Esercitazione 3 _ Dimensionamento mensola

Questa terza esercitazione prevede il dimensionamento della sezione di una trave a sbalzo nei tre materiali: legno, acciaio e calcestruzzo armato. I solai che si andranno ad utilizzare sono già stati indicati nella seconda esercitazione, in cui è stato eseguito il dimensionato della trave maggiormente sollecitata.

La carpenteria presenta uno sbalzo di 2 x 7 m e la trave maggiormente sollecitata è quella compresa tra i pilastri B2 e B3:  

l (luce) = 2 m;              

 i (interasse) = 2 m + 1,5 m = 3,5 m;                      

A ( area d’influenza) = 2 m x 3,5 m = 7 mq 

In questo caso il modello statico da considerare è quello di una mensola incastrata ad un’estremità.

           

Il valore del momento massimo in corrispondenza della sezione d’incastro varrà -->  Mmax = qu x l^2/2

Inoltre, dopo aver eseguito il dimensionamento, è necessario effettuare la verifica a deformabilità per controllare che l’abbassamento massimo della trave sia inferiore a 1/250 della luce. Questa si effettua nelle condizioni dello stato limite d’esercizio (SLE), per evitare la perdita di funzionalità della struttura.

Per questa ragione i carichi che gravano sulla trave vengono calcolati secondo la combinazione frequente, impiegata per gli stati limite d’esercizio reversibili:

qe = (G1 + G2 + psi 11 x Q1) xi

I carichi strutturali, permanenti ed accidentali sono stati ripresi dalla precedente esercitazione.

 

ACCIAIO

CARICHI STRUTTURALI

• Lamiera grecata (s = 0,8 mm) --> p.p = 10,47 kg/mq = 0,1047 KN/mq = 0,1 KN/mq                    
• Getto di cls  -->  γ = 25,00 KN/mc

                                      Smedio = 65 + 55 / 2 = 92,5 mm = 0,0925 m

                                      p.p. =  25 x 0,0925 = 2,32 KN/mq

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 2,42 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI

• Pavimento in gres (s = 20 mm)  --> p.p. =0,40 KN/mq
• Massetto in malta di cemento -->  γ = 25,00 KN/mc

                                                                 s = 80 mm = 0,08 m

                                                                 p.p. =  25 x 0,08 = 1,6 KN/mq 

• Controsoffitto in pannelli di gesso --> p.p. =0,35 KN/mq
• Incidenza impianti --> 0,1 KN/mq
• Incidenza tramezzi --> 1,60 KN/mq
•  

TOTALE CARICHI PERMANENTI = 4,05 KN/mq

 

CARICHI ACCIDENTALI

• Cat. A _ Civile abitazione --> 2 KN/mq

 

Combinazione di carico allo SLU per 1mq di solaio --> q = 2,42x1,3 + 4,05x1,5 + 2x1,5 = 12,22 KN/mq

Carico lineare agente sulla trave --> qu = qtot / l = q x i = 12,22 KN/mq x 3,5 m = 42,77 KN/m

E’ possibile determinare così il momento massimo della trave, considerando il modello semplice di mensola.

 Mmax = qu x l^2/2 = 42,77 x 4 / 2  = 85,55 KN*m

Scelto l’acciaio con cui si desidera realizzare la trave, in questo caso acciaio S275, si determinano la tensione caratteristica di snervamento fyk = 275 N/mmq e la tensione caratteristica di progetto fyd = fyk/1,05 = 261,90 N/mmq. 

Per il dimensionamento della sezione, si deve calcolare il valore minimo del modulo di resistenza a flessione affinché nessuna fibra del materiale super la tensione di progetto.

Wx,min = Mmax / fyd = 8555 KN*cm / 26,19 KN/cmq = 326,63 cmc

A questo punto dal sagomario si sceglie una trave IPE ingegnerizzata che abbia Wx > 326,63 cmc, cioè un IPE270 con Wx = 420,00 cmc.

Conosciamo così il peso del profilo (0,361 kN/m), necessario per calcolare il carico totale:

qe = (G1 + G2 + psi 11 x Q1) x i + p.p. IPE270  = (2,42 + 4,05 + 0,5 x 2) x 3,5 + 0,361 = 26,5 kN/m

Infine il momento d’inerzia Ix (5790 cm^4 ) ed il modulo elastico E (210000 N/mmq)  dell’acciaio prescelto, consentono di stabilire lo spostamento della trave:

Vmax = qe x l^4 / 8 E Ix = 265 x (200)^4 / 8 x 21000000 x 5790 = 0,436 cm

La trave è verificata in quanto lo spostamento massimo soddisfa i requisiti della normativa. à 0,436 < 1/250 l = 200/250 = 0,8 cm.

Quanto eseguito è confermato dalla tabella di calcolo del foglio Excel.

 

CALCESTRUZZO ARMATO­

 CARICHI STRUTTURALI

• Soletta in cls --> γ = 25,00 KN/mc

                                       s = 40 mm = 0,04 m

                                        p.p. =  25 x 0,04 = 1 KN/mq

• Travetti --> γ = 25,00 KN/mc

                              Smedio = 0,12 x 0,2 / 0,50 = 0,048 m

                              p.p. =  25 x 0,048 = 1,20 KN/mq

• Pignatte -->  γ=8,00 KN/mc

                                Smedio = 0,38 x 0,2 / 0,50 = 0,152 m

                               p.p. =  8 x 0,152 = 1,22 KN/mq

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 3,42 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI

• Pavimento in gres (s = 20 mm)  --> p.p. =0,40 KN/mq
• Massetto di allettamento in cls alleggerito --> γ=20,00 KN/mc

                                                                                    s = 80 mm = 0,08 m

                                                                                    p.p. =  20 x 0,08 = 1,6 KN/mq 

• Isolante acustico (s = 30 mm) --> p.p. =0,30 KN/mq
• Massetto in malta di cemento --> γ=25,00 KN/mc

                                                                s = 40 mm = 0,04 m

                                                                p.p. =  25 x 0,04 = 1 KN/mq 

• Intonaco --> γ=18,00 KN/mc

                                s = 20 mm = 0,02 m

                                p.p. =18 x 0,02 = 0,36 KN/mq

• Incidenza impianti --> 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi --> 1,60 KN/mq

TOTALE CARICHI PERMANENTI = 5,76 KN/mq

 

CARICHI ACCIDENTALI

• Cat. A _ Civile abitazione à 2 KN/mq

 

Combinazione di carico allo SLU per 1 mq di solaio --> q =3,42 x 1,3+5,76 x 1,5+2 x 1,5 = 16,09 KN/mq

Carico lineare agente sulla trave --> qu = qtot / l = q x i = 16,09 KN/mq x 3,5 m = 56,30 KN/m

Momento massimo della trave --> Mmax = qu x l^2/2 = 56,30 x 4 / 2 = 112,60 KN*m

Per il dimensionamento della sezione è necessario stabilire la resistenza caratteristica dell’acciaio (fyk = 450 N/mmq) e la resistenza caratteristica del calcestruzzo (fck = 45 N/mmq), dalle quali si ottengono:

• tensione di progetto dell’acciaio -->  fyd = fyk/1,15 = 391,30 N/mmq 
• tensione di progetto del cls compresso --> fcd = αcc x (fck / γc) = 0,85 x (45/1,5) = 25,5 N/mmq.

Impostando la dimensione della base (25 cm), è possibile ricavare l’altezza utile della sezione e successivamente l’altezza minima (34,25 cm), data dall’altezza utile sommata alla distanza tra il baricentro dell’armatura ed il filo del cls teso. Ingegnerizzando l’altezza minima (40 cm) si ottengono le dimensioni precise della sezione, verificate aggiungendo il peso proprio della trave.

                                           

Trave --> γ = 25,00 KN/mc

                A = 0,25 m x 0,40 m = 0,1 mq

                p.p. = 25 x 0,1 = 2,50 KN/mq

Il peso proprio della trave viene utilizzato anche per calcolare il carico totale:

qe = (G1 + G2 + psi 11 x Q1) x i + p.p. trave  = (3,42 + 5,76 + 0,5 x 2) x 3,5 + 2,50 = 38,13 kN/m

Per stabilire lo spostamento della trave si calcola il momento d’inerzia di una sezione rettangolare:

 Ix = b x h^3 / 12 = 25 x 64000 / 12 = 133333 cm4

Quest’ ultimo insieme al modulo elastico E (210000 N/mmq)  dell’acciaio prescelto, consentono di stabilire lo spostamento della trave:

Vmax = qe x l^4 / 8 E Ix = 381,3 x (200)^4 / 8 x 21000000 x 133333 = 0,03 cm

La trave è verificata in quanto lo spostamento massimo soddisfa i requisiti della normativa. à 0,03 < 1/250 l = 200/250 = 0,8 cm.

Quanto eseguito è confermato dalla tabella di calcolo del foglio Excel._{­­­­­­­}

 

 

SOLAIO IN LEGNO

 

CARICHI STRUTTURALI

• Tavolato in legno d’ abete  -->  γ = 6,00 KN/mc

                                                             s = 60 mm = 0,06 m

                                                             p.p. =  6 x 0,06 = 0,36 KN/mq

• Travetti _ i = 1 m; l = 4m --> γ = 6,00 KN/mc

                                                         Volume = (0,12 m x 0,24 m x 1m) x 2 = 0,06 mc/mq

                                                         p.p. =  6 x 0,06 = 0,36 KN/mq

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 0,72 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI

• Pavimento in gres (s = 20 mm)  --> p.p. =0,40 KN/mq
• Massetto di allettamento in cls alleggerito  --> γ=20,00 KN/mc

                                                                                     s = 30 mm = 0,03 m

                                                                                     p.p. =  20 x 0,03 = 0,60 KN/mq 

• Isolante acustico in lana di vetro --> γ=0,6 KN/mc

                                                                     s = 80 mm = 0,08 m

                                                                     p.p. =0,048 KN/mq

• Massetto in cls alleggerito -->  γ=20,00 KN/mc

                                                            s = 80 mm = 0,08 m

                                                            p.p. = 20 x 0,08 = 1,6 KN/mq 

• Incidenza impianti --> 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi --> 1 KN/mq

TOTALE CARICHI PERMANENTI = 4,15 KN/mq

 

CARICHI ACCIDENTALI

• Cat. A _ Civile abitazione à 2 KN/mq

 

Una volta determinati i carichi si svolgono gli stessi passaggi effettuati precedentemente, in modo tale da determinare il carico lineare agente sulla trave.

Combinazione di carico allo SLU per 1 mq di solaio --> q =0,72 x 1,3+4,15 x 1,5+2 x 1,5 = 10,16 KN/mq

Carico lineare agente sulla trave --> qu = qtot / l = q x i = 10,16 KN/mq x 3,5 m = 35,56 KN/m

Momento massimo della trave --> Mmax = qu x l^2/2 = 35,56 x 4 / 2 = 71,13 KN*m

Per il dimensionamento della sezione della trave bisogna indicare la resistenza caratteristica a flessione del legno da utilizzare, in questo caso fm,k = 24 N/mmq.

Per determinare la tensione di progetto, è necessario introdurre un coefficiente di sicurezza diminutivo dei valori di resistenza del materiale fornito dalla normativa; questo, oltre a dipendere dal tipo di materiale, tiene conto dell’effetto della durata del carico e delle condizioni di umidità in cui la struttura opererà. Per questo solaio si è scelto un legno lamellare di classe 1 con effetti di lunga durata, kmod = 0,7. Inoltre, viene utilizzato un altro coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale, γm = 1,45.                                                                                       

Tensione di progetto --> fdc = kmod x fm,k / γm = 0,7 x 24 [N/mmq] / 1,45 = 11,59 N/mmq

Impostando la dimensione della base (25 cm), è possibile ricavare l’altezza minima della sezione (38,38 cm) da ingegnerizzare (45 cm). Così si ottengono le dimensioni precise della sezione.

                                               

Per ottenere il carico totale allo SLE frequente il peso proprio della trave, a differenza dei casi precedenti, può essere trascurato in quanto il legno è un materiale leggero.

qe = (G1 + G2 + psi 11 x Q1) x i   = (0,72 + 4,15 + 0,5 x 2) x 3,5 = 20,55 kN/m

Per stabilire lo spostamento della trave si calcola il momento d’inerzia di una sezione rettangolare:

 Ix = b x h^3 / 12 = 25 x 91125 / 12 = 189844 cm4

Quest’ ultimo insieme al modulo elastico E (8000 N/mmq) del materiale, consentono di stabilire lo spostamento della trave:

Vmax = qe x l^4 / 8 E Ix = 205,5 x (200)^4 / 8 x 800000 x 189844 = 0,27 cm

La trave è verificata in quanto lo spostamento massimo soddisfa i requisiti della normativa. à 0,27 < 1/250 l = 200/250 = 0,8 cm.

Quanto eseguito è confermato dalla tabella di calcolo del foglio Excel._{­­­­­­­}