blog di Michela.Roefaro

L’obiettivo di questa quinta esercitazione è quello di calcolare come viene ripartita una forza orizzontale, come ad esempio quella sismica o quella del vento, su un telaio che compone una struttura, applicando il metodo delle rigidezze. 

Si prende in considerazione un edificio in calcestruzzo armato ad un solo piano la cui struttura è composta da telai piani. Questi elementi strutturali, oltre a trasmettere i carichi verticali alle fondazioni, possono svolgere il ruolo di controventi poiché sono in grado di sopportare anche le azioni orizzontali.

Nella pianta strutturale si possono individuare 7 telai, 3 paralleli all’asse y e 4 paralleli all’asse x:

1v --> pilastri  1-6-9                             1o --> pilastri  1-2-3-4

2v --> pilastri  2-4-7-10                        2o --> pilastri 4-5

3v --> pilastri 3-5-8                              3o --> pilastri 6-7-8

                                                            4o --> pilastri 9-10

I controventi, essendo vincoli cedevoli elasticamente, possono essere schematizzati nel piano dell'impalcato come molle, aventi ognuno una propria rigidezza.

Ipotizzando che ogni telaio sia modellato come Shear-Type, la rigidezza si calcola come segue:

F = (12EI₁ / h³ + 12EI₂ / h³) d

F = k d

k = (12EI₁ / h³ + 12EI₂ / h³)

E’ possibile dunque calcolare la rigidezza traslante associata ad ogni controvento sommando le rigidezze dei singoli pilastri che lo compongono.

 

E = modulo elastico cls armato = 21000 Mpa                         

I = momento d’inerzia del pilastro che varia a seconda dell’orientamento -->       I_x = bh³ / 12                  I_y = b³h / 12

       

    Sezione del pilastro

    b = 25 cm

    h = 40 cm

    Ix = 133333,33 cm⁴

    Iy = 52083,33 cm⁴  

 

Di seguito sono riportati, in una tabella riassuntiva, i valori delle rigidezze dei controventi e le relative distanze dall’ origine.

A questo punto è necessario calcolare le coordinate del centro di massa. In questo caso quest’ ultimo coincide con il centro d’area perché si ipotizza che la densità di massa sia uniforme su tutto l’impalcato.

Si suddivide l’impalcato in figure elementari e vengono indicati i centri d’area di ognuna di queste figure. A questo punto le coordinate del centro di massa valgono:

xC_m = A₁ xC₁ + A₂ xC₂ / A_tot  = 3,65

yC_y = A₁ yC₂ + A₂ yC₂ / A_tot = 3,15

Ora è possibile calcolare:

• rigidezza totale orizzontale, somma delle rigidezze dei singoli controventi orizzontali;
• rigidezza totale verticale, somma delle rigidezze dei singoli controventi verticali;
• coordinate del centro delle rigidezze;
• rigidezza torsionale totale.

 

Le coordinate del centro di rigidezza valgono:

x_c = k_v1 d_v1 + k_v2 d_v2 + k_v3 d_v3 / k_v,tot = 2,71

y_c = k_o1 d_o1 + k_o2 d_o2 + k_o3 d_o3 + k_o4 d_o4 = 2,03

Ora si possono posizionare il centro di massa ed il centro delle rigidezze all’interno del sistema di riferimento in cui si è disegnato l’impalcato.

 

Come si nota dall’ immagine, i due punti in questo caso non coincidono. Dunque, applicando una forza in direzione orizzontale o verticale nel centro di massa dell’impalcato, oltre alla traslazione si verificherà una rotazione indotta dal momento prodotto dalla forza esterna rispetto al centro delle rigidezze.

Calcolando tutte le distanze dei controventi dal centro delle rigidezze, è possibile ricavare anche il valore della rigidezza torsionale:

k_{j =} k_v1 dd²_v1 + k_v2 dd²_v2 + k_v3 dd²_v3 + k_o1 dd²_o1 + k_o2 dd²_o2 + k_o3 dd²_o3 + k_o4 dd²_o4­ = 87336281211,66

Ora bisogna effettuare l’analisi dei carichi sismici per ricavare la forza sismica che agisce nel centro di massa, considerando i carichi strutturali, permanenti ed accidentali di un solaio in cls armato di una civile abitazione.

 

CARICHI STRUTTURALI

 

• Soletta in cls -->  γ = 25,00 KN/mc

                                       s = 40 mm = 0,04 m

                                       p.p. =  25 x 0,04 = 1 KN/mq

 

• Travetti -->  γ = 25,00 KN/mc

                              Smedio = 0,12 x 0,2 / 0,50 = 0,048 m

                              p.p. =  25 x 0,048 = 1,20 KN/mq

 

• Pignatte -->  γ = 8,00 KN/mc

                               Smedio = 0,38 x 0,2 / 0,50 = 0,152 m

                               p.p. =  8 x 0,152 = 1,22 KN/mq

 

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 3,42 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI

• Pavimento in gres (s = 20 mm)  à p.p. =0,40 KN/mq
• Massetto di allettamento in cls alleggerito --> γ=20,00 KN/mc

                                                                                    s = 80 mm = 0,08 m

                                                                                    p.p. =  20 x 0,08 = 1,6 KN/mq 

• Isolante acustico (s = 30 mm) --> p.p. =0,30 KN/mq
• Massetto in malta di cemento -->  γ = 25,00 KN/mc

                                                                  s = 40 mm = 0,04 m

                                                                 p.p. =  25 x 0,04 = 1 KN/mq 

• Intonaco (s = 20 mm)  --> γ = 18,00 KN/mc

                                                     s = 20 mm = 0,02 m

                                                     p.p. =18 x 0,02 = 0,36 KN/mq

• Incidenza impianti --> 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi --> 1,60 KN/mq

TOTALE CARICHI PERMANENTI = 5,76 KN/mq

 

CARICHI ACCIDENTALI

• Cat. A _ Civile abitazione à 2 KN/mq

 

Vengono calcolati il carico totale permanente G ed il carico totale accidentale Q a partire dal valore dei carichi per unità di superficie [kN/mq].

G = (q_s + q_p) A_tot = 446,15 kN

Q = q_a A_tot = 97,20 kN

In accordo con le norme tecniche per le costruzioni (NTC2008), utilizziamo la combinazione sismica per calcolare i pesi sismici.

W = G + y_2j Q = 475,31 kN                        y_2j = coeff. di contemporaneità indicato dalla norma

Il peso sismico W rappresenta la forza peso dell’edificio, data dal prodotto tra la massa dell’edificio e l’accelerazione di gravità. Dato che il sisma  produce un’accelerazione mediamente più piccola dell’accelerazione di gravità, si introduce un coefficiente di intensità sismica cche tiene conto della sismicità del luogo di progettazione dell’edificio.

F = W c =  47,53 kN

Infine è necessario ripartire la forza sismica sui controventi ed i relativi effetti dinamici sull’ impalcato in termini di traslazione e di rotazione rigida.

Si considerano 2 casi:

1_ Forza sismica agente in direzione x, traslazione orizzontale e rotazione rigida;

2_ Forza sismica agente in direzione y, traslazione verticale e rotazione rigida.

 

Spostamento orizzontale -->  u = F / k_o,tot

Spostamento verticale --> v = F / k_v,tot

Rotazione --> j = M / k_j                           

Determinati i valori dei gradi di libertà è possibile ricavare la forza sui singoli controventi nei due casi di carico.

1 _ F // x

 Controventi orizzontali --> F_{o_n} = k_{o_n} (u + j dd_{o_n})

 Controventi verticali --> F_{v_n} = k_{v_n}  j dd_{v_n}

2_ F // y

Controventi verticali --> F_{v_n} = k_{v_n} (v +  j dd_{v_n})

Controventi orizzontali --> F_{o_n} = k_{o_n}  j dd_{o_n}

Questa terza esercitazione prevede il dimensionamento della sezione di una trave a sbalzo nei tre materiali: legno, acciaio e calcestruzzo armato. I solai che si andranno ad utilizzare sono già stati indicati nella seconda esercitazione, in cui è stato eseguito il dimensionato della trave maggiormente sollecitata.

La carpenteria presenta uno sbalzo di 2 x 7 m e la trave maggiormente sollecitata è quella compresa tra i pilastri B2 e B3:  

l (luce) = 2 m;              

 i (interasse) = 2 m + 1,5 m = 3,5 m;                      

A ( area d’influenza) = 2 m x 3,5 m = 7 mq 

In questo caso il modello statico da considerare è quello di una mensola incastrata ad un’estremità.

           

Il valore del momento massimo in corrispondenza della sezione d’incastro varrà -->  Mmax = qu x l^2/2

Inoltre, dopo aver eseguito il dimensionamento, è necessario effettuare la verifica a deformabilità per controllare che l’abbassamento massimo della trave sia inferiore a 1/250 della luce. Questa si effettua nelle condizioni dello stato limite d’esercizio (SLE), per evitare la perdita di funzionalità della struttura.

Per questa ragione i carichi che gravano sulla trave vengono calcolati secondo la combinazione frequente, impiegata per gli stati limite d’esercizio reversibili:

qe = (G1 + G2 + psi 11 x Q1) xi

I carichi strutturali, permanenti ed accidentali sono stati ripresi dalla precedente esercitazione.

 

ACCIAIO

CARICHI STRUTTURALI

• Lamiera grecata (s = 0,8 mm) --> p.p = 10,47 kg/mq = 0,1047 KN/mq = 0,1 KN/mq                    
• Getto di cls  -->  γ = 25,00 KN/mc

                                      Smedio = 65 + 55 / 2 = 92,5 mm = 0,0925 m

                                      p.p. =  25 x 0,0925 = 2,32 KN/mq

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 2,42 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI

• Pavimento in gres (s = 20 mm)  --> p.p. =0,40 KN/mq
• Massetto in malta di cemento -->  γ = 25,00 KN/mc

                                                                 s = 80 mm = 0,08 m

                                                                 p.p. =  25 x 0,08 = 1,6 KN/mq 

• Controsoffitto in pannelli di gesso --> p.p. =0,35 KN/mq
• Incidenza impianti --> 0,1 KN/mq
• Incidenza tramezzi --> 1,60 KN/mq
•  

TOTALE CARICHI PERMANENTI = 4,05 KN/mq

 

CARICHI ACCIDENTALI

• Cat. A _ Civile abitazione --> 2 KN/mq

 

Combinazione di carico allo SLU per 1mq di solaio --> q = 2,42x1,3 + 4,05x1,5 + 2x1,5 = 12,22 KN/mq

Carico lineare agente sulla trave --> qu = qtot / l = q x i = 12,22 KN/mq x 3,5 m = 42,77 KN/m

E’ possibile determinare così il momento massimo della trave, considerando il modello semplice di mensola.

 Mmax = qu x l^2/2 = 42,77 x 4 / 2  = 85,55 KN*m

Scelto l’acciaio con cui si desidera realizzare la trave, in questo caso acciaio S275, si determinano la tensione caratteristica di snervamento fyk = 275 N/mmq e la tensione caratteristica di progetto fyd = fyk/1,05 = 261,90 N/mmq. 

Per il dimensionamento della sezione, si deve calcolare il valore minimo del modulo di resistenza a flessione affinché nessuna fibra del materiale super la tensione di progetto.

Wx,min = Mmax / fyd = 8555 KN*cm / 26,19 KN/cmq = 326,63 cmc

A questo punto dal sagomario si sceglie una trave IPE ingegnerizzata che abbia Wx > 326,63 cmc, cioè un IPE270 con Wx = 420,00 cmc.

Conosciamo così il peso del profilo (0,361 kN/m), necessario per calcolare il carico totale:

qe = (G1 + G2 + psi 11 x Q1) x i + p.p. IPE270  = (2,42 + 4,05 + 0,5 x 2) x 3,5 + 0,361 = 26,5 kN/m

Infine il momento d’inerzia Ix (5790 cm^4 ) ed il modulo elastico E (210000 N/mmq)  dell’acciaio prescelto, consentono di stabilire lo spostamento della trave:

Vmax = qe x l^4 / 8 E Ix = 265 x (200)^4 / 8 x 21000000 x 5790 = 0,436 cm

La trave è verificata in quanto lo spostamento massimo soddisfa i requisiti della normativa. à 0,436 < 1/250 l = 200/250 = 0,8 cm.

Quanto eseguito è confermato dalla tabella di calcolo del foglio Excel.

 

CALCESTRUZZO ARMATO­

 CARICHI STRUTTURALI

• Soletta in cls --> γ = 25,00 KN/mc

                                       s = 40 mm = 0,04 m

                                        p.p. =  25 x 0,04 = 1 KN/mq

• Travetti --> γ = 25,00 KN/mc

                              Smedio = 0,12 x 0,2 / 0,50 = 0,048 m

                              p.p. =  25 x 0,048 = 1,20 KN/mq

• Pignatte -->  γ=8,00 KN/mc

                                Smedio = 0,38 x 0,2 / 0,50 = 0,152 m

                               p.p. =  8 x 0,152 = 1,22 KN/mq

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 3,42 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI

• Pavimento in gres (s = 20 mm)  --> p.p. =0,40 KN/mq
• Massetto di allettamento in cls alleggerito --> γ=20,00 KN/mc

                                                                                    s = 80 mm = 0,08 m

                                                                                    p.p. =  20 x 0,08 = 1,6 KN/mq 

• Isolante acustico (s = 30 mm) --> p.p. =0,30 KN/mq
• Massetto in malta di cemento --> γ=25,00 KN/mc

                                                                s = 40 mm = 0,04 m

                                                                p.p. =  25 x 0,04 = 1 KN/mq 

• Intonaco --> γ=18,00 KN/mc

                                s = 20 mm = 0,02 m

                                p.p. =18 x 0,02 = 0,36 KN/mq

• Incidenza impianti --> 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi --> 1,60 KN/mq

TOTALE CARICHI PERMANENTI = 5,76 KN/mq

 

CARICHI ACCIDENTALI

• Cat. A _ Civile abitazione à 2 KN/mq

 

Combinazione di carico allo SLU per 1 mq di solaio --> q =3,42 x 1,3+5,76 x 1,5+2 x 1,5 = 16,09 KN/mq

Carico lineare agente sulla trave --> qu = qtot / l = q x i = 16,09 KN/mq x 3,5 m = 56,30 KN/m

Momento massimo della trave --> Mmax = qu x l^2/2 = 56,30 x 4 / 2 = 112,60 KN*m

Per il dimensionamento della sezione è necessario stabilire la resistenza caratteristica dell’acciaio (fyk = 450 N/mmq) e la resistenza caratteristica del calcestruzzo (fck = 45 N/mmq), dalle quali si ottengono:

• tensione di progetto dell’acciaio -->  fyd = fyk/1,15 = 391,30 N/mmq 
• tensione di progetto del cls compresso --> fcd = αcc x (fck / γc) = 0,85 x (45/1,5) = 25,5 N/mmq.

Impostando la dimensione della base (25 cm), è possibile ricavare l’altezza utile della sezione e successivamente l’altezza minima (34,25 cm), data dall’altezza utile sommata alla distanza tra il baricentro dell’armatura ed il filo del cls teso. Ingegnerizzando l’altezza minima (40 cm) si ottengono le dimensioni precise della sezione, verificate aggiungendo il peso proprio della trave.

                                           

Trave --> γ = 25,00 KN/mc

                A = 0,25 m x 0,40 m = 0,1 mq

                p.p. = 25 x 0,1 = 2,50 KN/mq

Il peso proprio della trave viene utilizzato anche per calcolare il carico totale:

qe = (G1 + G2 + psi 11 x Q1) x i + p.p. trave  = (3,42 + 5,76 + 0,5 x 2) x 3,5 + 2,50 = 38,13 kN/m

Per stabilire lo spostamento della trave si calcola il momento d’inerzia di una sezione rettangolare:

 Ix = b x h^3 / 12 = 25 x 64000 / 12 = 133333 cm4

Quest’ ultimo insieme al modulo elastico E (210000 N/mmq)  dell’acciaio prescelto, consentono di stabilire lo spostamento della trave:

Vmax = qe x l^4 / 8 E Ix = 381,3 x (200)^4 / 8 x 21000000 x 133333 = 0,03 cm

La trave è verificata in quanto lo spostamento massimo soddisfa i requisiti della normativa. à 0,03 < 1/250 l = 200/250 = 0,8 cm.

Quanto eseguito è confermato dalla tabella di calcolo del foglio Excel._{­­­­­­­}

 

 

SOLAIO IN LEGNO

 

CARICHI STRUTTURALI

• Tavolato in legno d’ abete  -->  γ = 6,00 KN/mc

                                                             s = 60 mm = 0,06 m

                                                             p.p. =  6 x 0,06 = 0,36 KN/mq

• Travetti _ i = 1 m; l = 4m --> γ = 6,00 KN/mc

                                                         Volume = (0,12 m x 0,24 m x 1m) x 2 = 0,06 mc/mq

                                                         p.p. =  6 x 0,06 = 0,36 KN/mq

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 0,72 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI

• Pavimento in gres (s = 20 mm)  --> p.p. =0,40 KN/mq
• Massetto di allettamento in cls alleggerito  --> γ=20,00 KN/mc

                                                                                     s = 30 mm = 0,03 m

                                                                                     p.p. =  20 x 0,03 = 0,60 KN/mq 

• Isolante acustico in lana di vetro --> γ=0,6 KN/mc

                                                                     s = 80 mm = 0,08 m

                                                                     p.p. =0,048 KN/mq

• Massetto in cls alleggerito -->  γ=20,00 KN/mc

                                                            s = 80 mm = 0,08 m

                                                            p.p. = 20 x 0,08 = 1,6 KN/mq 

• Incidenza impianti --> 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi --> 1 KN/mq

TOTALE CARICHI PERMANENTI = 4,15 KN/mq

 

CARICHI ACCIDENTALI

• Cat. A _ Civile abitazione à 2 KN/mq

 

Una volta determinati i carichi si svolgono gli stessi passaggi effettuati precedentemente, in modo tale da determinare il carico lineare agente sulla trave.

Combinazione di carico allo SLU per 1 mq di solaio --> q =0,72 x 1,3+4,15 x 1,5+2 x 1,5 = 10,16 KN/mq

Carico lineare agente sulla trave --> qu = qtot / l = q x i = 10,16 KN/mq x 3,5 m = 35,56 KN/m

Momento massimo della trave --> Mmax = qu x l^2/2 = 35,56 x 4 / 2 = 71,13 KN*m

Per il dimensionamento della sezione della trave bisogna indicare la resistenza caratteristica a flessione del legno da utilizzare, in questo caso fm,k = 24 N/mmq.

Per determinare la tensione di progetto, è necessario introdurre un coefficiente di sicurezza diminutivo dei valori di resistenza del materiale fornito dalla normativa; questo, oltre a dipendere dal tipo di materiale, tiene conto dell’effetto della durata del carico e delle condizioni di umidità in cui la struttura opererà. Per questo solaio si è scelto un legno lamellare di classe 1 con effetti di lunga durata, kmod = 0,7. Inoltre, viene utilizzato un altro coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale, γm = 1,45.                                                                                       

Tensione di progetto --> fdc = kmod x fm,k / γm = 0,7 x 24 [N/mmq] / 1,45 = 11,59 N/mmq

Impostando la dimensione della base (25 cm), è possibile ricavare l’altezza minima della sezione (38,38 cm) da ingegnerizzare (45 cm). Così si ottengono le dimensioni precise della sezione.

                                               

Per ottenere il carico totale allo SLE frequente il peso proprio della trave, a differenza dei casi precedenti, può essere trascurato in quanto il legno è un materiale leggero.

qe = (G1 + G2 + psi 11 x Q1) x i   = (0,72 + 4,15 + 0,5 x 2) x 3,5 = 20,55 kN/m

Per stabilire lo spostamento della trave si calcola il momento d’inerzia di una sezione rettangolare:

 Ix = b x h^3 / 12 = 25 x 91125 / 12 = 189844 cm4

Quest’ ultimo insieme al modulo elastico E (8000 N/mmq) del materiale, consentono di stabilire lo spostamento della trave:

Vmax = qe x l^4 / 8 E Ix = 205,5 x (200)^4 / 8 x 800000 x 189844 = 0,27 cm

La trave è verificata in quanto lo spostamento massimo soddisfa i requisiti della normativa. à 0,27 < 1/250 l = 200/250 = 0,8 cm.

Quanto eseguito è confermato dalla tabella di calcolo del foglio Excel._{­­­­­­­}

Questa seconda esercitazione prevede il dimensionamento della trave maggiormente sollecitata da individuare nella pianta di carpenteria selezionata, ipotizzando l’uso di tre differenti tipologie strutturali per il solaio: acciaio, cls armato e legno.

La trave è quella compresa tra i pilastri B1 e B2 -->  l (luce) = 4 m

                                                                                   i (interasse) = 2m + 1,5m = 3,5 m

                                                                                   A (area d’influenza) = 4m x 3,5 m = 14 mq

Per poter effettuare il dimensionamento è necessario calcolare il peso totale dei carichi che insistono sulla struttura per poi determinare il carico lineare di progetto sulla trave evidenziata.

La normativa distingue tre tipi di carichi:

1. qs  [kN/mq] à CARICHI STRUTTURALI = si basano sulle dimensioni effettive delle membrature e dei pesi per unità di volume dei materiali costituenti.
2. qp [kN/mq] à CARICHI PERMANENTI NON STRUTTURALI =  insieme di tutti i carichi che gravano permanentemente sul solaio (tamponature esterne, divisori interni, massetti, pavimenti, ecc.).
3. qa [kN/mq] à CARICHI ACCIDENTALI = dipendono dalla destinazione d’uso dell’opera. Nella normativa (D.M. 2008) sono riportati i valori dei carichi accidentali in base alla categoria dell’edificio; in questo caso, essendo un ambiente ad uso residenziale, il valore è pari a 2 kN/mq.

 

SOLAIO IN ACCIAIO

CARICHI STRUTTURALI

• Lamiera grecata (s = 0,8 mm) --> p.p = 10,47 kg/mq = 0,1047 KN/mq = 0,1 KN/mq 

                         

• Getto di cls -->  γ=25,00 KN/mc

                                     Smedio = 65+55/2=92,5 mm = 0,0925 m

                                     p.p. =  25 x 0,0925 = 2,32 KN/mq

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 2,42 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI

• Pavimento in gres (s = 20 mm) --> p.p. =0,40 KN/mq
• Massetto in malta di cemento -->    γ=25,00 KN/mc

                                                                    s = 80 mm = 0,08 m

                                                                    p.p. =  25 x 0,08 = 1,6 KN/mq 

• Controsoffitto in pannelli di gesso --> p.p. = 0,35 KN/mq
• Incidenza impianti --> 0,1 KN/mq
• Incidenza tramezzi --> 1,60 KN/mq

 TOTALE CARICHI PERMANENTI = 4,05 KN/mq

 

CARICHI ACCIDENTALI

• Cat. A _ Civile abitazione à 2 KN/mq

Ora è possibile effettuare la combinazione di carico allo SLU in cui si moltiplicano i valori dei carichi ottenuti per dei coefficienti di sicurezza, considerati nelle condizioni più sfavorevoli.

q = 2,42 x 1,3 + 4,05 x 1,5 + 2 x 1,5 = 12,22 KN/mq

A questo punto bisogna tener conto che il carico ottenuto riguarda un metro quadro di solaio, mentre per il dimensionamento è necessario ottenere il carico lineare agente sulla trave.

Si può ricavare il carico totale del solaio portato della trave moltiplicando il carico incidente su un mq di solaio per l’area di influenza della trave.

qtot = q x A = q x i x l = 12,22 KN/mq x 14 mq = 171, 08 KN

Dividendo successivamente il risultato ottenuto per la luce della trave ottengo il carico lineare agente su di essa.

qu = qtot / l = q x i x l / l = q x i = 12,22 KN/mq x 3,5 m = 42,77 KN/m

E’ possibile determinare così il momento massimo della trave, considerando il modello semplice di trave doppiamente appoggiata.

 Mmax = qu x l^2/8 = 42,77 x 16 / 8 = 85,55 KN*m

Scelto l’acciaio con cui si desidera realizzare la trave, in questo caso acciaio S275, si determinano la tensione caratteristica di snervamento fyk = 275 N/mmq e la tensione caratteristica di progetto fyd = fyk/1,05 = 261,90 N/mmq. 

Per il dimensionamento della sezione si deve calcolare il valore minimo del modulo di resistenza a flessione affinché nessuna fibra del materiale super la tensione di progetto.

Wx,min = Mmax / fyd = 8555 KN*cm / 26,19 KN/cmq = 326,63 cmc

I calcoli eseguiti sono confermati dalla tabella Excel.

A questo punto si sceglie dal sagomario una trave IPE ingegnerizzata che abbia Wx > 326,63 cmc, cioè un IPE270 con Wx = 420,00 cmc.

Per verificare il dimensionamento si aggiunge il peso proprio della sezione ai carichi strutturali, si ricalcola Mmax e si ridetermina Wx,min che deve essere necessariamente minore del Wx della trave scelta.

p.p. IPE270 = 36,1 kg/m = 0,36 KN/m

q = 2,78 x 1,3 + 4,05 x 1,5 + 2 x 1,5 = 12,69 KN/mq

qtot = q x A = q x i x l = 12,69 KN/mq x 14 mq = 177, 66 KN

qu = qtot / l = q x i x l / l = q x i = 12,69 KN/mq x 3,5 m = 44,41 KN/m

Mmax = qu x l^2/8 = 44,41 x 16 / 8 = 88,82 KN*m

Wx,min = Mmax / fyd = 8882 KN*cm / 26,19 KN/cmq = 339,14 cmc 

IPE270 VERIFICATA

 

SOLAIO IN CALCESTRUZZO ARMATO­

 CARICHI STRUTTURALI

• Soletta in cls -->  γ = 25,00 KN/mc

                                       s = 40 mm = 0,04 m

                                       p.p. =  25 x 0,04 = 1 KN/mq

• Travetti -->  γ = 25,00 KN/mc

                               Smedio = 0,12 x 0,2 / 0,50 = 0,048 m

                               p.p. =  25 x 0,048 = 1,20 KN/mq

• Pignatte -->  γ = 8,00 KN/mc

                                Smedio = 0,38 x 0,2 / 0,50 = 0,152 m

                                p.p. =  8 x 0,152 = 1,22 KN/mq

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 3,42 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI

• Pavimento in gres (s = 20 mm)  --> p.p. = 0,40 KN/mq
• Massetto di allettamento in cls alleggerito -->  γ = 20,00 KN/mc

                                                                                     s = 80 mm = 0,08 m

                                                                                     p.p. =  20 x 0,08 = 1,6 KN/mq 

• Isolante acustico (s = 30 mm) --> p.p. = 0,30 KN/mq
• Massetto in malta di cemento -->  γ = 25,00 KN/mc

                                                                 s = 40 mm = 0,04 m

                                                                 p.p. =  25 x 0,04 = 1 KN/mq 

• Intonaco --> γ=18,00 KN/mc

                               s = 20 mm = 0,02 m

                               p.p. =18 x 0,02 = 0,36 KN/mq

• Incidenza impianti --> 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi --> 1,60 KN/mq

TOTALE CARICHI PERMANENTI = 5,76 KN/mq

 

CARICHI ACCIDENTALI

• Cat. A _ Civile abitazione à 2 KN/mq

Una volta determinati i carichi si svolgono gli stessi passaggi effettuati per il solaio in acciaio, in modo tale da determinare il carico lineare agente sulla trave.

Combinazione di carico allo SLU per 1 mq di solaio -->  q =3,42 x 1,3 + 5,76 x 1,5 + 2 x 1,5 = 16,09 KN/mq

Carico del solaio portato della trave --> qtot = q x A = q x i x l = 16,09 KN/mq x 14 mq = 225,2 KN

Carico lineare agente sulla trave --> qu = qtot / l = q x i = 16,09 KN/mq x 3,5 m = 56,30 KN/m

Momento massimo della trave --> Mmax = qu x l^2/8 = 56,30 x 16 / 8 = 112,60 KN*m

A questo punto per il dimensionamento della sezione della trave c’è bisogno di determinare altri parametri; ciò è dettato dal materiale non omogeneo ma composto di calcestruzzo (compresso) e di acciaio (teso). Si deve stabilire la resistenza caratteristica dell’acciaio (fyk = 450 N/mmq) e la resistenza caratteristica del calcestruzzo (fck = 45 N/mmq), dalle quali si ottengono:

• tensione di progetto dell’acciaio -->  fyd = fyk/1,15 = 391,30 N/mmq 
• tensione di progetto del cls compresso --> fcd = αcc x (fck / γc) = 0,85 x (45/1,5) = 25,5 N/mmq.

Impostando la dimensione della base (25 cm), è possibile ricavare l’altezza utile della sezione e successivamente l’altezza minima (34,25 cm), data dall’altezza utile sommata alla distanza tra il baricentro dell’armatura ed il filo del cls teso. Ingegnerizzando l’altezza minima (40 cm) si ottengono le dimensioni precise della sezione, verificate aggiungendo il peso proprio della trave.

                                   

Tutti i calcoli ed i ragionamenti eseguiti sono riscontrabili nella tabella del foglio Excel.

 

SOLAIO IN LEGNO

CARICHI STRUTTURALI

• Tavolato in legno d’ abete  -->  γ = 6,00 KN/mc

                                                             s = 60 mm = 0,06 m

                                                             p.p. =  6 x 0,06 = 0,36 KN/mq

• Travetti _ i = 1 m; l = 4m --> γ = 6,00 KN/mc

                                                         Volume = (0,12 m x 0,24 m x 1m) x 2 = 0,06 mc/mq

                                                          p.p. =  6 x 0,06 = 0,36 KN/mq

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 0,72 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI

• Pavimento in gres (s = 20 mm)  --> p.p. =0,40 KN/mq
• Massetto di allettamento in cls alleggerito  -->  γ=20,00 KN/mc

                                                                                      s = 30 mm = 0,03 m

                                                                                      p.p. =  20 x 0,03 = 0,60 KN/mq 

• Isolante acustico in lana di vetro --> γ = 0,6 KN/mc

                                                                     s = 80 mm = 0,08 m

                                                                     p.p. =0,048 KN/mq

• Massetto in cls alleggerito -->  γ = 20,00 KN/mc

                                                            s = 80 mm = 0,08 m

                                                            p.p. = 20 x 0,08 = 1,6 KN/mq 

• Incidenza impianti --> 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi --> 1 KN/mq

TOTALE CARICHI PERMANENTI = 4,15 KN/mq

 

CARICHI ACCIDENTALI

• Cat. A _ Civile abitazione à 2 KN/mq

 

Una volta determinati i carichi si svolgono gli stessi passaggi effettuati per i solai precedenti, in modo tale da determinare il carico lineare agente sulla trave.

Combinazione di carico allo SLU per 1 mq di solaio --> q =0,72 x 1,3+4,15 x 1,5+2 x 1,5 = 10,16 KN/mq

Carico del solaio portato della trave --> qtot = q x A = q x i x l = 10,16 KN/mq x 14 mq = 142,25 KN

Carico lineare agente sulla trave --> qu = qtot / l = q x i = 10,16 KN/mq x 3,5 m = 35,56 KN/m

Momento massimo della trave --> Mmax = qu x l^2/8 = 35,56 x 16 / 8 = 71,13 KN*m

Per il dimensionamento della sezione della trave bisogna indicare la resistenza caratteristica a flessione del legno da utilizzare, in questo caso fm,k = 24 N/mmq.

Per determinare la tensione di progetto, è necessario introdurre un coefficiente di sicurezza diminutivo dei valori di resistenza del materiale fornito dalla normativa; questo, oltre a dipendere dal tipo di materiale, tiene conto dell’effetto della durata del carico e delle condizioni di umidità in cui la struttura opererà. Per questo solaio si è scelto un legno lamellare di classe 1 con effetti di lunga durata, kmod = 0,7. Inoltre, viene utilizzato un altro coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale, γm = 1,45.

Tensione di progetto à kmod x fm,k / γm = 0,7 x 24 [N/mmq] / 1,45 = 11,59 N/mmq

Impostando la dimensione della base (24 cm), è possibile ricavare l’altezza minima della sezione (39,18 cm) da ingegnerizzare (48 cm). Così si ottengono le dimensioni precise della sezione, verificate aggiungendo il peso proprio della trave.

                                                

Trave _ i = 3,5 m; l = 4m -->  γ = 6,00 KN/mc

                                              Volume = 0,24 x 0,48 x 3,5 m = 0,4 mc/mq

                                              p.p. =  6 x 0,37 = 2,4 KN/mq

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 3,12 KN/mq

q = 3,12 x 1,3 + 4,15 x 1,5+2 x 1,5 = 13,3 KN/mq

qtot = q x A = q x i x l = 13,3 KN/mq x 14 mq = 186,2 KN

qu = qtot / l = q x i x l / l = q x i = 13,3 KN/mq x 3,5 m = 46,55 KN/m

Mmax = qu x l^2/8 = 46,55 x 16 / 8 = 93 KN*m

I calcoli eseguiti sono confermati dalla tabella Excel.

TRAVE 24X44 CM VERIFICATA.

 

Questa prima esercitazione prevede l’analisi ed il dimensionamento di massima di una struttura reticolare spaziale, attraverso il supporto del programma SAP 2000.

Le travature reticolari sono strutture costituite da un insieme di aste collegate fra loro mediante delle cerniere interne (nodi), nelle quali sono applicati i carichi che sollecitano la struttura; di conseguenza ogni asta è sollecitata secondo la congiungente dei nodi ed è quindi soggetta soltanto a sforzo normale, di trazione (TIRANTE)  o di compressione (PUNTONE). 

1_ Per creare una struttura selezionare FILE – NEW MODEL, impostare l’ UNITA’ DI MISURA corretta (KN, m, C) e procedere con il metodo di disegno più opportuno, in questo caso GRID ONLY.

2_Nella finestra successiva inserire il numero di linee della griglia necessarie per disegnare le aste della struttura (in base alle direzioni dei piani) e regolarne l’interasse.

                                                                         

 

3_ In tal modo otterremo la griglia voluta. Per disegnare la struttura selezionare nella barra laterale il comando DRAW FRAME/CABLE e tracciare le aste seguendo le linee della griglia. 

4_ Disegnare la struttura facendo attenzione a non sovrapporre le aste.

5_ Dopo aver ottenuto la struttura bisogna assegnare i vincoli esterni. Selezionare i punti in cui questi ultimi si vogliono posizionare e successivamente cliccare su ASSIGN – JOINT – RESTRAINTS e scegliere i vincoli da inserire, in questo caso cerniere. 

6_ Essendo una struttura reticolare è necessario che le aste siano collegate tra loro attraverso delle cerniere interne, così da poter reagire soltanto a sforzo normale. Per fare ciò occorre selezionare tutta la struttura e cliccare su ASSIGN – FRAME – RELEASES/PARTIAL FIXITY e spuntare il rilascio del momento sia all’ inizio che alla fine di tutte le aste.

7_ Per definire il materiale selezionare DEFINE – MATERIALS e scegliere quello desiderato. Per questa prima analisi è stato impostato un acciaio di base. 

8_ Per definire la sezione delle aste procedere cliccando su DEFINE – SECTION PROPERTIES – FRAME SECTIONS – ADD NEW PROPERTY. Una volta opzionata quella desiderata, in questo caso un tubolare cavo, si aprirà una nuova finestra in cui sarà possibile modificare il nome e le caratteristiche della sezione. Per questa prima analisi sono stati lasciati i valori di default.

9_ Per assegnare la sezione alle aste bisogna selezionarle, premere su ASSIGN – FRAME – FRAME SECTIONS ed indicare quella voluta. In tal modo comparirà il nome della sezione su ogni asta. 

10_ E’ ora necessario inserire il carico; essendo una reticolare, vanno assegnate delle forze concentrate sui nodi superiori della struttura. Per selezionarli con più facilità è possibile impostare la vista 2D da VIEW – SET 2D VIEW – ASSI X,Y ed impostare la quota in altezza sulla quale si trovano i nodi superiori, in questo caso Z=2.

                                                            

11_ Da questa visuale, dopo aver selezionato i nodi superiori centrali della struttura premere ASSIGN – JOIN LOADS – FORCES. Prima di procedere, è necessario creare un nuovo caso di carico in cui il moltiplicatore di peso proprio della struttura sia pari a zero. Dopo aver inserito tale valore e dopo aver assegnato il nome, aggiungere il nuovo caso e selezionarlo nel momento in cui si assegna il valore alle forze concentrate, direzionandole verso il basso.

12_ Ripetere i stessi passaggi per i nodi superiori perimetrali, assegnando però un valore di forze pari alla metà di quello usato precedentemente. Questo avviene perché i nodi esterni interessano   la metà dell’area d’ influenza rispetto a quelli interni. Otterremo così il modello della struttura, definita così in ogni aspetto.

13_ A questo punto si può far partire l’analisi, selezionando esclusivamente il caso di carico in cui il peso proprio della struttura non è considerato. Per una verifica finale si possono controllare i valori del momento e del taglio; se il modello reticolare è stato lavorato nel modo giusto, essi dovranno essere pari a zero. Otterremo infine la deformata ed i valori dello sforzo assiale con i quali sarà possibile progettare un dimensionamento di massima.

Grazie a SAP2000 è possibile importare su EXCEL i valori dello sforzo assiale di ogni asta, sia di compressione che di trazione, per poi poter procedere al dimensionamento. 

ALLEGATO: Tabella Excel sforzi assiali 

Per una struttura reticolare la sezione più indicata per le aste è un tubolare cavo, inoltre si sceglie un tipo di acciaio duttile, l’ S235.

-DIMENSIONAMENTO ASTE SOGGETTE A TRAZIONE

1_ Rottura  -->   Area minima = N/fd

Ricavato il valore dell’area minima, derivante dalla formula di Navier che in questa fase di dimensionamento tiene conto della tensione di snervamento fd, si possono indicare profilati che abbiano un’ A>Amin.

Sono stati scelti 4 profili per le aste tese:

33,7 x 2,6 mm

42,4 x 2,6 mm

42,4 x 3,2 mm

60,3 x 2,9 mm

ALLEGATO: Tabella Excel aste tese

 

-DIMENSIONAMENTO ASTE SOGGETTE A COMPRESSIONE

1_ Rottura  -->   Area minima = N/fd

2_ Instabilità euleriana  -->  Momento d’inerzia minimo = Amin/ρmin^2

Oltre all’ area minima, necessaria affinché la sezione resista a rottura, bisogna valutare il risultato della seconda formula. Quest’ ultima deriva dal carico critico eureliano, superato il quale l’asta subisce uno sbandamento; per evitare che questo accada è bene tener conto di parametri come il momento d’inerzia ed il raggio d’inerzia, valori dipendenti dal materiale, dalla lunghezza delle aste e dai loro rispettivi vincoli.

Ricavati i valori minimi delle caratteristiche richieste si può effettuare il dimensionamento di massima, indicando profilati che abbiano  A>Amin e I>Imin, facendo però attenzione anche al parametro della snellezza che per normativa non dovrà mai essere maggiore di 200.

Sono stati selezionati 8 profili per le aste compresse, di cui 4 in comune con le aste tese:

33,7 x 2,6 mm

42,4 x 2,6 mm

42,4 x 3,2 mm

48,3 x 3,6, mm

48,3 x 3,2 mm

60,3 x 2,9 mm

76,1 x 2,6 mm

76,1 x 3,6 mm

ALLEGATO: Tabella Excel aste compresse