blog di nicolo.santini

Si vuole calcolare la rigidezza di un impalcato costituito da sette telai di cemento armato basati sul modello teorico "shear-type", osservare la collocazione del suo centro delle rigidezze rispetto al centro di massa, e la sua capacità di rispondere alle sollecitazioni orizzontali (in particolar modo, quelle sismiche). L'impalcato è il seguente:

I pilastri sono tutti di sezione rettangolare 30x50 cm, alcuni disposti lungo x, altri lungo y, come si piò osservare dalla pianta, e la loro altezza è di 300 cm.

Nel primo step della tabella Excel, vengono richiesti i dati riguardanti la geometria e i materiali dei vari telai: l'altezza h, il modulo plastico E (da materiale, 21000 N/mmq) e i momenti d'inerzia I (per la sezione rettangolare bh³/12, quindi 312500 cm⁴ quello maggiore, 112500 cm⁴ quello minore).

La tabella è quindi in grado di  calcolare la rigidezza traslante di ogni telaio , che si ottiene dalla formula: 

Questo perché si assume il modello "shear-type", nel quale ogni pilastro ha una rigidezza pari a 12EI/h³.

Ogni telaio è in grado di opporsi a sforzi orizzontali paralleli al suo sviluppo (possiamo quindi rappresentare ogni telaio con una molla che ostacola gli spostamenti):

E' ora necessario calcolare le coordinate X e Y del centro di massa G, che si calcolano tenendo conto dei due centri G1 e G2 dei due rettangoli (si decide di far coincidere il centro di massa con quello d'area), ed inserendoli nella formula per il centro di un sistema di vettori paralleli:

Il centro di massa risulta quindi di coordinate (8,13 m ; 4,13 m)

Dopo aver trovato G, serve trovare anche il centro delle rigidezze C, con la stessa formula del centro del sistema di vettori paralleli, i cui dati vengono raccolti nella tabella dello step 2 di cui sopra:

Il centro delle rigidezze C risulta avere coordinate (9,08 m; 2,94 m). In seguito viene mostrata la reciproca posizione di G e C nell'impalcato:

Una buona progettazione impone che i due centri non abbiano una distanza troppo elevata, onde limitare (o addirittura, annullare) la rotazione rigida dell'impalcato, e di conseguenza momenti torcenti sui pilastri, sottoponendo la struttura a sola traslazione pura. In questo caso la distanza è accettabile, anche se l'impalcato tende comunque a ruotare: è necessario allora calcolare la sua rigidezza torsionale come mostrato nella tabella dello step 4 di cui sopra.

Il foglio Excel calcola quindi prima le distanze dei controventi dal centro delle rigidezze, in modo da poter applicare la formula seguente:

La rigidezza torsionale totale risulta quindi 7877467,28 KNm.

Lo step 5 riguarda il calcolo dell'entità del carico sismico dell'impalcato, per il quale è necessario conoscere i carichi strutturali qs, i carichi permanenti non strutturali qp ed i carichi accidentali qa: si considera un solaio in laterocemento (vedere esercitazioni 2 e 3 per dettagli) ad uso residenziale, ovvero:

qs=1,86 KN/mq, qp=1,91 KN/mq, qa=2 KN/mq.

Essi devono essere moltiplicati per l'area dell'edificio in modo da ottenere  i carichi totali G = 452,4 KN e Q = 240 KN, a loro volta sommati e moltiplicati per il coefficiente di contemporaneità 0,8 per avere il valore del peso sismico W = 644,4 KN; infine è necessario moltiplicare per il coefficiente d'intensità sismica c, che dipende dall'area geografica e dalla sua sismicità (in questo caso vale 0,1) fino ad ottenere lo sforzo sismico orizzontale F =64,44 KN.

Gli step 6 e 7 calcolano i valori degli spostamenti orizzontali e verticali e della rotazione dell'impalcato applicando la forza F sul centro di massa G, rispettivamente lungo l'asse X e lungo l'asse Y, con le formule qui riportate:

Il momento torcente M che appare nella formula ha come forza la forza sismica F e come braccio la distanza tra centro di massa e centro delle rigidezze, e vale quindi -61,34 KNm.

La tabella quindi calcola la forza sui singoli controventi (sempre una volta per Fx e una per Fy) e per fare ciò utilizza le seguenti formule nel caso della forza lungo X: 

rispettivamente per i controventi orizzontali e quelli verticali;  Lo stesso principio si applica con la forza lungo Y:

Lo scopo è il dimensionamento di una mensola in tre tecnologie costruttive: acciaio, legno e calcestruzzo armato.

La mensola presa in analisi si presenta in questo schema strutturale:

Si procede quindi con l'analisi dei carichi e il dimensionamento nei tre diversi casi.

ANALISI E DIMENSIONAMENTO DELLA MENSOLA IN ACCIAIO CON SOLAIO IN LAMIERA GRECATA

Elementi che compongono il solaio in lamiera grecata:

Getto di calcestruzzo:  spessore 3,5 cm + 7 cm nella lamiera grecata; peso specifico: 25 KN/mc

Lamiera grecata:  altezza 7 cm, spessore 0,088 cm; peso areale: 0,11 KN/ mq

Massetto: spessore 5 cm; peso specifico: 19 KN/mc

Pavimento: spessore 2 cm; peso specifico: 20 KN/mc

Isolante in poliuretano a bassa densità: spessore 4 cm; peso specifico: 1,8 KN/mc

 Calcolo dei carichi strutturali qs

Getto di calcestruzzo : 0,035 m x 25 KN/mc = 0,875 KN/mq + [0,07 m x 25 KN/mc] x 0,5 = 0,875 KN/mq per cui in tot. =1,75 KN/mq

Lamiera grecata : 0,11 KN/mq

qs= 0,875 KN/mq + 0,11 KN/mq= 1,86 KN/mq

Calcolo dei  carichi permanenti non strutturali qp

Massetto: 0,05 m x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Isolante: 0,04 m x 1,8 KN/mc = 0,072 KN/mq

Pavimento: 0,02 m x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impianti: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 0,072 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,92 KN/mq

 Calcolo dei carichi accidentali qa

qa= 2 KN/mq da normativa per edifici residenziali

Dimensionamento della mensola con tabella Excel

Nella tabella inserisco il dato dimensionale dell'interasse e i valori dei carichi qs, qp e qa: questo mi fornirà il valore del carico qu che, insieme alla lunghezza della luce permette di calcolare il momento massimo (qxl quadro/2). La scelta del materiale (acciaio per carpenterie S275) e quindi l'inserimento del dato della sua tensione di snervamento fyk renderà possibile stabilire la tensione di progetto fyd e  di conseguenza anche il modulo di resistenza a flessione Wx minimo (841,74 cm cubi). Sui profilari, scelgo una IPE 360 con un Wx di 903,6 cm cubi, un momento d'inerzia Ix di 16270 cm alla quarta ed un peso di 0,571 KN/m. Questi dati mi forniranno il carico qe che tiene in considerazione anche il peso del profilo; inserendo il modulo elastico E del materiale, la tabella finalmente calcolerà l'abbassamento massimo e il suo rapporto con la lunghezza, stabilendo (secondo la normativa dev'essere  ≥ 250) che il profilo scelto è valido.

ANALISI E DIMENSIONAMENTO DELLA MENSOLA IN LEGNO CON SOLAIO IN TRAVETTI E TAVOLATO

Elementi che compongono il solaio in legno:

Travetti in abete rosso: 10 x 20 cm; peso specifico: 4 KN/mc

Tavole in abete rosso: spessore 4 cm; peso specifico : KN/mc

Massetto: spessore 5 cm; peso specifico: 19 KN/mc

Pavimento:  spessore 2 cm; peso specifico: 20 KN/mc

 Calcolo dei carichi strutturali qs

Travetti: interasse di 40 cm (2,5 travetti per mq): (0,02 mc x 4 KN/mc)/mq x 2,5 = 0,2 KN/mq

Tavole: 0,04 m x 4 KN/mc = 0,16 KN/mq

qs= 0,2 KN/mq + 0,16 KN/mq = 0,36 KN/mq

Calcolo dei  carichi permanenti non strutturali qp

Massetto: 0,05 m x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Pavimento: 0,02 m x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impianti: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,85 KN/mq

  Calcolo dei carichi accidentali qa

qa= 2 KN/mq da normativa per edifici residenziali

Dimensionamento della mensola con tabella Excel

Nella tabella inserisco il dato dimensionale dell'interasse e i valori dei carichi qs, qp e qa: questo mi fornirà il valore del carico qu che, insieme alla lunghezza della luce permette di calcolare il momento massimo (qxl quadro/2). La scelta del materiale (legno di abete rosso) e quindi l'inserimento dei dati della sua tensione di snervamento fmk, e dei coefficienti di sicurezza renderà possibile stabilire la tensione di progetto fdc e  di conseguenza inserendo la misura della base della trave (30 cm da progetto) calcolare la dimensione minima dell'altezza che poi sarà ingegnerizzata (da 60,25 a 65 cm). Inserendo il modulo elastico E del materiale, la tabella finalmente calcolerà prima il momento d'inerzia e il carico dovuto al peso della trave, quindi l'abbassamento massimo e il suo rapporto con la lunghezza, stabilendo (secondo la normativa dev'essere  ≥ 250) che il profilo scelto è valido.

ANALISI E DIMENSIONAMENTO DELLA MENSOLA IN CLS CON SOLAIO IN TRAVETTI E PIGNATTE

Elementi che compongono il solaio in laterocemento:

Calcestruzzo armato:  spessore  4 cm + 25x10 cm dei travetti (2 per ogni metro); peso specifico: 25 KN/mc

Pignatte: 12x50x25 cm; peso areale con travetti d’interasse 60 cm: 1,05 KN/mq

Massetto: spessore 5 cm; peso specifico: 19 KN/mc

Pavimento:  spessore 2 cm; peso specifico: 20 KN/mc

Isolante in poliuretano a bassa densità: spessore 4 cm; peso specifico: 1,8 KN/mc

 Calcolo dei carichi strutturali qs

Calcestruzzo armato : 0,04 m x 25 KN/mc = 1 KN/mq + (0,025 mc x 25 KN/mc)/mq x 2 = 1,25 KN/mq per cui in tot. = 2,25 KN/mq

Pignatte: 1,05 KN/mq

qs=2,25 KN/mq + 1,05 KN/mq = 3,3 KN/mq

Calcolo dei  carichi permanenti non strutturali qp

Massetto: 0,05 m x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Isolante: 0,04 m x 1,8 KN/mc = 0,072 KN/mq

Pavimento: 0,02 m x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impianti: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 0,072 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,92 KN/mq

  Calcolo dei carichi accidentali qa

qa= 2 KN/mq da normativa per edifici residenziali

Dimensionamento della trave con tabella Excel

Nella tabella inserisco il dato dimensionale dell'interasse e i valori dei carichi qs, qp e qa: questo mi fornirà il valore del carico qu che, insieme alla lunghezza della luce permette di calcolare il momento massimo (qxl quadro/2). La scelta dei materiali (acciaio per armature B450c e calcestruzzo C30) e quindi l'inserimento dei dati delle loro tensioni di snervamento fyk e fck, renderà possibile stabilire le tensioni di progetto fyd e fcd e di conseguenza inserendo la misura della base della trave (25 cm da progetto) e del copriferro (5 cm da progetto) si potrà calcolare la dimensione minima dell'altezza che poi sarà ingegnerizzata (da 65,05 a 70 cm). La tabella calcolerà il peso della sezione e il carico qe che dipende da esso, e una volta inserito il valore del modulo elastico E anche il momento d'inerzia Ix e quindi l'abbassamento massimo e il suo rapporto con la lunghezza, stabilendo (secondo la normativa dev'essere  ≥ 250) che il profilo scelto è valido.

L'esercitazione prevede l'analisi dei carichi su una trave appoggiata, secondo questo schema strutturale:

Si prende in analisi la trave principale centrale, che dovrà sopportare i carichi di questa porzione di solaio:

L'analisi verrà effettuata immaginando di dover comparare tre tecnologie costruttive diverse: acciaio, legno, calcestruzzo armato.

ANALISI E DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE IN ACCIAIO CON SOLAIO IN LAMIERA GRECATA

Elementi che compongono il solaio in lamiera grecata:

Getto di calcestruzzo:  spessore 3,5 cm + 7 cm nella lamiera grecata; peso specifico: 25 KN/mc

Lamiera grecata:  altezza 7 cm, spessore 0,088 cm; peso areale: 0,11 KN/ mq

Massetto: spessore 5 cm; peso specifico: 19 KN/mc

Pavimento: spessore 2 cm; peso specifico: 20 KN/mc

Isolante in poliuretano a bassa densità: spessore 4 cm; peso specifico: 1,8 KN/mc

 Calcolo dei carichi strutturali qs

Getto di calcestruzzo : 0,035 m x 25 KN/mc = 0,875 KN/mq + [0,07 m x 25 KN/mc] x 0,5 = 0,875 KN/mq per cui in tot. =1,75 KN/mq

Lamiera grecata : 0,11 KN/mq

qs= 0,875 KN/mq + 0,11 KN/mq= 1,86 KN/mq

Calcolo dei  carichi permanenti non strutturali qp

Massetto: 0,05 m x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Isolante: 0,04 m x 1,8 KN/mc = 0,072 KN/mq

Pavimento: 0,02 m x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impianti: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 0,072 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,92 KN/mq

 Calcolo dei carichi accidentali qa

qa= 2 KN/mq da normativa per edifici residenziali

Dimensionamento della trave con tabella Excel

Inserisco l'interasse e qs, qp e qa e ottengo il valore del carico ripartito q sulla trave (grazie ai coefficienti di sicurezza); inserisco la luce e avrò calcolato automaticamente il valore del momento massimo sulla trave (ql^2/8); con questo valore e la tensione caratteristica fk del materiale che scelgo (S275) ottengo la tensione di progetto fd e quindi anche il modulo di resistenza a flessione Wx minimo (Mmax/fd), il quale sarà confrontato con quelli dei profili commerciali IPE (nel caso specifico una IPE 300 con Wx di 557,1 cm cubi):

ANALISI E DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE IN LEGNO CON SOLAIO IN TRAVETTI E TAVOLATO

Elementi che compongono il solaio in legno:

Travetti in abete rosso: 10 x 20 cm; peso specifico: 4 KN/mc

Tavole in abete rosso: spessore 4 cm; peso specifico : KN/mc

Massetto: spessore 5 cm; peso specifico: 19 KN/mc

Pavimento:  spessore 2 cm; peso specifico: 20 KN/mc

 Calcolo dei carichi strutturali qs

Travetti: interasse di 40 cm (2,5 travetti per mq): (0,02 mc x 4 KN/mc)/mq x 2,5 = 0,2 KN/mq

Tavole: 0,04 m x 4 KN/mc = 0,16 KN/mq

qs= 0,2 KN/mq + 0,16 KN/mq = 0,36 KN/mq

Calcolo dei  carichi permanenti non strutturali qp

Massetto: 0,05 m x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Pavimento: 0,02 m x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impianti: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,85 KN/mq

  Calcolo dei carichi accidentali qa

qa= 2 KN/mq da normativa per edifici residenziali

Dimensionamento della trave con tabella Excel

Inserisco l'interasse e qs, qp e qa e ottengo il valore del carico ripartito q sulla trave (grazie ai coefficienti di sicurezza); inserisco la luce e avrò calcolato automaticamente il valore del momento massimo sulla trave (ql^2/8); dopo aver calcolato questo valore, inserisco la tensione caratteristica fk del materiale che scelgo (abete rosso), il coefficiente Kmod che dipende dalle condizioni umidità e il coefficiente di sicurezza gamma m ottengo la tensione di progetto fd. In base alle msigenze progettuali scelgo una dimensione per la base , ottenendo una altezza minima (radice di 6Mmax/fd x b) che approssimerò per esigenze tecnologiche (da 37,02 a 40 cm).

ANALISI E DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE IN CLS CON SOLAIO IN TRAVETTI E PIGNATTE

Elementi che compongono il solaio in laterocemento:

Calcestruzzo armato:  spessore  4 cm + 25x10 cm dei travetti (2 per ogni metro); peso specifico: 25 KN/mc

Pignatte: 12x50x25 cm; peso areale con travetti d’interasse 60 cm: 1,05 KN/mq

Massetto: spessore 5 cm; peso specifico: 19 KN/mc

Pavimento:  spessore 2 cm; peso specifico: 20 KN/mc

Isolante in poliuretano a bassa densità: spessore 4 cm; peso specifico: 1,8 KN/mc

 Calcolo dei carichi strutturali qs

Calcestruzzo armato : 0,04 m x 25 KN/mc = 1 KN/mq + (0,025 mc x 25 KN/mc)/mq x 2 = 1,25 KN/mq per cui in tot. = 2,25 KN/mq

Pignatte: 1,05 KN/mq

qs=2,25 KN/mq + 1,05 KN/mq = 3,3 KN/mq

Calcolo dei  carichi permanenti non strutturali qp

Massetto: 0,05 m x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Isolante: 0,04 m x 1,8 KN/mc = 0,072 KN/mq

Pavimento: 0,02 m x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impianti: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 0,072 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,92 KN/mq

  Calcolo dei carichi accidentali qa

qa= 2 KN/mq da normativa per edifici residenziali

Dimensionamento della trave con tabella Excel

Inserisco l'interasse e qs, qp e qa e ottengo il valore del carico ripartito q sulla trave (grazie ai coefficienti di sicurezza); inserisco la luce e avrò calcolato automaticamente il valore del momento massimo sulla trave (ql^2/8); dopo aver trovato questo valore, inserisco le tensioni caratteristiche fk dei materiali che scelgo (cls C60 e acciaio S450), e ottengo le tensioni di progetto fyd e fcd. In base alle msigenze progettuali scelgo una dimensione per la base e per il copriferro, ottenendo una altezza minima con la formula che tiene anche conto di beta e r (radice di 6Mmax/fd x b) che approssimerò per esigenze tecnologiche (da 3147 a 35 cm). La sezione risulta verificata.

L'obiettivo dell'esercitazione è il disegno, l'analisi dei carichi e il dimensionamento delle aste di una struttura a carattere reticolare. In questo caso, ho deciso di concepire una piastra di copertura su 4 appoggi, con un buco centrale per un patio, costituita da moduli quadrati di 1,5 m di lato, per un totale di 12x8 moduli.

Comincio disegnando la piastra su SAP2000 su una griglia 1,5x1,5x1,5, partendo dal modulo singolo e copiandolo nelle due direzioni:

pongo i vincoli di cerniera interna (Assign->Frames->Releases/Partial Fixities; sblocco la rotazione):

Assegno le 4 cerniere esterne (Assign->Restraints; scelgo la cerniera):

"Simulando" un'analisi dei carichi, individuo i nodi più sollecitati (100 KN), i nodi di bordo (50 KN), i nodi al vertice (25 KN) e i nodi ai vertici del patio (75 KN) e li applico dopo aver configurato una forza puntuale verticale verso il basso "F" (Assign->Joint Loads):

A questo punto effettuo l'analisi delle sollecitazioni (essendo una reticolare troverò solo sforzo normale) (Run Analysis; considero solo gli effetti delle F; Show); noto che le aste maggiormente sollecitate sono quelle in corrispondenza dei vincoli esterni:

Mi assicuro che nella tabella di analisi mi venga riportato un solo valore per ogni asta (lo sforzo assiale è costante!)

E visualizzo la tabella (Display->Show Tables):

E la esporto in formato Excel:

Elimino i doppioni analizzando solo un caso per ogni asta (ricordiamo che lo sforzo normale è costante):

Dopo aver scaricato la tabella Excel fornita dal Corso, rimuovo le caselle non necessarie:

E inserisco i valori  della normale risultati dall'analisi, in ordine crescente:

Inserisco un'ulteriore casella dove visualizzo solo il valore assoluto dello sforzo normale, necessario affinché si possa eseguire il dimensionamento:

Scelgo un materiale (acciaio S275) e pongo le costanti (tensione di rottura e gamma di sicurezza):

Conosco anche il modulo d'elasticità, la lunghezza delle aste e il coefficiente della tipologia di vincolo (beta):

Per le aste tese (non soggette ad insabilità) non considero valori come la lunghezza e il beta:

Inizio a dimensionare le aste compresse trovando dei profili tubolari adeguati dal sagomario, tenendo da conto l'area minima trovata dal rapporto tra normale e tensione di progetto, e assicurandomi che il profilo scelto abbia anche adeguati valori di momento d'inerzia e raggio d'inerzia calcolati dalle funzioni inserite nel foglio Excel:

e continuo così:

Per le aste tese considero solo l'area minima:

La struttura così progettata necessiterà in totale di 8 tipi diversi di profili; questo dipende dall'economicizzare il numero di tipi di profili a scapito di avere alcuni elementi molto sovradimensionati.