mi calcola:                       

λ _max = ∏ √E/fcd                 ρ_min= l_{0 /}λ _max            I_min= A x ρ_min²=3123 cm⁴

Una volta che ho l’inerzia minima vado sulle tabelle dei profilati HEA e scelgo il profilato che abbia un Inerzia maggiore dell’ inerzia minima.

 Una volta scelto il profilato ho  l’area di design e il momento di inerzia di design.

A_design= 53.8 cm²          I_desig=3692cm⁴       ρ_design=8.28 cm

Il profilato adatto per il pilastro è un HEA 200 VERIFICATO avendo A_design>A_min 

DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE A SBALZO

Questa esercitazione si divide in due fasi: nella prima vado a dimensionare la sezione di una trave nelle 3 tecnologie, esercizio svolto in precedenza, considerando nei calcoli i coefficienti riguardanti lo stato limite ultimo (SLU). Nella seconda fase andrò a verificare la deformabilità della trave a sbalzo sempre in cemento armato, acciaio e legno considerando invece in questo caso i coefficienti che riguardano lo stato limite d’esercizio (SLE ). Questi coefficienti di sicurezza sono dettati entrambe dalla normativa vigente.

Riporto la pianta di carpenteria di un solaio di un edificio residenziale, individuandone la trave più sollecitata

Per tutti e tre i casi di tecnologie prese in esame:

•  il modello statico a cui si fa riferimento è una mensola incastrata in una estremità., il cui Momento massimo in corrispondenza della sezione d' incastro è : qL²/2

• Il fine ultimo della mia esercitazione è verificare che la deformabilità della trave a sbalzo sia inferiore a 1/250 della sua luce, come da normativa per i solai.
• Il procedimento si effettua allo SLE in modo tale che spostamenti e deformazioni non limitino l’uso e l’efficienza della costruzione.
• Si considerino  come carichi strutturali , permanenti e accidentali i valori della prima esercitazione che riporterò sinteticamente.

 

CEMENTO ARMATO                                                                                                                               Stratigrafia di un generico solaio misto in latero-cemento. Prendo in esame un metro quadro (m²) di solaio:

Calcolo il peso di ogni singolo elemento del solaio  al metro quadro: moltiplico il suo peso specifico in kN/m³ per il suo stesso volume e lo divido per  un metro quadrato.

Per gli altri dati di progetto della sezione della trave faccio riferimento alla prima esercitazione, fatta eccezione per fck che è la resistenza caratteristica a compressione del calcestruzzo data dal tipo di cls scelto,  in questo caso scelgo un cls  meno performante con un a resistenza pari a 30 N/mm².

Imposto poi la base della mia trave a 50 cm e dalla tabella excel mi viene fuori un altezza min di 71,06 cm che Ingegnerizzo a 80cm. Nella seconda riga della tabella viene aggiunto al carico unitario Qu il peso unitario della mia trave, avendo il cemento armato un peso specifico molto significativo, e scopro così che la mia trave 50x80 è VERIFICATA. 

Ora passo alla seconda fase dell’ esercitazione in cui verifico la deformabilità dello sbalzo.

Mi calcolo il Qe, ossia il carico di esercizio:  sommo i carichi  permanenti, li addiziono a Qa che moltiplica 0.5 (un coefficiente di sicurezza per quanto riguarda SLE), moltiplico tutto per l’interasse (5m) e infine lo sommo peso prorpio della trave.

Inserisco infine altri due dati quali E , il modulo di elasticità del cemento,  e I_x , ossia il momento di inerzia che viene ricavato dalla formula bh³/12.

Ora che ho tutti i miei dati posso calcolarmi l’ ABBASSAMENTO della mia trave a sbalzo:

V_max=  q_e l^4//8EI_x  = 0.70

Q è il il carico d’esercizio, direttamente proporzionale allo spostamento

L è la luce che è direttamente proporzionale all’ abbassamento alla quarta potenza, quindi influisce molto

E è il modulo di elasticità che è inversamente proporzionale all’ abbassamento

I è  il momento di inerzia della sezione inversamente proporzionale allo spostamento, dunque più aumenterò l’altezza della sezione più l’inerzia sarà maggiore e più la trave faticherà ad inflettersi

Ora è necessario verificare che il rapporto l/ v_max   sia ≥ 250.

In questo caso il rapporto l/ v_max = 709,79 perciò questo abbassamento è accettato dalla struttura, di conseguenza lo sbalzo è realizzabile.

LEGNO

Prendo in analisi un metro quadro (m²) di un solaio di una struttura in legno rappresentato in sezione:

 

 Scelgo di utilizzare un legno lamellare incollato GL28h.

Calcolo il peso di ogni singolo elemento del solaio  al metro quadro: moltiplico il suo peso specifico in kN/m³ per il suo stesso volume e lo divido per  un metro quadrato.                

 A questo punto posso  calcolarmi il momento massimo M agente sulla trave avendo il carico lineare qu.

 

Ipotizzo una base di 35 cm e dal foglio di calcolo trovo l’altezza minima della trave di legno. L’altezza minima viene 70 cm e con una  ingienierizzazzione arrivo ad un’ altezza 75cm.

Inserico anche qui due informazioni fondamentali per calcolare lo spostamento, quali E che nel legno è pari a 126.000 N7mm² e il foglio mi calcola I_x la cui formula essenzo una sezione di trave rettangolare è sempre bh³/12.

Ricalcoliamo ora i carichi incidenti sulla struttura seguendo come abbiamo fatto per il C.A. la combinazione impiegata per gli stati limite di esercizio , solo che in questo caso, dunque solo nel LEGNO, il peso proprio della trave viene trascurato essendo un materiale leggero.

Posso calcolarmi a questo punto l’ abbassamento della mia trave a sbalzo.

L’abbassamento totale è calcolabile attraverso questa formula , in quanto il carico è uniformemente distrubito :

V_max=  q_e l^4//8EI_x  = 0.11 cm

A livello dimensionale:

[v_max] ₌ [F] [L³]/ [F] [L^-2] [L⁴] = [L]

Verifichiamo infine che l’abbassamento sia accettabile, a tal proposito la normativa impone che la luce fratto lo spostamento sia maggiore uguale di 250:  trasformo la luce di 5 m in 500 cm e la divido per l’abbassamento di 0.11 cm =  4669,41   VERIFICATO

 

ACCIAIO

Prendo in analisi un metro quadro (m²) di un solaio di una struttura in acciaio così stratigrafata:

Calcolo il peso di ogni singolo elemento del solaio  al metro quadro: moltiplico il suo peso specifico in kN/m³ per il suo stesso volume e lo divido per  un metro quadrato.

Dopo di che come fatto per il c.a. e il legno mi calcolo il Momento massimo, inserisco l’ Fyk cioè la tensione di snervamento che nel mio caso avendo scelto un acciaio medio S275 è di  275 Nmm² e mi calcolo così la tensione di progetto fd  ( tensione ammissibile) dividendo fyk per un il coefficienti di sicurezza per la resistenza delle membrature e la stabilità,  γs = 1,05 :

Fd = 275/1.05= 261.90

 

PROGETTO DI TRAVE

Dato uno schema strutturale di un solaio come quello rappresentato in figura è necessario procedere con il dimensionamento della trave più sollecitata, che in questo caso è quella centrale. Il dimensionamento avverrà per tre diverse tecnologia : CEMENTO ARMATO, ACCIAIO e LEGNO.

Indivisuata la trave più sollecitata vado a  delimitare la sua area di influenza:

PROGETTO DI TRAVE IN CEMENTO ARMATO

Sezione trasversale schematica di un generico solaio misto in latero-cemento. La normativa (D.M.09/01/96, par.7) fornisce precise indicazioni sul suo predimensionamento:

Prendo a questo punto in analisi un metro quadro (m²) di solaio rappresentato in sezione:

Vado ora ad analizzare i diversi tipi di carichi che agiscono sulla struttura individuandone i loro pesi specifici:

Calcolo il peso di ogni singolo elemento del solaio  al metro quadro: moltiplico il suo peso specifico in kN/m³ per il suo stesso volume e lo divido per  un metro quadrato.  

 A questo punto posso  calcolarmi il momento massimo M agente sulla trave avendo il carico lineare qu, la luce che copre la mia trave che è 6 (il braccio ) e sapendo che il momento max di una trave appoggiata è ql²/8.

Mmax = qu x l²/8=  50.84x(6)²/8= 228,79kNm

PROGETTO DELLA TRAVE :

Dopo aver trovato il carico lineare totale che graverà sulla mia trave e il momento massimo vado a dimensionarmi la trave:

Per il cemento armato avrò due tensioni di progetto essendo un materiale non omogeneo, una per l’acciaio fyd, dove y sta per yield ossia snervamento,e una per il calcestruzzo fcd.

La tensione di progetto per l’acciaio che deve resistere a trazione si calcola cosi: 

Ora per trovare l’ H min della sezione della trave ho bisogno di :

 b=30 cm

così mi ricavo hu che è l’altezza utile della sezione reagente in calcestruzzo e

si trova al di sopra dell’ armatura

Hu=  r √Mmax/b = 35.37 cm

 

PROGETTO DI TRAVE IN ACCIAIO

Prendo in analisi un metro quadro (m²) di un solaio di una struttura in acciaio rappresentato in sezione:

Vado ora ad analizzare i diversi tipi di carichi che agiscono sulla struttura individuandone i loro pesi specifici:

Calcolo il peso di ogni singolo elemento del solaio  al metro quadro: moltiplico il suo peso specifico in kN/m³ per il suo stesso volume e lo divido per  un metro quadrato.   

A questo punto posso  calcolarmi il momento massimo M agente sulla trave avendo il carico lineare qu, la luce che copre la mia trave che è 6 (il braccio ) e sapendo che il momento max di una trave appoggiata è ql²/8. 

Mmax = qu x l²/8=  45.91 x (6)²/8= 206,61kNm

Ora non mi resta che scegliere il valore caratteristico di snervamento per l’acciaio fyK  che mi individua la classe di resistenza del materiale , in questo caso scelgo un acciaio medio (classe Fe430/s275) di resistenza 275 Nmm².

Mi calcolo così la tensione di progetto fd  ( tensione ammissibile) dividendo fyk per un il coefficienti di sicurezza per la resistenza delle membrature e la stabilità,  γs = 1,05 :

Fd = 275/1.05= 261.90

Mi calcolo infine il MODULO DI RESISTENZA A FLESSIONE  Wxmin, per poi andare a scegliere il profilato appropriato sulla tabella dei profili in acciaio.

Wxmin:= M/fd  = 788,88 cm³

 

Questa formula me la ricavo direttamente dalla formula di Navier  e divide il momento flettente max per la tensione di progetto.

La tabella di calcolo mi ha ora trovato il Wxmin  cioè il valore minimo che la sezione che sceglierò dovrà avere affinchè nessuna fibra del materiali superi la tensione di progetto.                                                        

Nella tabella dei profili metallici (sotto riportata) scelgo un profilo adatto che abbia un modulo di resistenza a flessione Wx maggiore di quello da me trovato: IPE 360

                                                                                                   

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La tensione di progetto fd e la resistenza a flessione wx sono inversamente proporzionali quindi più piccola scelgo la resistenza del materiale a snervamento più grande dovrò scegliere la sezione del profilato e viceversa.

PROGETTO DI TRAVE IN LEGNO

Prendo in analisi un metro quadro (m²) di un solaio di una struttura in acciaio rappresentato in sezione:

Vado ora ad analizzare i diversi tipi di carichi che agiscono sulla struttura individuandone i loro pesi specifici:

per progettare il mio solaio scelgo di utilizzare un legno lamellare incollato GL28h, GL sono le classi di resistenza e la cifra che la segue corrispondono al valore caratteristico della resistenza a flessione, h invece sta a significare che il legno lamellare è omogeneo, ossia le lamelle utilizzate appartengono alla stessa classe di resistenza.

Calcolo il peso di ogni singolo elemento del solaio  al metro quadro: moltiplico il suo peso specifico in kN/m³ per il suo stesso volume e lo divido per  un metro quadrato.                                                                                                                       

A questo punto posso  calcolarmi il momento massimo M agente sulla trave avendo il carico lineare qu, la luce che copre la mia trave che è 6 (il braccio ) e sapendo che il momento max di una trave appoggiata è ql²/8.

Mmax = qu x l²/8=  38.96 x (6)²/8= 175.30 kNm

Per calcolare la TENSIONE DI PROGETTO Fd per quanto riguarda il legno dobbiamo procurarci alcuni dati:

ricordo che ho scelto un legno lamellare incollato GL28h.

Fmk: resistenza a flessione caratteristica del legno 28 N/mm²

 

Kmod: è un coefficiente che riduce i valori della resistenza  che tiene conto della durata del carico e delle condizioni di umidità  e cambia a seconda del materiale prescelto , nel mio caso: classe di servizio 2, classe di durata del carico media =0.80

Inserendo questi dati nella tabella di calcolo mi ricavo Fd= kmod x fmk / γm

Rimane ora da inserire nel foglio di calcolo la base b=35 ipotizzata per trovare l’altezza minima della trave di legno che era l’unica incognita nel nostro progetto.

L’altezza minima viene 44 cm e con una  ingenierizzazione arrivo ad un altezza della trave in legno di 55cm

DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE RETICOLARE 3D

Prendo come esempio una pensilina composta da una  travatura reticolare piramidale a base quadrata.

Al fine di dimensionare le aste di questa struttura ho ipotizzato che essa debba sostenere un carico di 40 KN.

Per completare la mia esercitazione avrò bisogno del softwar SAP2000 e di un foglio di calcolo Excel.

 1- Disegno direttamente su SAP2000 il mio modello di struttura reticolare: determino innanzitutto        l'unità di misura in KN,m,C andandola a modificare in basso a sinistra nel menù a tendina; dopo di che FILE→NEW MODEL e scelgo dalla finestra GRID ONLY, così da crearmi una griglia misurare su cui disegnare.

Vado a inserire in Number of Grid Lines il numero di campate secondo gli assi x,y,z i quali mi determineranno la griglia e in Grid Spacing la lunghezza delle mie aste che sarà di 3m in tutte e tre le direzioni.

Con il comando FRAME , linea, disegno un modulo della trave piramidale controventata alla base.

Attraverso il comando copia Ctrl+C  Ctrl+V  sarà ripetuto inserendo le coordinate sugli assi x e y formando una struttura rettangolare 3x6 m.

Controllo che non ci siano aste duplicate: selezione tutto, EDIT→EDIT  POINTS→MERGE JOINTS

A questo punto la modellazione della struttura è terminata

 

2- Andiamo ad assegnare i vincoli esterni : seleziono i 4 vertici estremi della travatura piramidale, ASSIGN→JOINT→RESTRAINTS , dalla finestra che mi si apre seleziono il vincolo Cerniera.

Assegno ora i vincoli interni che rappresentano i nodi di ogni asta: seleziono la struttura,  ASSIGN→FRAME→RELEASES/PARTIAL FIXITY, nella finestra andrò a a spuntare  Moment 22 e Moment 33 sia su Start sia su End  mettendo a entrambe zero, così da riprodurre il vincolo di cerniera interna rendendo libera la rotazione.

3- andiamo ad assegnare il materiale e la sezione alle aste: seleziono tutta la struttura, ASSIGN→FRAME→FRAME SECTION poi a sx clicco su Add New Property, in Frame Section Proprerty Type scelgo il materiale  steel (acciaio) e clicco sul profilo Pipe, si aprieà una finestra in cui inserisco in Section Name  Pipe diamo poi ok per due volte .

4- Andiamo a crearci il carico che poi assegneremo alla struttura: DEFINE→LOAD PATTERN,

nella finestra in Load Pattern Name  chiamo i carichi F e in Self Weight Multiplier (coefficiente del peso proprio) inserisco il valore di 0 e clicco Add New Load Pattern

5-Andiamo a questo punto ad assegnare il carico puntuale F sui nodi superiori della struttura: seleziono le aste superiori, ASSIGN→JOINT LOADS→FORCES

Dal menù a tendina scelgo il carico creato F, essendo un carico verticale verso il basso (asse z) andrò ad assegnargli in Force Global Z un valore di -50 KN.

6- E’ ora possibile analizzare la struttura avendo fornito al software tutti i dati necessari:

faccio partire l’ analisi cliccando sul tasto evidenziato in arancione, seleziono i carichi che non prendere in considerazione e clicco su Do Not Run , al contrario seleziono F (il carico che agisce sui nodi) e schiaccio Run Now.

La prima informazione fornitaci dall’analisi è quella della configurazione deformata della struttura soggetta ai carichi F.

Dalle reazioni vincolari invece come ben sappiamo per quanto riguarda le travi reticolari sono soggette solo a SFORZO NORMALE di trazione se sono tese o di compressione se compresse, i diagrammi rappresentano in blu la trazione e in rosso la compressione.

7- il programma mi tabella tutti i valori di sforzo normale della struttura, con la possibilità di visualizzare delle tabelle ogni asta associata allo sforzo cui è soggetta: DISPLAY →SHOW TABLES 

Il programma ci chiede ora ciò che effettivamente vogliamo inserire all'interno delle tabelle dei risultati; spuntiamo ANALYSIS RESULTS e diamo l'ok .

Dalla finestra che si apre mi seleziono la tabella che a me serve di visualizzare, in questo caso Element Forces-Frame

La esporto ora su Excel in modo da andarla a pulire dalle informazioni a me non necessarie: FILE→EXPORT CURRENT TABLE→TO EXCEL

8- una volta esportata la tabella la “sistemo” seguendo questi passaggi:

-cancello tutte le colonne dopo la lettere E;

-inserisco una nuova colonna per la luce delle aste;

-individuo in rosso le aste diagonali che valgono 3√2;

-cancello i doppioni delle aste con Rimuovi duplicati secondo Frame

-Ordino la tabella secondo lo sforzo normale P  in modo decrescente, avendo prima i valori positivi di TRAZIONE e dopo i valori negativi di COMPRESSIONE.

-infine copio nel file EXCEL della professoressa, che ci servirà per dimensionare le aste) i valori di dello sforzo normale di trazione nella trazione e viceversa.

9-Nel file excel del dimensionamento dell’asta reticolare in acciaio nella sezione TRAZIONE dopo aver inserito i valori di sforzo normale in N, insieriamo l’Fyk che è la resistenza caratteristica dell’acciaio: ricordo che l’acciaio ha lo stesso valore di resistenza sia a trazione che a compressione.

Nel mio caso ho scelto un acciaio S275

 

Inserisco poi γ_m , un coefficiente di sicurezza pari a 1.05, il foglio mi calcola così Fd, la tensione di progetto e infine l’area minima che mi serve per la mia asta. A_min me la calcolo dividendo lo sforzo normale per la tensione di progetto.

Vado ora ad” ingenierizzare” l’area minima dell’ asta maggiormente sollecitata affinchè il materiale possa resistere allo sforzo maggiore. Nella trazione l’area minima dall’ asta maggiormente sollecitata è di 3.70cm², cerco il profilo nelle tabelle Oppo dei tubi in acciaio a sezione circolari trovando un’ area di design e ripeto l’operazione per tutte le aste tese.

 

10- Passo ora all’area riservata al dimensionamento dell’area delle aste soggette a compressione:

inserisco anche qui sotto N i valore di sforzo normale in ordine crescente in questo caso così da avere l’asta più compressa in prima riga.

In questa sezione oltre ad inserire i valori precedenti vado ad inserire innanzitutto la luce associata ad ogni asta.

Anche qui il foglio di calcolo mi individua l’area minima ma non posso ancora ingenierizzarla poiché nella compressione devo tener conto di due importanti fenomeni di INSTABILITA’ che si possono verificare quali il CARICO DI PUNTA e LA FLESSO TORSIONE .

Aggiungo il modulo di elasticità E che è uguale per tutti gli acciai strutturali a 210000 Mpa e  un coefficiente che dipende dai vincoli esterni delle aste; in questo caso essendo cerniere esterne corrisponde a beta=1.

Avendo questi dati a disposizione il foglio mi calcola λ Lambda, la snellezza dell’asta, I il momento di inerzia minimo e Rho il raggio di inerzia minimo, valori che mi servono per contrastare i due fenomeni di instabilità e necessari per il dimensionamento delle aste.

Infatti sulle tabelle dei profilati a sezione circolare cava dovrò scegliere una serie di profilati che soddisfano tutti e tre questi requisiti oltre all’area minima.

 

 Posso procedere ora al dimensionamento delle aste facendo attenzione che il lambda finale risulti sempre  < 200

Per la compressione come si può vedere ho scelto solo due profili di aste uno per quelle diagonali (in verde), uno per quelle verticali e orizzontali (in giallo). Questo perché non devo solo considerare l’aria minima per la scelta ma anche il Raggio di inerzia che nel mio caso si diversifica per quanto riguarda la lunghezza delle aste.