Dimensionamento e verifica di trave e pilastro in cemento armato,acciaio e legno.

Per il progetto e verifica di una trave abbiamo disegnato un telaio (struttura composta da un sistema di elementi verticali, pilastri, ed elementi orizzontali, travi) e verrà progettata proprio la trave maggiormente sollecitata con tre diverse tipologie costruttive differenti,tra cui cemento armato,acciaio e legno.

 

L’area di influenza delle travi è 14,6 m2.

Dimensioneremo la trave principale che risente di una maggiore area di influenza di carico.

Passiamo ora a fare l’analisi dei carichi del solaio:

 

Solaio in cemento armato:

Qs:Carico strutturale permanente:

Travetti=0.16(m)*0.1*2(m)*25(kN/m3)=0.8(kN/m2)

Soletta=0.04(m)*1(m)*25(kN/m3)=1(kN/m2)

Pignatta=0.16(m)*0.4*2(m)*5.5(kN/m3)=0.7(Kn/m2)

Qs tot=2.5(kN/m2)

Qp:Carico non strutturale permanente:

Intonaco=0.015(m)*1(m)*20(kN/m3)=0.3(kN/m2)

Massetto=0.04(m)*1(m)*19(kN/m3)=0.76(kN/m2)

Pavimento in gress=0.02(m)*1(m)*1(m)=0.4(kN/m2)

Qp tot=2.73(kN/m2)

Qa:Carico variabile

Qa=2(kN/m2) per un ambiente ad uso residenziale

Qu:Carico ultimo

Qu:Qs*1.3+Qp*1.5+Qa*1.5=10.34(kN/m2)

Per trovare il carico ultimo al metro lineare basta dividerlo per la luce quindi diventa Qu*4=41.38(kN/m)

Possiamo fare riferimento al modello di trave doppiamente appoggiata e sappiamo che il suo momento flettente massimo,vale in mezzeria ql^2/8 quindi ci viene un Mmax=82.76(kN*m)

I dati mancanti sono il valore della resistenza caratterista del calcestruzzo e la resistenza di progetto del calcestruzzo e dell’acciaio.

La resistenza fcd è data da fck*0.8/1.5 mentre fck è il valore della classe di resistenza del calcestruzzo che desideriamo scegliere.

Sapendo i moduli elastici dei due materiali pari a Es=210000(N/mm2) e Ec=22000(N/mm2) possiamo ricavarci l’altezza minima della sezione partendo dalla scelta arbitraria della base.

Inserendo i dati del carico risulta necessaria una trave con altezza utile alte 42,14 cm

considerando un copriferro di 5 cm per coprire le barre d'acciaio risulta necessaria una trave principale alta 47,14 cm.
Per una facilità di realizzazione della trave, la sezione viene ingegnerizzata, quindi verrà utilizzata una trave con un altezza di 55 cm.

 

Solaio in acciaio:

Qs:Carichi strutturali permanenti

Lamiera:tipo A55/P600 *0.8(m)=0.11(kN/m2)

Soletta:0.065(m)+0.55/2(m)*25=2.32(kN/m2)

Qs tot:2.43(kN/m2)

Qp:Carico permanente non strutturale

Massetto:0.1(m)*0.1(m)*20(kN/m3)=2(kN/m2)

Pavimento in gress: 0.02(m)*1(m)*1(m)=0.4(kN/m2)

Qp tot:4.16(kN/m2)

Qa:Carico variabile

Qa=2(Kn/m2) per un ambiente ad uso residenziale

Qu:Carico ultimo

Qu:Qs*1.3+Qp*1.5+Qa*1.5=12.39(kN/m2)

Per trovare il carico ultimo al metro lineare basta dividerlo per la luce quindi diventa Qu*4=49.59(kN/m)

 

Una volta scelto il tipo di acciaio che vogliamo utilizzare basta trovare la resistenza di progetto pari a Fyd=Fyk/1.05

Il momento flettente massimo è in mezzeria e vale ql^2/8 quindi 99.19(kN*m).

Ora per progettare la trave abbiamo bisogno del modulo di resistenza plastico,cioè il rapporto tra il momento massimo e la sua resistenza di progetto Wpl=Mmax/Fyd=320.46(cm3)

Ora basterà prendere un profilario con le sezioni IPE e scegliere la trave con un modulo di resistenza maggiore di quello calcolato,per essere sicuri di progettare in sicurezza e in modo che il momento flettente di calcolo sia minore di quello resistente. Scegliamo dunque un IPE 240

 

Solaio in legno:

Qs:Carichi strutturali permanenti

Travetti in legno=0.1(m)* 0.2(m)* 1(m)*1.80(kN/m3)=0,078(kN/m2)

Tavolato in legno=1(m)* 1(m) *0.03(m)*7.2(kN/m3)=0.216( kN/m3)

Qs tot:0.38(kN/m2)

Qp:Carichi permanenti non strutturali

Isolante in pannelli di Fibra di Legno=1(m)* 1(m)* 0.04(m)=0.056 (kN/m2)

Massetto=1(m)*1(m)*04(m)*18 (Kn/m3) = 0.72 (kN/m2)

Pavimento in parquet=1(m) *1(m)*0.02(m)*7.2 (Kn/m3) = 0.144(kN/m2)

Qp tot:2.26(kN/m2)

Qa:Carico variabile

Qa=2(Kn/m2) per un ambiente ad uso residenziale

Qu:Carico ultimo

Qu:Qs*1.3+Qp*1.5+Qa*1.5=6.88 (kN/m2)

Per trovare il carico ultimo al metro lineare basta dividerlo per la luce quindi diventa Qu:27.55(kN/m)

Il momento flettente massimo è in mezzeria e vale ql^2/8 quindi 55.11(kN*m).

Possiamo scegliere ora la classe di resistenza del legno,pari a 34(N/mm2) e calcolarci la resistenza di progetto data dalla formula 

Con γm=1.45 e kmod=0.8 Fd risulta quindi 17.65(N/mm2)

Per poter determinare la sezione dobbiamo prima trovare il modulo di resistenza dato dal rapporto tra il Mmax e la resistenza di progetto Fd.

Una volta trovato il modulo di resistenza possiamo scegliere arbitrariamente una delle due lunghezze della sezione mancanti,in questo caso scegliamo la base pari a 16 cm e attraverso la formula 

Possiamo determinare l’altezza utile pari a 34.21(cm) quindi scegliamo un altezza di 35(cm).

 

 

Passiamo alla progettazione del pilastro più sollecitato,sempre nelle tre diverse tipologie.

Cemento armato:

Come prima cosa dobbiamo determinare lo sforzo normale massimo che sollecita il pilastro.

Per trovare lo sforzo normale abbiamo bisogno del carico ultimo (dato dalla combinazione dei carichi precedente),il numero dei piani e l’area di influenza del pilastro e il peso della trave.

Ora avendo lo sforzo massimo possiamo determinare l’Area minima della sezione facendo il rapporto dello sforzo normale N e Fcd,pari a 264.30(cm2).

Con la formulazione del carico critico euleriano sappiamo che lo sforzo normale che manda in crisi il pilastro per il fenomeno di instabilità è ( π^2*E*Imin)/Lo^2 .

 

Da qui devo ricavarmi la Lo,cioè la lunghezza libera di inflessione del pilastro data L*β (Coefficiente di vincolo)

Ora occorre trovare λ cioè la snellezza  critica data dalla formula ((π^2*E)/Fcd)^0.5  cioè 123.44

Possiamo ricavarci dunque il raggio giratore d’inerzia cioè Lo/ λ pari a 2.43(cm).

Avendo una sezione rettangolare sappiamo che il momento d’inerzia è pari a B*H^3/12 quindi attraverso il raggio giratore d’inerzia possiamo ricavarci con la formula inversa I=A*ρ^2 la base e l’altezza della sezione.

Si sceglie così una sezione di  35 * 35 (cm)

 

Acciaio:

Partendo sempre dal calcolo dello sforzo normale come nel caso del cemento armato possiamo determinare lo sforzo normale agente sul pilastro più sollecitato e partire con il progetto del pilastro.

 Avendo determinato la sezione e scelto quindi un HEA 140 dobbiamo verificare inoltre che la snellezza critica sia minore della snellezza del pilastro,perché nell’acciaio non è solo lo sforzo normale che manda in crisi la sezione ma anche la snellezza,quindi possiamo determinare la snellezza con λ=Lo*ρ  che risulta pari a 85.22 e verificare che sia effettivamente minore di  λc cioè 96.23

 

Legno:

 Lo stesso procedimento è stato effettuato per la tipologia costruttiva in legno