Predimensionamento di una travatura reticolare

Le travi reticolari sono elementi strutturali caratterizzati da elementi soggetti soltanto a sforzo normale e quindi a trazione o compressione. In questo post andiamo ad analizzare una travatura reticolare spaziale, per poi progettare le aste di cui è costituita, che sono appunto in regime reticolare.

Per l’analisi della travatura reticolare ci avvaliamo del software SAP2000.

Quindi apriamo il software e andiamo su File -> New Model e da qui accediamo al menu iniziale in cui possiamo scegliere il Template che più fa comodo a ciò che dobbiamo fare.

La prima cosa da fare è quella di impostare le unità di misura del modello che in questo caso assumiamo come KN, m, C, e decidiamo di partire da un Template Grids Only.

Cliccando su Grid Only apparirà la finestra che ci permetterà di impostare la nostra griglia. I campi apparirano già riempiti in default come nell’immagine.

Decidiamo quindi la nostra griglia e clicchiamo su OK.

Abbiamo così definito la nostra griglia che ci servirà da guida per modellare le nostre aste che compongono la reticolare. Andiamo quindi sul pulsante indicato in figura e disegniamo un cubo, ricordando che trattandosi di una reticolare dovrà essere costituito da triangoli.

Per assicurarci che tutte le aste siano chiuse tra loro andiamo su Edit -> Edit Points -> Merge Joints, e impostiamo il valore di tolleranza pari a 0.05 metri; questo significa che il software unirà tutti i punti che hanno una distanza tra loro inferiore e uguale a 5 cm.

Adesso possiamo continuare disegnando altre aste, oppure possiamo più comodamente copiare più volte lo stesso elemento semplicemente selezionandolo e utilizzando la combinazione da tastiera Ctrl+C e subito dopo Ctrl+V, dove apparira una finestra in cui inserire le cooridinate di dove si desidera replicare la selezione.

Se vogliamo replicare lungo l’asse x andremo a selezionare tutti gli elementi ad eccezione di quelli che giacciono sul piano zy e nella finestra di copia andiamo ad inserire il valore pari a 2 metri.

Continuiamo fino a completare la nostra reticolare

Come fatto in precedenza, andiamo a controllare che tutte le aste siano chiuse e verifichiamo, inoltre, che durante la copia degli elementi non si siano sovrapposte delle aste. Per fare ciò andiamo su Edit -> Merge Duplicates

Comparirà un finestra che lascieremo con le impostazioni di default e se non ci sono Frame sovrapposti comparirà una finestra come nell’immagine sottostante.

A questo punto dobbiamo prendere un accorgimento per i nodi interni delle aste del nostro modello, ossia, questi sono degli incastri interni, ma trattanfosi di un modello reticolare dobbiamo imporre che ogni asta sia collegata all’altra mediante un vincolo di cerniera interna, che quindi non trasmettera il momento. Nella nostra modellazione su SAP2000 dobbiamo imporre il rilascio del momento delle aste. Selezioniamo tutte le nostre aste e andiamo su Assign -> Frame -> Releases e spuntiamo le caselle di Start ed End relative alle voci Mometn 22 e Moment 33, infine diamo l’Ok ed appariranno tutte le aste svincolate tra loro in prossimità dei nodi.

Ora definiamo la sezione ed il materiale delle nostre aste; andiamo su Define -> Section Properties -> Frame Section, apparirà un finestra con impostato di default una tipologia di Frame, ma noi vogliamo crearne una nostra e quindi clicchiamo su Add New Property.

Si aprirà la finestra indicata nell’immagine sottostante dove possiamo scegliere il materiale della sezione che in questo assumeremo come acciaio e selezioniamo la geometria della sezione di tipo tubolare cava.

Selezionando Pipe apparirà la finestra di personalizzazione della sezione.

Qui rinominiamo la sezione come Pipe, decidiamo le dimensioni della sezione con i valori che appariranno espressi in metri, ma possiamo comunque digitare il valore seguito dall’unità di misura ed il software sarà in grado di leggere e convertire il valore in quella che è l’unità di misura globale. Possiamo anche sceglere e definire il tipo di acciaio nelle sue caratteristiche fisiche, che però in questo caso lasceremo quella in default A992Fy50.

Definita la sezione del frame bisognerà assegnarla, quindi selezioniamo tutte le aste della reticolare, andiamo su Assign -> Frame -> Frame Section e selezioniamo la sezione da noi definita e nominata Pipe.

Vedremo quindi che tutte le aste sono state nominate con il nome Pipe.

Imponiamo i vincoli ricordando che il numero minimo di appoggi che necessita è pari a 3. In questo caso selezioniamo i quattro punti relativi ai quatro angoli della reticolare ed andiamo su Assign -> Joint -> Restraints.

La finestra che ci apparirà ci farà scegliere il tipo di vincola da imporre che nel nostro caso sarà la cernira a terra, a cui corrisponde un impedimento di traslazione lungo i tre assi ma consentita la rotazione.

Andiamo ora a definire i carichi che agiranno sui nodi superiori della nostra reticolare; quindi Define -> Load Patterns e comparirà una finestra con in default presente un tipo di carico. Andiamo a definire il nostro carico  cambiando nome ed impostando il peso proprio come nullo

Ricordiamo che, affinchè le nostre aste siano a regime reticolare, i carichi non dovranno agire sui corpi ma sui loro bordi dove è presente il vincolo, quindi per fare ciò selezioniamo la parte superiore della nostra reticolare ed andiamo su Assign -> Joint Loads -> Forces.

Nella finestra che appare andiamo a scegliere il carico F precedentemente definito dalla tendina Load Name, ed assegnamo un valore negativo lungo l’asse z affinche la forza si verticale e di verso opposto all’andamento globale dell’asse z. Avremo così una forza puntuale su ogni nodo superiore della reticolare.

Ricapitolando abbiamo:

 

1. Modellato le aste partendo da una griglia

2. Definito le sezioni delle aste

3. Imposto i vincoli

4. Definito e assegnato il carico

 

a questo punto possiamo procedere all’analisi del nostro modello andando su Analyze -> Run Analysis.

Nella finestra dei casi di carico che appare dobbiamo fare in modo che l’analisi avvenga considerando soltanto la condizione di carico che abbiamo definito F, quindi selezioniamo gli altri due casi clicchiamo su Do Not Run Case, poi su Run e verrà avviata l’analisi.

Una volta avviata l’analisi possiamo avere le varie visualizzazioni dalla deformazione del carico, ai diagrammi delle sollecitazioni.

Per avere un controllo dell’anali si verifichiamo chele altre sollecitazioni siano nulle e quindi le aste siano soggette solo allo sforzo normale.

Adesso l’obbiettivo è quello di progettare le aste della nostra reticolare in funzione della nostra analisi. Dobbiamo quindi estrapolare i valori delloi sforzo normale. Andiamo su Display -> Show Table e nella finestra che appare spuntiamo le voci appartenenti a ANALYSIS RESULTS.

Quella che a noi interessa è la tabella relativa ai valori di sforzo normale delle aste, quindi andiamo a selezionare dal menu a tendina la voce Element Forces - Frame.

A questo punto è utile fare qualche considerazione di questa tabella; sono presenti tutti i Frame, ossia le aste che compongono la nostra reticolare ed ognuna di esse è suddivisa in quarti di lunghezza di cui abbiamo il valore dello sforzo normale espresso in KN; ovviamente, essendo la sollecitazione costante, il valore di questa è sempre lo stesso per ogni tratto dell’asta. Inoltre ci sono alcune aste che sono analizzate con un passo diverso da 50, infatti queste sono le diagonali dei quadrati.

La tabella del software ha dei comandi che consentono di gestirla ad esempio, possiamo nascondere i campi che non ci interessano andando su Format-Filter-Sort -> Format Table.

Se facciamo doppio clic sulle voci nella colonna Item, possiamo decidere di mantenerle o nasconderle; in questo caso mi limito a mantenere quelle relative al Frame, Station, P.

Inoltre avendo per ogni asta un solo valore di sforzo normale, potremmo filtrarla per ottenere un elenco in cui ogni asta compaia una sola volta. Andiamo su Format-Filter-Sort -> Filter Table, impostiamo basic filter e decidiamo di filtrare, ossia di mantenere, solo le voci in cui il valore Station è uguale a “0”.

In questo modo abbiamo ottenuto una tabella in cui abbiamo il valore di ogni asta e il relativo sforzo normale, ma siamo carenti di un dato, quello relativo alla luce delle aste, essenziale in fase di progetto per le aste soggette a compressione, e non siamo quindi più in grado di distinguere le aste diagonali da quelle verticali e orizzontali, di conseguenza facciamo un passo indietro e togliamo questo filtro, ma mettiamone uno che può tornarci molto più utile, ossia, visto che differenziamo la progettazione tra le aste tirate e quelle compresse, possiamo esportare due file excel differenti. Imponiamo il filtro con lo sforzo normale maggiore di "0".

Esportiamo la tabella in un file excel. Andiamo su File -> Export Current Table -> To Excel.

Ora imponiamo il filtro per cui isoliamo tutti i valori negativi (stavolta comprendendo anche lo "0") quindi aste compresse, e riordiniamo l’elenco con il comando Sort, ed esportiamo anche quest’altra tabella in un file excel.

La differenziazione in aste tese ed aste compresse nasce dal fatto che, mentre gli elementi tesi sono progettati esclusivamente a resistenza del materiale, gli elementi compressi possono incorrere in un fenomeno di perdità di stabilità e quindi andare in crisi non per problemi legati al materiale ma per un discorso di perdità di configurazione geometrica.

A questo punto prendiamo i file excel e come prima cosa identifichiamo le aste diagonali.

 

Rimuoviamo tutti i duplicati dei frame.

Adesso aggiungiamo una colonna la cui voce corrisponde alla luce delle aste espressa in metri, che ricordiamo essere pari a 2 metri per le aste verticali ed orizzontali e 2,82843 metri per quelle diagonali.

Passiamo al foglio di calcolo per il progetto delle aste e vediamo che è suddiviso in due cartelle, una per le aste a trazione e un’altra per quelle a compressione.

Vediamo per prima quelle a trazione, ricordando che gli elementi soggetti a trazione sono progettati considerando la semplice rottura del materiale, quidni l’obiettivo sarà quello di ricavare l’area minima di acciaio in funzione della tensione limite di progetto.

 

σ = N/A quidni A = N/σ dove σ equivale in fase di progetto a f_d.

N = Sollecitazione agente espressa in KN

f_yk = tensione caratteristica dell’acciaio scelto espressa in MPa

γ_m= coefficiente di sicurezza adimensionale

f_d = tensione di progetto il cui valore è dato da f_yk / γ_m

A_min = area minima ricavata dal rapporto tra la sollecitazione N e la tensione di progetto f_d

A_design = il valore di area del profilo scelto da profilario, che ovviamente sarà superiore all’area minima a favore quindi di sicurezza.

Inseriamo quindi i nostri dati ricavati dall’analisi sul SAP2000, scegliendo un accio S235 la cui tensione caratteristicha sarà quindi 235 MPa.

Adesso scegliamo da profilario il tubolare metallico che abbia un area immediatamente superiore a quelle ricavate. Non conviene avere troppe sezioni di tubolari, quindi decido di prendere solo due profili differenti, il primo che abbia un area immediatamente superiore a 6,86 cm², e soddisfi quindi tutte quelle inferiori, e un secondo profilo che abbia un’area immediatamente superiore a 12,04 cm² che soddisfino le restanti.

Passiamo alle aste soggette a compressione, dove oltre a calcolarci l’area minima in funzione della tensione di progetto, andremo a calcolarci anche il raggio di innerzia minimo e l’inerzia minima necessaria per evitare il fenomeno di instabilità euleriana.

σ_crit=(π²*E) / λ²  

E = Modulo di elasticità

beta = coefficiente relativo al tipo di vincolo che assumiamo pari ad 1 per una trave doppiamente appoggiata

l = luce delle aste

Lam* = lambda, ossia fattore di snellezza

rho_min = raggio di inerzia minimo

I_min = momento di inerzia minimo

Quindi inseriamo i dati relativi alle aste in compressione e cerchiamo un profilo che abbia il valore dell’area e dell’inerzia immediatamente superiore al minimo necessario.

Anche in questo caso scegliamo da profilario al massimo due profili, imponendo che il primo abbia un’area superiore a 9,56 cm², un raggio di inerzia superiore a 2,94 cm e momento di inerzia superiore a 82,56 cm⁴; il secondo dovrà avere un’area  primo che abbia un area immediatamente superiore a 9,56 cm², e un secondo profilo che abbia un’area immediatamente superiore a 18,89 cm², raggio di inerzia superiore a 2,94 cm e momento di inerzia superiore a 156 ,40 cm⁴.