blog di Eleonora Mazziotti

In questa esercitazione lo scopo è la verifica a deformabilità  della sezione di una trave a sbalzo nei tre materiali: legno, acciaio e cemento armato.

Per quanto riguarda il dimensionamento della trave, Il metodo di progetto  è analogo a quello utilizzato nella prima esercitazione, con una osservazione:

lo schema statico di riferimento qui considerato non è più una trave doppiamente appoggiata (esercitazione 2), bensì una mensola. Quindi il Momento massimo, in corrispondenza della sezione di incastro, varrà:

                                                             

                                                                     M_max = q_ul²/ 2

 

SCHEMA STATICO DI RIFERIMENTO: MENSOLA

 

 Prendo in esame un'ipotetica pianta di carpenteria con una maglia strutturale in cui le ultime due campate                sull'estremità destra sono aggettanti e ne individuo la trave maggiormente sollecitata , con la sua area di influenza.

 

VERIFICA A DEFORMABILITA'

Dimensionata la sezione della trave, la verifica a deformabilità controllando l'abbassamento massimo della mensola in rapporto alla sua luce. Questo, è un procedimento che verrà effettuato allo Stato Limite di Esercizio (SLE) poichè, in questo caso,non è richiesta la verifica a rottura (SLU) ma solo controllare che non vi siano spostamenti e deformazioni che possano compromettere l'utilizzo e l'efficienza della costruzione, insieme al suo aspetto.

A questo fine, carichi incidenti sulla struttura sono ricombinati seguendo la combinazione frequente, impiegata solitamente per gli stati limite di esercizio reversibili:

                                                                 

                                                                q_e= (G₁ + G₂ + ψ11Q₁) x i

 

(G1 è il valore caratteristico del peso del carico strutturale q_s e G₂ del peso del carico permanente q_p, mentre  ψ₁₁ è un coefficiente che definisce il valore frequente di Q1che rappresenta il valore caratteristico dell’azione variabile q_a).

In questa fase, bisognerà anche controllare, a seconda della tecnologia utilizzata, se considerare o meno il peso proprio della trave poichè essa, se rilevante ai fini del risultato, verrà riutilizzata per calcolare il carico totale q_e (il file Excel relativo a questa esercitazione lo farà in automatico).

Infine, per calcolare lo spostamento, è necessario conoscere il modulo elastico della sezione (E) ed il suo momento di inerzia (I_X). Inserite queste informazioni nel file Excel, il programma ci fornirà in automatico il valore dell'abbassamento massimo (v_max) attraverso la formula:

                                                                       v_max = q_el⁴/ 8 E I_x

con  q_e (kN/m) = carico totale di esercizio

       l(m)         = luce trave 

       E             = modulo elastico del materiale 

       I_x (cm⁴)    = momento di inerzia della sezione 

verificando che il rapporto tra la luce della trave e il suo spostamento massimo (v_max) sia maggiore di 250, come imposto dalla normativa in base al tipo di elemento strutturale considerato.

                                                                                    l / v_max ≥ 250

 

TRAVE IN LEGNO

 

Dimensionamento

Riprendendo il procedimento svolto nell'esercitazione 2 (dimensionamento di una trave in legno,acciaio e cemento armato), a partire da una sezione data, ottengo:

Sezione Trave

 

Carico totale agente sulla trave e  Momento massimo

Come abbiamo già detto, lo schema isostatico in questo caso è quello di una mensola, dunque il Momento massimo sarà il quadruplo di quello relativo allo schema isostatico di una trave appoggiata (M_max,mensola = ql²/2 ):

Tensione di Progetto

 

Scelta della trave, data la base 

Ipotizzando di avere una base di 20 cm (b = 20 cm) otterrò un'altezza minima che, dopo essere stata ingegnerizzata, mi porterà a scegliere una trave di dimensioni 20 X 116 cm.

                                                     

      

 

Verifica a Deformabilità

 

Carico di esercizio (q_e) e incidenza del peso proprio della trave

Definita la sezione, il programma mi fornisce subito la combinazione di carico di esercizio q_e combinando i carichi di esercizio secondo la combinazione frequente chiarita sopra e, poichè il legno è un materiale leggero viene trascurato il peso proprio della trave.

q_e,legno = 21 kN/m

 

Spostamento trasversale massimo

Per calcolare lo spostamento, inserisco nel file Excel il valore del modulo elastico del legno ( E ) - per la verifica allo SLE và preso in considerazione il modulo elastico medio parallelo E_0,g,mean , da sostituire invece con quello caratteristico E_0,g,05 per la verifica allo SLU - che per il legno lamellare da me scelto è E = 126 000 N/mm²

 

ed il foglio di calcolo mi fornisce il valore del momento di inerzia della sezione (I_x). Nel caso presente, che presenta l'analisi di una sezione di legno rettangolare, I_x = bh³/ 12.

A questo punto, il programma ha tutti i dati necessari per calcolarmi anche l'abbassamento massimo della mensola secondo la formula scritta sopra (v_max = q_el⁴/ 8 E Ix ):

v_{max, legno} = 0.05 cm 

 

Verifica

La sezione è verificata, come mi conferma la tabella di calcolo, dal fatto che il rapporto fra la luce della trave e il suo spostamento massimo è di gran lunga maggiore di 250 (verifica ⇔ l/v_max  ≥ 250) :

l / v_{max, legno} = 9872,21 >250 

 

TRAVE IN ACCIAIO

Come per il caso della trave in legno, riprendendo il procedimento svolto nell'esercitazione 2 (dimensionamento di una trave in legno,acciaio e cemento armato), a partire da una sezione data ottengo:

Sezione Trave

 

Carico totale agente sulla trave e  Momento massimo

Come abbiamo già detto, lo schema isostatico in questo caso è quello di una mensola, dunque il Momento massimo sarà il quadruplo di quello relativo allo schema isostatico di una trave appoggiata (M_max,mensola = ql²/2 )

 

Tensione di Progetto e Modulo di Resistenza minimo

Scelto un acciaio medio - classe Fe360 / s235 - con resistenza caratteristica di snervamento f_y,k =235MPa, ottengo f_y,d e W_x,min. 

 

Scelta della Trave

 I valori trovati mi portano a scegliere un profilato IPE 600 che avrà un modulo di resistenza  W_x = 3070.0 cm³  ed un momento di inerzia I_x= 92080 cm^4.

 

Verifica a Deformabilità

 

Carico di esercizio (q_e) e incidenza del peso proprio della trave

Definita la sezione, inseriamo nel foglio di calcolo il momento di Inerzia del profilato e il suo peso proprio, il cui contributo, nel caso dell'acciaio, ha un contributo significativo ai fini dell'analisi progettuale.

I_x= 92080 cm⁴                                                      Peso = 122 kg/m = 1.22 kN/m

 

Spostamento trasversale massimo

Per calcolare lo spostamento infine, inserisco nel file Excel il anche il valore del   modulo elastico dell'acciaio 

 E = 210000 N/mm²  ed ottengo l'abbassamento massimo della mensola in acciaio (v_max = q_el⁴/ 8 E Ix ):

v_{max, acciaio} =  1.134 cm

 

Verifica

Anche in questo caso, la sezione è verificata, come mi conferma la tabella di calcolo.Il rapporto fra la luce della trave e il suo spostamento massimo infatti, è maggiore di 250 (verifica ⇔ l/v_max  ≥ 250) :

l / v_{max, acciaio} = 440.803  >250 

 

 

TRAVE IN CEMENTO ARMATO

Anche qui, riprendendo il procedimento svolto nell'esercitazione 2 (dimensionamento di una trave in legno,acciaio e cemento armato), a partire da una sezione data ottengo:

Sezione Trave

 

Carico totale agente sulla trave e  Momento massimo

Di nuovo,lo schema isostatico in questo caso è quello di una mensola, dunque il Momento massimo sarà il quadruplo di quello relativo allo schema isostatico di una trave appoggiata (M_max,mensola = ql²/2 )

 

Tensioni di Progetto

Utilizzo un acciaio B450 A  (f_yk= 450MPa) ed un calcestruzzo ordinario C 32/40  (f_ck = 40 MPa ). Tramite le resistenze caratteristiche, il foglio Excel mi calcola la tensione di progetto del calcestruzzo compresso (fc_d) e quella dell'acciaio (f_yd)

Scelta della Trave

Posta b = 40 cm , e tramite i valori delle tensioni di progetto cosi ottenuti, si può determinare h_u (altezza utile della sezione) e da essa H_min(altezza minima della sezione) come analizzato nell'esercitazione 2. 

L'altezza minima ottenuta (H_min) è uguale a 75,36 cm; ingegnerizzo la sezione e scelgo una trave in cemento armato con sezione 30 X 90 (H = 90 cm).  

Il foglio Excel mi verifica in automatico la resistenza della trave scelta tenendo conto - insieme ai carichi - del suo peso proprio (moltiplicato per il fattore di sicurezza 1,3) a partire dalla conoscenza del peso specifico del cls armato pari a 25 kN/ m³.

 

 

Verifica a Deformabilità

 

Carico di esercizio (q_e) e incidenza del peso proprio della trave

Anche nel caso del cemento armato, bisognerà tenere conto del peso proprio della trave (ricavato automaticamente da Excel) ; il foglio di calcolo, tenendone conto,mi fornisce il valore del carico di esercizio tramite la combinazione frequente dei carichi incidenti.

q_{e,cls armato} = 39,40 kN/m

 

Spostamento trasversale massimo

Per calcolare lo spostamento infine, inserisco nel file Excel il anche il valore del   modulo elastico del calcestruzzo

C 32740 pari a  E = 33300 N/mm²  ed ottengo l'abbassamento massimo della mensola in acciaio (v_max = q_el⁴/ 8 E Ix ):

v_{max, cls armato} =  0.38 cm

 

Verifica

Anche in questo caso, la sezione è verificata, come mi conferma la tabella di calcolo.Il rapporto fra la luce della trave e il suo spostamento massimo infatti, è maggiore di 250 (verifica ⇔ l/v_max  ≥ 250) :

l / v_{max, acciaio} = 1314,59  >250 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L'esercitazione richiede il dimensionamento di una trave secondo i tre piu comuni materiali da costruzione:legno,acciaio e cemento armato. Per questo, come prima cosa prendo in considerazione la pianta di carpenteria di un generico edificio e ne individuo la trave maggiormente sollecitata tenendo conto della sua luce, area di influenza e dell'interasse.

Per ricavare il carico totale a metro lineare agente sulla trave (q_u) partiamo da una formula che utilizza 3 fattori - carico strutturale qs (peso degli elementi portanti); carico permanente q_p (elementi che gravano sulla struttura portante per il suo intero periodo di vita e che non svolgono un ruolo strutturale) carico accidentale q_a (carichi di esercizio e carichi variabili nel tempo) - sommati fra loro tenendo conto di due precisazioni:

1)

 coefficienti moltiplicativi dei singoli carichi, secondo la seguente formula:

q_tot [kN/m²]  = Y_G1q_s + YG2q_p  + Y_Q1q_a

 

COEFFICIENTI MOLTIPLICATIVI IN FUNZIONE DELLO STATO LIMITE ULTIMO CONSIDERATO (Nel caso dell'esercitazione si considera  lo s.l.ultimo relativo alla verifica della resistenza della struttura)

CARICHI ACCIDENTALI PER CATEGORIA DI EDIFICI (si prende in considerazione il valore dei carichi accidentali per edifici ad uso residenziale)

2)

Il fatto che la formula precedente è relativa al carico previsto dalla normativa per un metro quadro (q_{solaio[kN/m²]} ) di solaio, mentre quello che si vuole ricercare è il carico totale agente sulla trave (lineare, espresso in kN/m). Quindi, conoscendo l'area di influenza (A_{rea di influenza} = i x l) utilizziamo la seguente formula:

                                                q_totale  =  q_{solaio[kN/m²]} x A_{rea di influenza}  =  q_{solaio[kN/m²]} x  (i x l)

e otteniamo il carico totale agente sulla trave:

                                                                  q_trave[kN/m]  =  q_totale / l  = q_{solaio[kN/m²]} x  i 

 

A questo punto, conoscendo q_u =  q_trave[kN/m], si può calcolare il Momento massimo agente sulla trave. Nel caso di questa esercitazione il vincolo che il pilastro esercita sulle travi è ritenuto di appoggio semplice, dunque M_(max) si trova nella mezzeria della trave e vale: 

                                                                        M_(max) = q_ul / 8

 

I dati sopra ricavati sono necessari ai fini del dimensionamento della trave secondo i tre materiali che vengono presi inconsiderazione in questa esercitazione: acciaio, legno e cemento armato.

  

TRAVE IN LEGNO

Prendo in analisi un metro quadro (m²) di un solaio in legno rappresentato in sezione, e definisco i diversi tipi di carico agenti sulla struttura individuandone i pesi specifici:

 

SEZIONE SOLAIO IN LEGNO                                                                           

 

 

q_s = 0.42 kN/m2                      CARICO STRUTTURALE 

q_p = 2.83 kN/m2                      CARICO PERMAMENTE        

q_a = 2     kN/m²                       CARICO ACCIDENTALE             

                           

A questo punto inserisco i valori nella tabella Excel relativa al dimensionamento di una trave e ottengo il valore di q_u =  q_trave[kN/m] e M_max.

Per dimensionare la trave scelgo un legno lamellare incollato omogeneo (GL28h) che ha una resistenza caratteristica pari a f_mk = 28  ed un coefficiente di sicurezza pari a Y_m = 1.45 come riportato in tabella.

Tengo anche conto del k_mod, il  coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale, che tiene in conto l’effetto della durata del carico e delle condizioni di umidità in cui la struttura si troverà ad operare ed è fornito dalla normativa.Per definirne il valore, è necessario conoscere la durata del carico e la classe di servizio. 

Considerando una durata del carico permanente (>10 anni) ed una classe di servizio 2 si ha un  k_mod =0.6

Inserisco i dati ricavati nella tabella excel ed il programma mi fornisce il valore della tensione di progetto f_d secondo la seguente formula:

                                                       f_d = k_mod f_m,k / y_m

 

A questo punto, ipotizzando una base b = 30cm, il foglio di calcolo, secondo la formula h_min =(M_max/b)^½ ( 6/f_d )^½ ci fornisce l'altezza minima della nostra trave. Operando un ingegnerizzazione, scelgo un'altezza per la trave di 50 cm.

 

TRAVE IN ACCIAIO

Per quanto riguarda l'acciaio, il procedimento è analogo a quello del legno fino al calcolo del Moment massimo.

SEZIONE SOLAIO IN ACCIAIO

CARICO STRUTTURALE                             q_s = 1.869 kN/m²

CARICO PERMANENTE                               q_p = 2.502 kN/m²

CARICO ACCIDENTALE                               qa = 2 kN/m²

A questo punto inserisco i valori nella tabella Excel relativa al dimensionamento di una trave e ottengo il valore di q_u =  q_trave[kN/m] e M_max.

Scelgo un acciaio medio - classe Fe430 / s275 - con resistenza caratteristica di snervamento f_y,k = 275 MPa

Inserendo il valore di f_y,k nel file Excel, il programma mi fornisce automaticamente il valore di  f_yd( tensione di progetto)  dividendo fyk  il coefficiente parziale di sicurezza per la resistenza delle membrature e la stabilità,  γs = 1,05 :

                                                                       f_yd = f_y,k / Y_s= 261.90 N/mm²

e  W_x,min (modulo di resistenza della sezione minimo)  attraverso la formula  

                                                                     W_x,min = M_max/ f_y,d = 547.83 cm³

ricavata direttamente dalla formula di Navier per la flessione [σ_max=(M_max/I_x) y_max = M_max/W ].

Fatto questo, posso scegliere il profilato IPE a partire dalla conoscenza del suo modulo di resistenza minimo W_min,ossia il minimo valore che la sezione deve avere affinchè il materiali non superi la tensione massima di progetto.

Ingegnerizzo il risultato e scelgo una trave IPE300 con Wx = 557 cm³.

 

TRAVE IN CEMENTO ARMATO

Prendo in esame la seguente sezione di solaio in latero-cemento e ne analizzo i carichi agenti su di un metro quadro:

SEZIONE SOLAIO IN CEMENTO ARMATO

CARICO STRUTTURALE                             q_s =  2.25 kN/m²

CARICO PERMANENTE                               q_p = 2.829 kN/m²

CARICO ACCIDENTALE                               qa = 2 kN/m²

A questo punto inserisco i valori nella tabella Excel relativa al dimensionamento di una trave e ottengo il valore di q_u =  q_trave[kN/m] e M_max.

 

Per dimensionare la trave in cemento armato, la prima cosa da fare è scegliere la resistenza caratteristica rispettivamente dell'acciaio (f_yk) e del calcestruzzo (f_ck):

Utilizzo un acciaio B450 A  (f_yk= 450MPa) ed un calcestruzzo ordinario C 32/40  (f_ck = 32 MPa ) 

  ACCIAIO

CALCESTRUZZO

Tramite le resistenze caratteristiche, il foglio Excel mi calcola la tensione di progetto del calcestruzzo compresso (fc_d) e quella dell'acciaio (f_yd) tramite la formula:

                                                                          f_yd = f_yk / y_s

- con y_s coefficiente parziale di sicurezza relativo all'acciaio  di valore pari a 1,15 per gli acciai da armatura - e la formula:

                                                                       f_cd =  (f_ck / y_c) a_cc

con a_cc coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata pari a 0,85, e y_c coefficiente parziale di sicurezza relativo al calcestruzzo pari a 1,5.

Posta b = 30 cm , e tramite i valori delle tensioni di progetto cosi ottenuti, si può determinare h_u (altezza utile della sezione) e da essa H_min(altezza minima della sezione)  che tiene conto anche di d, ossia la distanza tra il baricentro dell'armatura ed il filo del calcestruzzo teso, tramite la seguente formula:

                                                                        H_min = h_u + d

con h_u = r (M_max / b )^½                                         r = ( 2 / [f_cd(1-β/3)* β] )^½                              β= f_cd/ (f_cd+f_yd/n)      

L'altezza minima ottenuta (H_min) è uguale a 45,62 cm; ingegnerizzo la sezione e scelgo una trave in cemento armato con sezione 30 X 50 (H = 50 cm).

Il foglio Excel mi verifica in automatico la resistenza della trave scelta tenendo conto - insieme ai carichi - del suo peso proprio (moltiplicato per il fattore di sicurezza 1,3) a partire dalla conoscenza del peso specifico del cls armato pari a 25 kN/ m³.