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TRAVE VIRENDEEL

Inviato da francesca.marino il Lun, 13/05/2013 - 19:26

Una trave virendeel presenta molte analogie con un telaio shear type, con l’unica differenza che è posizionato in orizzontale, e quindi invece di avere travi infinitamente rigide avrà i pilastri infinitamente rigidi e travi deformabili.

La trave virendell viene utilizzata perché il suo particolare comportamento permette di spezzare il diagramma del momento in ogni campata e ridurre i valori delle reazioni agli incastri.

Iniziamo con l’analizzare il modello shear type. Il portale ha una trave composta da un corpo rigido indeformabile, se applichiamo una forza F la trave non potendo ne deformarsi ne ruotare, è soggetta alla sola traslazione orizzontale $\delta$ , che dipende dalla rigidezza dei pilastri

Il pilastro risulta essere doppiamente incastrato, quindi 3 volte iperstatico, ipotiziamo un cedimento vincolare nell'incastro B in modo da analizzarne curvatura e momento anche in assenza di carico.

Attraverso l'integrazione della linea alestica possiamo ricavarci il taglio ed il momento:

$EI\frac{dv^{4}}{ds}+q=0$ nel nostro caso non abbiamo carico quindi q=0 $\frac{dv^{4}}{ds}=0$

$v\left ( s \right )=\frac{C_{1}s^{3}}{6}+\frac{C_{2}s^{2}}{2}+C_{3}s+C_{4}$

$\varphi \left ( s \right )=\frac{C_{1}s^{2}}{2}+C_{2}s+C_{3}$

Dalle condizioni a bordo sappiamo che:

$v\left ( 0 \right )=0\rightarrow C_{4}=0$

$\varphi \left ( 0 \right )=0\rightarrow C_{3}=0$

$v\left ( l \right )=-\delta \rightarrow C_{2}=-\frac{6}{l^{2}}\delta$

$\varphi \left ( l \right )=0\rightarrow C_{1}=\frac{12}{l^{3}}\delta$

Otteniamo così le equazioni di spostamento e rotazione

$v\left ( s \right )=\frac{12}{l^{3}}\delta \frac{s^{3}}{6}-\frac{6}{l^{2}}\delta \frac{s^{2}}{2}$ $\varphi \left ( s \right )=\frac{12}{l^{3}}\delta \frac{s^{2}}{2}-\frac{6}{l^{2}}\delta s$

Deriviamo la rotazione per ottenere la curvatura, e di conseguenza il momento flettente ed il taglio che ne è la derivata

$\chi \left ( s \right )=\frac{12}{l^{3}}\delta s-\frac{6}{l^{2}}\delta$

$M\left ( s \right )=EI\chi \left ( s \right )=\frac{12EI}{l^{3}}\delta s-\frac{6EI}{l^{2}}\delta$

$T\left ( s \right )=-\frac{dM}{ds}=-\frac{12EI}{l^{3}}\delta$

Le reazioni vincolari si trasmettono da pilastro a treve

Attraverso l'equilibrio alla traslazione orizzontale calcoliamo dello spostamento e della rigidezza

$F=2T=\frac{24EI}{l^{3}}\delta \rightarrow \delta =\frac{Fl^{3}}{24EI}$

$k=\frac{24EI}{l^{3}}$

Ora possiamo affrontare l'esercizio sulla TRAVE VIRENDELL A MENSOLA

Come abbiamo visto dal modello precedente, la forza agente sulla struttura si ripartisce nel TAGLIO delle travi in proporzione alla loro rigidezza, poichè abbiamo travi con la stessa luce e stesso materiale, anche la rigidezza sarà uguale.

Ciascuna trave ha un taglio pari alla metà della forza agente sommata al taglio che proviene dalla trave precedente.

Per ottenere il momento flettente moltiplichiamo il taglio per metà della luce

$M_{A}=\frac{F}{2}*\frac{l}{2}=\frac{Fl}{4}$ $M_{B}=F*\frac{l}{2}=\frac{Fl}{2}$ $M_{C}=\frac{3}{2}F*\frac{l}{2}=\frac{3}{4}Fl$

$M_{D}=2F*\frac{l}{2}=Fl$ $M_{E}=\frac{5}{2}F*\frac{l}{2}=\frac{5}{4}Fl$ $M_{G}=3F*\frac{l}{2}=\frac{3}{2}Fl$

Analizziamo come il momento si trasmette da trave a pilastro attraverso l'equilibrio del nodo

Ottenuti i valori dei momenti, ci ricaviamo quelli del taglio facendo l'equilibrio alla rotazione dei pilastri, sommiamo i momenti e dividiamo per la luce del pilatro

Determiniamo l'abbassamento ( $\delta$ ) in ogni campata, sappiamo che la rigidezza nel telaio shear type simmetrico è pari a 12EI/L³ per ciascuna trave, conoscendo il taglio in ciascuna campata otteniamo:

$\frac{F}{2}=T=\frac{12EI}{l^{3}}\delta_{1} \rightarrow \delta _{1}=\frac{Fl^{3}}{24EI}$

$F=T=\frac{12EI}{l^{3}}\delta_{2} \rightarrow \delta _{2}=\frac{Fl^{3}}{12EI}$

$\frac{3}{2}F=T=\frac{12EI}{l^{3}}\delta_{3} \rightarrow \delta _{3}=\frac{Fl^{3}}{8EI}$

$2F=T=\frac{12EI}{l^{3}}\delta_{4} \rightarrow \delta _{4}=\frac{Fl^{3}}{6EI}$

$\frac{5}{2}F=T=\frac{12EI}{l^{3}}\delta_{5} \rightarrow \delta _{5}=\frac{5Fl^{3}}{24EI}$

$3F=T=\frac{12EI}{l^{3}}\delta_{6} \rightarrow \delta _{6}=\frac{Fl^{3}}{4EI}$

La deformata sarà:

VERIFICA IN SAP

Nel disegnare il modello in sap l'unica accortenza che dobbiamo avere è quella di dire al programma che i pilastri sono infinitamente rigidi tenendo presente che il programma non conosce il modello ideale di corpo rigido, ma possiamo simularlo con un modulo di elasticità molto elevato. Questo però non basta per ottenere i risulatati simili al modello ideale, dato che SAP considera le travi come corpi rigidi, e quindi c'è una distribuzione diversa del momento. Per avvicinarci ancora di più la modello ideale attribuiamo una sezione molto piccola o un modulo di elasticità basso alle travi.

DEFORMATA

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

DIAGRAMMA SFORZO ASSIALE

TRAVE VIRENDEEL DOPPIAMENTE INCASTRATA

Il procedimento è analogo all'esercizio precedente, con la sola differenza che in questo caso la trave è doppiamente incastrata e per la simmetria della struttura possiamo effettuare dei ragionamenti su metà di essa.

Questo comporta che nell'analizzare solo la prima parte della struttura la forza del pilastro centrale deve essere considerata a metà.

Analogamente a prima ci calcoliamo il taglio

e di conseguenza il momento, dividendo il taglio per metà della luce

$M_{D}=\frac{F}{4}*\frac{l}{2}=\frac{Fl}{8}$ $M_{C}=\frac{3}{4}F*\frac{l}{2}=\frac{3}{8}Fl$ $M_{B}=\frac{5}{4}F*\frac{l}{2}=\frac{5}{8}Fl$

Attraverso l'equilibrio dei nodi ci troviamo i momenti agenti sui pilastri, ricordandoci che il nodo D sarà la somma dei momenti provenienti da sinistra e da destra.