Facoltà di Architettura - Università degli Studi Roma Tre
ESERCITAZIONE 1 - DIMENSIONAMENTO TRAVI/PILASTRI CLS/ACCIAIO/LEGNO
La destinazione d’uso del progetto proposto è di tipo residenziale: è composto da 4 piani con il medesimo schema strutturale. Per prima cosa analizziamo la pianta al fine di individuare la trave maggiormente sollecitata: La trave sottoposta ad un carico maggiore è la trave nel tratto BC.
CALCESTRUZZO ARMATO
DIMENSIONAMENTO TRAVE CLS
Per questo tipo di tecnologia costruttiva è stato scelto un solaio in latero cemento. Verrà calcolato tutto per una porzione di solaio pari a 1m2.
CALCOLO STRUTTURALE (qs)
Il carico strutturale dipende dal peso dei travetti, dalla caldana in cls con rete elettrosaldata e dalle pignatte.
1) TRAVETTI:
DIMENSIONI 12 cm x 20 cm
PESO SPECIFICO 2500 kg/m3 = 25 KN/m3
VOLUME 2 x 0,12m x 0,2m x 1m = 0,048 m3
PESO AL m2 0,048 m3/m2 x 25 KN/m3 = 1,2 KN/m2
2) CALDANA:
SPESSORE 5 cm
PESO SPECIFICO 2500 kg/m3 = 25 KN/m3
VOLUME 0,052m x 1m x 1m = 0,05 m3
PESO AL m2 0,05 m3/m2 x 25 KN/m3 = 1,25 KN/m2
3) PIGNATTE:
DIMENSIONI 20 cm x 38 cm x 25 cm
PESO 9,8 kg/cad.
PESO AL m2 9,8 kg x 8 = 78,4 kg/m2 = 0,784 KN/m2 (sono 8 pignatte al m2)
qs = 1,2 + 1,25 + 0,784 = 3,234 KN/m2
CALCOLO PERMANENTE (qp)
Il carico permanente dipende dal peso dell’isolante, dal massetto e dal pavimento, aggiungendo il contributo di tramezzi (1 KN/m2) e impianti (0,5 KN/m2).
1) PAVIMENTO:
SPESSORE 1 cm
PESO SPECIFICO 720 kg/m3 = 7,2 KN/m3
VOLUME 0,01m x 1m x 1m = 0,01 m3
PESO AL m2 0,01 m3/m2 x 7,2 KN/m3 = 0,072 KN/m2
2) MASSETTO:
SPESSORE 3 cm
PESO SPECIFICO 2000 kg/m3 = 20 KN/m3
VOLUME 0,03m x 1m x 1m = 0,03 m3
PESO AL m2 0,03 m3/m2 x 20 KN/m3 = 0,6 KN/m2
3) LANA DI VETRO:
SPESSORE 4 cm
PESO SPECIFICO 20 kg/m3 = 0,2 KN/m3
VOLUME 0,04m x 1m x 1m = 0,04 m3
PESO AL m2 0,04 m3/m2 x 0,2 KN/m3 = 0,008 KN/m2
4) INTONACO:
SPESSORE 1 cm
PESO SPECIFICO 1800 kg/m3 = 18 KN/m3
VOLUME 0,01m x 1m x 1m = 0,01 m3
PESO AL m2 0,01 m3/m2 x 18 KN/m3 = 0,18 KN/m2
qp = 0,072 + 0,6 + 0,008 + 0,18 + 1,5 = 2,36 KN/m2
CALCOLO ACCIDENTALE (qa)
Il carico accidentale dipende dalla destinazione d’uso dell’edificio: in questo caso si considera un ambiente ad uso residenziale.
qa = 2 KN/m2
Il valore di carico da utilizzare per il progetto della trave non è dato dalla sola somma Qs+Qp+Qa: i valori trovati devono ora essere moltiplicati per i rispettivi coefficienti stabiliti dalla normativa (1,3;1,5;1,5); i loro risultati poi andranno sommati e daranno come risultato Q totali /m2 ovvero il carico di progetto ma relativo ad 1m2 di solaio. Per ottenere Qu /ml (ovvero il carico che agisce su un metro lineare di trave) sarà sufficiente moltiplicare Q totali /m2 per la misura dell’interasse:
qu = (4,199 + 3,54 + 3) x 3,5 = 37,59 kN/m
Passiamo ora al calcolo del Momento Massimo Flettente della trave considerata.
Quest’ultima è una trave doppiamente appoggiata e quindi la formula del Momento risulta essere: ql2/8.
Mmax = [37,59 kN/m x (7 m)2] / 8 = 230,22 kN/m
Per il cemento armato avrò due tensioni di progetto essendo un materiale non omogeneo, una per l’acciaio fyd dove y sta per yield ossia snervamento,e una per il calcestruzzo fcd.
La tensione di progetto per l’acciaio che deve resistere a trazione si calcola cosi:
Fyd = fyk / γs
dove fyk rappresenta la tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio che da normativa equivale a 450 N/mm2 per quanto riguarda i ferri impiegati nel cls armato ,mentre γs
rappresenta il coefficiente di sicurezza dell’acciaio pari a 1,15.
Fyd = 450 x 1,15 = 391,30 N/mm2
La tensione di progetto per il calcestruzzo è data dalla resistenza caratteristica del cls a resistere a compressione:
Fcd = αcc (fck/γC)
dove fck è la resistenza caratteristica a compressione del calcestruzzo data dal tipo di cls scelto, e in questo caso è 50 N/mm2; αcc è un coefficiente di riduzione pari a 0,85 e γC è il coefficiente di sicurezza per il calcestruzzo pari a 1,5.
Fcd = 0,85 x ( 50/1,5) = 28,33 N/mm2
la tabella excel tiene inoltre conto di un altro coefficiente essendo il calcestruzzo un materiale non omogeneo, il COEFFICIENTE DI OMOGENEIZZAZIONE: n=15
β = fcd/ (fcd + (fyd/n) = 0,52
r = √2/fcd(1-β/3) x β = 2,16
Ora per trovare Hmin della sezione trave ho bisogno di:
b = 30 cm
in questo modo mi ricavo hu che è l’altezza utile della sezione reagente in calcestruzzo e si trova al di sopra dell’armatura
hu = r √Mmax/b = 25,34 cm
δ= 4 cm (parte sotto del cls maggiormente sollecitata
in questo modo arrivo a calcolarmi Hmin
Hmin = hu + δ = 29,34 cm
Ho trovato ora l’altezza minima che deve avere la mia sezione rettangolare di base 30 cm, dopodiché ingegnerizzo per sicurezza l’altezza a H = 50 cm
VERIFICA
Aggiungo adesso al totale del Qu anche il peso unitario della trave:
(0,30 x 0,55 x 1) m3/m2 x 25 kN/m2 = 4,125 kN/m
lo moltiplico poi per il coefficiente di sicurezza 1,3: 4,125 x 1,3 = 5,36 kN/m2
e lo vado a sommare al mio Qu : 5,36 + 37,59 = 42,95 kN/m2
la tabella excel mi ricalcola l’altezza: la sezione 30x50 cm è stata VERIFICATA.
Abbiamo inoltre verificato la struttura su SAP2000; qui di seguito il diagramma che evidenzia i momenti flettenti:
DIMENSIONAMENTO PILASTRO CLS
Seguendo i valori sopra elencati, inserisco i dati a mia disposizione nella tabella ecxel:
La tensione di progetto per il calcestruzzo è data dalla resistenza caratteristica del cls a resistere a compressione:
fcd = αcc (fck/γc)
dove fck è la resistenza caratteristica a compressione del calcestruzzo data dal tipo di cls scelto, e in questo caso è 50 N/mm2; αcc è un coefficiente di riduzione pari a 0,85 e γc è il coefficiente di sicurezza per il calcestruzzo pari a 1,5.
fcd = 0,85 x ( 50/1,5) = 28,33 N/mm2
Trovo ora l’area minima e la base minima:
Amin = N/fcd = 368,6753 cm2
Prendo ora in considerazione i valori del modulo di elasticità E, il coefficiente β avente un valore legato alla tipologia di vincoli a cui è soggetto il pilastro e l’altezza I del pilastro per definirne la snellezza λ, il raggio di inerzia minimo ρmin e la base minima che il pilastro dovrà avere:
λ = π√E/fcd = 85,52847
ρmin = β x I / λ = 3,156844 cm
bmin = ρmin√12 = 10,93563 cm
Ingegnerizzo i valori minimi ricavati per ottenere le due dimensioni del pilastro, 30x50 cm.
Non ci resta che calcolare:
Adesign = b x h = 1500 cm2
Idesign = (h x b3)/12 = 112500 cm4
VERIFICA
il pilastro in cls armato è sottoposto, oltre che a compressione, a presso-flessione, poiché il nodo trave-pilastro è realizzato da un incastro (il che trasmette momento); per evitare fenomeni di instabilità devo verificare che σmax sia minore o uguale a fcd.
A questo punto σmax = N/A + Mt /Wmax ≤ fcd ? SI, 7,98 ≤ 28,33
Abbiamo inoltre verificato la struttura su SAP2000; qui di seguito il diagramma che evidenzia lo sforzo assiale:
ACCIAIO
CALCOLO STRUTTURALE (qs)
Il carico strutturale dipende dal peso delle travi secondarie con lamiera grecata e dal getto in cls.
1) TRAVETTI (IPE 200 S235):
AREA 28,5 cm2 = 0,00285 m2
PESO 22,4 kg/m = 0,224 KN/m
PESO AL m2 0,224 KN/m2
2) GETTO CLS:
SEZIONE 0,07 m2
PESO SPECIFICO 2500 kg/m3 = 25 KN/m3
VOLUME 0,07m2 x 1m = 0,07 m3
PESO AL m2 0,07 m3/m2 x 25 KN/m3 = 1,75 KN/m2
qs = 0,224 + 1,75 = 1,974 KN/m2
CALCOLO PERMANENTE (qp)
Il carico permanente dipende dal peso dell’isolante, dal massetto e dal pavimento, aggiungendo il contributo di tramezzi (1 KN/m2) e impianti (0,5 KN/m2).
1) PAVIMENTO:
SPESSORE 1 cm
PESO SPECIFICO 720 kg/m3 = 7,2 KN/m3
VOLUME 0,01m x 1m x 1m = 0,01 m3
PESO AL m2 0,01 m3/m2 x 7,2 KN/m3 = 0,072 KN/m2
2) MASSETTO:
SPESSORE 3 cm
PESO SPECIFICO 2000 kg/m3 = 20 KN/m3
VOLUME 0,03m x 1m x 1m = 0,03 m3
PESO AL m2 0,03 m3/m2 x 20 KN/m3 = 0,6 KN/m2
3) LANA DI VETRO:
SPESSORE 4 cm
PESO SPECIFICO 20 kg/m3 = 0,2 KN/m3
VOLUME 0,04m x 1m x 1m = 0,04 m3
PESO AL m2 0,04 m3/m2 x 0,2 KN/m3 = 0,008 KN/m2
4) CARTONGESSO:
SPESSORE 1 cm
PESO SPECIFICO 9 KN/m3
VOLUME 0,01m x 1m x 1m = 0,01 m3
PESO AL m2 0,01 m3/m2 x 9 KN/m3 = 0,09 KN/m2
qp = 0,072 + 0,6 + 0,008 + 0,09 + 1,5 = 2,27 KN/m2
CALCOLO ACCIDENTALE (qa)
Il carico accidentale dipende dalla destinazione d’uso dell’edificio: in questo caso si considera un ambiente ad uso residenziale.
qa = 2 KN/m2
Il valore di carico da utilizzare per il progetto della trave non è dato dalla sola somma Qs+Qp+Qa: i valori trovati devono ora essere moltiplicati per i rispettivi coefficienti stabiliti dalla normativa (1,3;1,5;1,5); i loro risultati poi andranno sommati e daranno come risultato Q totali /m2 ovvero il carico di progetto ma relativo ad 1m2 di solaio. Per ottenere Qu /ml (ovvero il carico che agisce su un metro lineare di trave) sarà sufficiente moltiplicare Q totali /m2 per la misura dell’interasse:
qu = (2,56 + 3,405 + 3) x 3,5 = 31,40 kN/m
Passiamo ora al calcolo del Momento Massimo Flettente della trave considerata.
Quest’ultima è una trave doppiamente appoggiata e quindi la formula del Momento risulta essere: ql2/8.
Mmax = [31,40 kN/m x (7 m)2] / 8 = 192,32 kN/m
Ora sceglieamo il valore caratteristico di snervamento per l’acciaio fyk che mi individua la classe di resistenza del materiale , in questo caso scelgo una resistenza di 235 MPa.
Mi calcolo così la tensione di progetto fd ( tensione ammissibile) dividendo fyk per un il coefficiente di sicurezza per la resistenza delle membrature e la stabilità, γs = 1,05 :
Fd = 235/1.05= 223,81 N/mm2
Mi calcolo infine il MODULO DI RESISTENZA A FLESSIONE Wx,min, per poi andare a scegliere il profilato appropriato sulla tabella dei profili in acciaio.
Wx,min:= Mmax/fd = 859,30 cm3
La tabella di calcolo mi ha ora trovato il Wx,min cioè il valore minimo che la sezione che sceglierò dovrà avere affinchè nessuna fibra del materiali superi la tensione di progetto.
Nella tabella dei profili metallici scelgo un profilo adatto che abbia un modulo di resistenza a flessione Wx maggiore di quello da me trovato: SCEGLIAMO QUINDI UNA IPE 360.
Qui di seguito la tabella di riferimento per la scelta del profilato IPE:
Abbiamo inoltre verificato la struttura su SAP2000; qui di seguito il diagramma che evidenzia i momenti flettenti:
DIMENSIONAMENTO PILASTRO ACCIAIO
Seguendo i valori sopra elencati, inserisco i dati a mia disposizione nella tabella ecxel:
Scelgo il tipo di acciaio da utilizzare per il pilastro e definisco quindi la sua tensione caratteristica di snervamento fyk; moltiplico questo valore per γm coefficiente perziale di sicurezza per trovare il valore della tensione di progetto fyd; trovo ora l'Amin:
Amin = N/fyd
λ* = √(E/fyd)
ρmin = β l/ λ*
Imin = Aρmin2 (ricavo dunque il momento di inerzia minimo in funzione del raggio di inerzia minimo)
Attraverso la tabella dei profili HEA ricavo i valori di Adesign , Idesign e ρmin maggiori di quelli minimi ottenuti, il cui profilo risulta essere un HEA160
.
Abbiamo inoltre verificato la struttura su SAP2000; qui di seguito il diagramma che evidenzia i sforzi assiali:
LEGNO
Per questo tipo di tecnologia costruttiva è stato scelto un solaio in travetti e pannelli OSB. Verrà calcolato tutto per una porzione di solaio pari a 1m2.
CALCOLO STRUTTURALE (qs)
Il carico strutturale si ottiene sommando i contributi di peso dei travetti e del tavolato.
1) TRAVETTI IN ABETE:
SEZIONE 8 cm x 20 cm
PESO SPECIFICO 550 kg/m3
VOLUME 0,08 x 0,20m x 1m = 0,016 m3
0,016 x 1/62,5 = 0,000256 m3 (perché ogni 62,5 cm ho un travetto)
PESO AL m2 0,000256 m3/m2 x 5,50 KN/m3 = 0,0014 KN/m2
2) TAVOLATO OSB:
SPESSORE 3 cm
PESO SPECIFICO 650 kg/m3 = 6,5 KN/m3
VOLUME 0,03m x 1m x 1m = 0,03 m3
PESO AL m2 0,03 m3/m2 x 6,5 KN/m3 = 0,195 KN/m2
qs = 0,0014 + (2 x 0,195) = 0,391 KN/m2
CALCOLO PERMANENTE (qp)
Il carico permanente si ottiene sommando i contributi della caldana, dell’isolante, del massetto e del pavimento, aggiungendo il contributo di tramezzi (1 KN/m2) e impianti (0,5 KN/m2).
1) INTONACO:
SPESSORE 1 cm
PESO SPECIFICO 1800 kg/m3 = 18 KN/m3
VOLUME 0,01m x 1m x 1m = 0,01 m3
PESO AL m2 0,01 m3/m2 x 18 KN/m3 = 0,18 KN/m2
2) CALDANA:
SPESSORE 4 cm
PESO SPECIFICO 2500 kg/m3 = 25 KN/m3
VOLUME 0,04m x 1m x 1m = 0,04 m3
PESO AL m2 0,04 m3/m2 x 25 KN/m3 = 1 KN/m2
3) LANA DI VETRO:
SPESSORE 4 cm
PESO SPECIFICO 20 kg/m3 = 0,2 KN/m3
VOLUME 0,04m x 1m x 1m = 0,04 m3
PESO AL m2 0,04 m3/m2 x 0,2 KN/m3 = 0,008 KN/m2
4) MASSETTO:
SPESSORE 3 cm
PESO SPECIFICO 2000 kg/m3 = 20 KN/m3
VOLUME 0,03m x 1m x 1m = 0,03 m3
PESO AL m2 0,03 m3/m2 x 20 KN/m3 = 0,6 KN/m2
5) PARQUET ROVERE:
SPESSORE 1 cm
PESO SPECIFICO 720 kg/m3 = 7,2 KN/m3
VOLUME 0,01m x 1m x 1m = 0,01 m3
PESO AL m2 0,01 m3/m2 x 7,2 KN/m3 = 0,072 KN/m2
qp = 1 + 0,008 + 0,18 + 0,6 + 0,072 + 1,5 = 3,36 KN/m2
CALCOLO ACCIDENTALE (qa)
Il carico accidentale dipende dalla destinazione d’uso dell’edificio: in questo caso si considera un ambiente ad uso residenziale.
qa = 2 KN/m2
Il valore di carico da utilizzare per il progetto della trave non è dato dalla sola somma Qs+Qp+Qa: i valori trovati devono ora essere moltiplicati per i rispettivi coefficienti stabiliti dalla normativa (1,3;1,5;1,5); i loro risultati poi andranno sommati e daranno come risultato Q totali /m2 ovvero il carico di progetto ma relativo ad 1m2 di solaio. Per ottenere Qu /ml (ovvero il carico che agisce su un metro lineare di trave) sarà sufficiente moltiplicare Q totali /m2 per la misura dell’interasse:
Qu = (0,507 + 5,04 + 3) x 3,5 = 29,91 kN/m
A questo punto posso calcolarmi il momento massimo Mmax agente sulla trave avendo il carico lineare Qu, la luce che copre la mia trave che è 7 e sapendo che il momento massimo di una trave appoggiata è ql2/8.
Mmax = Qu x l2/8= 183,23 kN*m
Per calcolare la TENSIONE DI PROGETTO Fd per quanto riguarda il legno abbiamo bisogno di alcuni valori:
In fase progettuale si è scelto un legno lamellare con resistenza meccanica fmk pari a 27 Mpa.
γm (coefficiente di sicurezza del materiale) = 1,45
Kmod: è un coefficiente che riduce i valori della resistenza che tiene conto della durata del carico e delle condizioni di umidità e cambia a seconda del materiale prescelto , nel nostro caso: classe di servizio 2, classe di durata del carico media = 0.80
Inserendo questi dati nella tabella di calcolo mi ricavo Fd = Kmod x fmk / γm
Quindi il nostro fd = 14,90 N/mm2
Rimane ora da inserire nel foglio excel la base b = 26 cm ipotizzata per trovare l’altezza minima della trave di legno che era l’unica incognita nel nostro progetto.
L’altezza minima viene 53,28 cm e con una ingegnerizzazione arrivo ad un altezza della trave in legno di 55 cm.
Qui di seguito la tabella di riferimento per la scelta della sezione della trave:
Abbiamo inoltre verificato la struttura su SAP2000; qui di seguito il diagramma che evidenzia i momenti flettenti:
DIMENSIONAMENTO PILASTRO LEGNO
Seguendo i valori sopra elencati, inserisco i dati a mia disposizione nella tabella ecxel:
Procedo ora con il pre-dimensionamento della sezione del pilastro a partire dalla resistenza del materiale e ottenendo quanto vale Amin:
fmk = resistenza caratteristica a flessione nella direzione delle fibre (dipende dal materiale)
kmod = coefficiente di durata del carico (fornito dalla normativa)
γm = coefficiente di sicurezza
Ottengo così la tensione ammissibile fd = fmk x kmod/γm e quindi l'area minima necessaria alla sezione affinché il materiale non giunga a rottura.
Prendo ora in considerazione i valori del modulo di elasticità E, il coefficiente β avente un valore legato alla tipologia di vincoli a cui è soggetto il pilastro e l’altezza I del pilastro per definirne la snellezza λ, il raggio di inerzia minimo ρmin e la base minima che il pilastro dovrà avere:
λ = π√E/fcd = 72,80346
ρmin = β x I / λ = 3,708615 cm
bmin = ρmin√12 = 12,84702 cm
Ingegnerizzo i valori minimi ricavati per ottenere le due dimensioni del pilastro, 20x50 cm.
Non ci resta che calcolare:
Adesign =b x h = 1000 cm2
Idesign =(h x b3)/12 = 33333,33 cm4
Abbiamo inoltre verificato la struttura su SAP2000; qui di seguito il diagramma che evidenzia lo sforzo assiale:
(lavoro svolto in gruppo con Martina Rubeis e Angela Messina)
