blog di rod.salsedo

Iniziamo col definire il modello della struttura reticolare spaziale in SAP2000:

1. Apriamo il software e andiamo su File → New model
2. Impostiamo le unità di misura del modello e scegliamo il template più comodo che in questo caso risulta essere la griglia spaziale triortogonale
3. Della griglia andremo a definire il numero di linee rette nelle direzioni triortogonali x, y, z e la loro spaziatura nei piani triortogonali xy, yz, zx. Con la griglia definita andremo a realizzare il modello di una struttura reticolare spaziale avente tante aste quanto i segmenti definiti dalle linee di griglia più un numero di aste necessarie a 'triangolare' tutta la struttura (al fine di sfruttare la rigidezza del telaio triangolare)
4. Andiamo quindi a disegnare come ci è più comodo non tutte ma un certo numero di aste che poi andremo a copiare e incollare in una delle due direzioni di base
5.  Poi, sempre copiando e incollando nell'altra direzione di base andremo a definire tutte le aste componenti la struttura
6.  Verifichiamo di non aver erroneamente sovrapposto più aste attraverso il comando Edit → Show Duplicates 
7.  Un altro accorgimento è quello di fondere i nodi entro una certa distanza di tolleranza (cioè nel caso in cui non tutte le aste che dovrebbero convergere in un nodo convergono in quel nodo ma convergono in un altro nodo ad una distanza molto piccola dal primo, distanza sicuramente inferiore alla tolleranza che andremo ad impostare). Selezioniamo dunque tutta la struttura e andiamo su Edit → Edit Points → Merge Joints ed impostiamo la Merge Tolerance
8. Imponiamo i vincoli: scegliamo i nodi attraverso i quali la struttura sarà vincolata (io ne ho scelti 3 disallineati, ossia il numero minimo affinche non ci sia labilità), li selezioniamo e andiamo a definirne i gradi di vincolo attraverso il comando Assign → Joint → Restraints... e andando a vietare la traslazione nelle tre direzioni 
9.  Trattandosi del modello di una struttura reticolare, cioè una struttura in cui è presente solo sforzo normale, dobbiamo imporre che tutti i suoi nodi siano delle cerniere. Selezioniamo nuovamente tutte le aste e andiamo su Assign → Frame → Releases/Partial fixity... e rilasciamo momento22 e momento33 all'inizio e alla fine delle aste Nel modello le aste appariranno come se distanziate dai nodi
10. Definiamo le caratteristiche materiche e geometriche delle nostre aste. Selezioniamo tutte le aste del modello e andiamo su Assign → Frame → Frame Sections... e poi su Add New Property......e andiamo a definire materiale, profilo e caratteristiche del profilo (in questo caso ho scelto un tubo circolare di diametro esterno 200mm e di spessore 10mm)
11. Definiamo i carichi agenti sulla struttura da Define → Load Patterns... aggiungiamo un nuovo modello di carico (Add New Load Pattern) lo nominiamo ed impostiamo il peso proprio pari a zero (colonna Self Weight Multiplier)
12. Assegnamo i carichi ai nodi che desideriamo (esclusivamente ai nodi dal momento che parliamo di una struttura reticolare) semplicemente selezionandoli e andando su Assign → Joint Loads → Forces... selezioniamo il tipo di carico da noi poc'anzi definito e definiamo il valore della forza (in questo caso una forza di -10kN lungo l'asse z avendo immaginato la struttura come una copertura)

Siamo finalmente pronti per lanciare l'analisi semplicemente cliccando sul simbolo play (►) e scegliendo di far partire il calcolo esclusivamente per il tipo di carico da noi creato (nel caso specifico Forza Es.2) e cliccando finalmente su Run Now

Terminata l'analisi, tra le varie proprietà che possiamo mettere in evidenza c'è la graficizzazione degli sforzi normali; clicchiamo sul pulsante Show Forces/Stresses quindi su Frames/Cables/Tendons... selezioniamo Axial Force. Possiamo inoltre impostare un fattore di scala o decidere se i diagrammi debbano essere campiti pieni o debbano mostrare anche il valore in cifre

E questo è il grafico ottenuto; in blu è indicato lo sforzo di trazione (N+) ed in rosso lo sforzo di compressione (N-)

Per avere una lettura organica e chiara a questo punto è comodo costruirsi ed esportare una tabella nel quale viene indicato per ogni asta il valore dello sforzo normale (che è costante lungo tutta una qualsiasi asta della struttura). Andiamo su Display → Show Tables... e spuntiamo la casella ANALYSIS RESULTS e diamo quindi l'ok

A questo punto dal menu a tendina selezioniamo Element Forces - Frames

Giocando con le seguenti opzioni ho creato la mia tabella:

• Format: ho deciso quali colonne stampare  e quali no. Ho scelto di stampare le colonne Frame ('Asta'; ciascuna asta è indicata da un numero), Station (punto dell'asta dove è calcolato lo sforzo normale rispetto alle coordinate locali dell'asta) e P (lo sforzo normale espresso in KN)
• Filter: dal momento che, come precedentemente detto, lo sforzo normale è costante lungo tutta l'asta per qualsiasi asta, ho scelto di filtrare la colonna Station solo per i valori = 0 (in questo modo ogni asta compare nella tabella una sola volta)
• Sort: ho deciso di ordinare la tabella per valori decrescenti dello sforzo normale

Siamo ora pronti per esportare la tabella in Excel cliccando dal menù della tabella su File → Export Current Table → To Excel 

Da Excel possiamo rapidamente mettere a confronto i valori massimi di trazione e compressione

Inoltre graficizzando tutti i valori di N appare chiaro che:

• solamente il 2.1% delle aste tese supera il valore di N=150KN
• solamente il 1.3% delle aste compresse supera il valore di N=|150|KN
• il 63.2% delle aste tese subisce una trazione > 50kN
• il 65.9% delle aste compresse subisce una compressione > |50|kN
• il 34.7% delle aste tese subisce una trazione 150kN > N > 50kN
• il 32.8% delle aste compresse subisce una compressione |150|kN > N > |50|kN

Ora possiamo passare al dimensionamento delle aste:

• Aste tese
  Poiché σ = N/A, A = N/σ dove σ equivale in fase di progetto a f_d.
  con:
  • N = rispettivamente Nmax (284.329kN); 150kN; 50kN

  • f_yk = tensione di snervamento caratteristica dell’acciaio scelto espressa in MPa

  • γ_m= coefficiente di sicurezza adimensionale

  • f_d = tensione di progetto il cui valore è dato da f_yk / γ_m

  • A_min = area minima ricavata dal rapporto tra la sollecitazione N e la tensione di progetto f_d

  • A_design = Area ingegnerizzata, cioè l'area del profilo scelto da profilario subito maggiore dell’area minima e quindi a favore di sicurezza.​

• Aste compresse
  Per dimensionare le aste compresse abbiamo bisogno di altri parametri, in quanto dobbiamo tener conto dell'instabilità euleriana. 
  Poiché il carico critico euleriano è:
  f_crit=(π²EA) / λ² 
  allora
  σ_crit=(π²E) / λ²
  e quindi 
  λ_max=π(E/σ_crit)^1/2
  e poiché 
  λ=l₀/rho dove 
  l₀=beta(l)=luce libera d'inflessione con beta=1 per un'asta incernierata alle due estremità
  allora 
  rho_min=l₀/λ_max 
  e poiché 
  rho_min=(I_min/A)^1/2
  allora 
  I_min=A(rho_min)²
  - nella tabella ho assunto σ_crit=f_yd non fidandomi della fase duttile dell'acciaio
  - per l ho preso il valore della luce delle aste più lunghe, cioè quelle diagonali, pari a 2,83m (quelle parallele agli assi del sistema di riferimento hanno invece l=2m)

  Determinati per ciascun carico (determinato come sopra spiegato attraverso la distribuzione delle intensità di sforzo normale) i valori di λ_min, rho_min e I_min, ho trovato nel profilario il profilo che soddisfaceva i tre parametri e li ho inseriti nelle ultime tre colonne rosse verificando che il valore λ risultante dall'ultima colonna fosse <200 (valore massimo della snellezza da normativa per le membrature principali)

In questa esercitazione dimensioneremo una trave soggetta a momento flettente mediante l'ausilio di un foglio di calcolo; fissata la base della trave come uno degli imput della tabella avremo quindi come output l'altezza minima della trave relativamente agli imput scelti. 

Il metodo verrà illustrato separatamente per travi in tre materiali diversi, rispettivamente legno, acciaio e calcestruzzo armato.

Scelto il solaio in figura, andremo a dimensionare la trave più sollecitata, ovvero quella con l'area d'influenza più grande.

TRAVE in LEGNO (sezione rettangolare)

Per prima cosa definiamo il pacchetto del solaio sostenuto dalla trave in questione ed effettuiamone l'analisi dei carichi.

Moltiplichiamo il peso specifico (KN/m³) di ciascun materiale per il volume (m³) che esso occupa in un metro quadrato (m²) di stratigrafia; ciò che otteniamo è il carico distribuito (KN/m²)

 I primi due elementi sono i carichi permanenti non strutturali (q_p) ai quali aggiungiamo 1 KN/m² per i tramezzi e 0,5 KN/m² per gli impianti (quantità forfettarie da normativa).

q_p = 0,40 + 0,54 + 1 + 0,5 = 2,44 KN/m²

Gli altri tre elementi sono invece i carichi strutturali (q_s)

q_s = 0,84 + 0,12 + 0,11 = 1,07 KN/m²

il terzo tipo di carichi da tenere in considerazione e quello dei carichi accidentali (q_a) relativo alla destinazione d'uso degli ambienti (scegliamo 2 KN/m², valore normato relativo alla destinazione residenziale)

q_a = 2,00 KN/m²

Inseriamo i valori di q_s, q_p e q_a nel foglio di calcolo insieme ai valori precedentemente scelti di interasse (definito dal telaio inizialmente scelto), luce (lunghezza della trave), resistenza a flessione caratteristica (fm,k), coefficiente riduttivo K_mod (riduce i valori di resistenza del materiale tenendo conto sia dell'umidità che della durata del carico gravante sulla struttura)_, il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale (gamma_m) e la base della trave. 

Descriviamo in breve attraverso quali passaggi il foglio di calcolo giunge al valore di h:

1. determinazione di q (KN/m), dato da (q_s x 1,3 + q_p x 1,3 + q_a x 1,5) x interasse, dove 1,3; 1,3 e 1,5 sono fattori di amplificazione dei carichi
2. determinazione del momento flettente M (KNm) che per una trave appoggiata con carico uniformemente distribuito sappiamo essere pari a ql²/8
3. determinazione della tensione di progetto f_d (N/mm²) data dal prodotto tra la resistenza a flessione caratteristica (fm,k) ridotta dal coefficiente di sicurezza gamma (qui è stato usato quello relativo al legno massiccio, pari a 1,50) e il coefficiente riduttivo K_mod (che, come detto sopra, tiene conto della durata del carico e della classe di servizio del progetto, che a sua volta fissa i valori massimi di umidità del legno a determinate condizioni di temperatura e umidità relativa)
4. determinazione del valore minimo di h (h_min), attraverso la formula di Navier (sig_max = (M/I_x)y_max) ponendo f_d = sig_max e sapendo che y_max è pari ad h/2 e che I_x è pari a bh³/12 per una sezione rettanolare.

Il valore così ottenuto è stato infine ingegnerizzato, ossia va scelto un valore dell’altezza superiore al valore minimo e compatibile con i profili esistenti sul mercato (nel caso del legno è stato approssimato il valore ottenuto al multiplo di 5cm [con 0cm=0] immediatamente più grande di h_min)

Trave in ACCIAIO (IPE)

Per prima cosa definiamo il pacchetto del solaio sostenuto dalla trave in questione ed effettuiamone l'analisi dei carichi.

Moltiplichiamo il peso specifico (KN/m³) di ciascun materiale per il volume (m³) che esso occupa in un metro quadrato (m²) di stratigrafia; ciò che otteniamo è il carico distribuito (KN/m²)

I primi tre elementi sono i carichi permanenti non strutturali (q_p) ai quali aggiungiamo 1 KN/m² per i tramezzi e 0,5 KN/m² per gli impianti (quantità forfettarie da normativa).

q_p = 0,32 + 0,72 + 0,23 + 1 + 0,5 = 2,77 KN/m²

Gli altri due elementi sono invece i carichi strutturali (q_s)

q_s = 1,66 + 0,45 = 2,11 KN/m²

il terzo tipo di carichi da tenere in considerazione e quello dei carichi accidentali (q_a) relativo alla destinazione d'uso degli ambienti (scegliamo 2 KN/m², valore normato relativo alla destinazione residenziale)

q_a = 2,00 KN/m²

Inseriamo i valori di q_s, q_p e q_a nel foglio di calcolo insieme ai valori precedentemente scelti di interasse (definito dal telaio inizialmente scelto), luce (lunghezza della trave) e tensione caratteristica di snervamento (f_y,k, individua la resistenza del materiale)

Descriviamo in breve attraverso quali passaggi il foglio di calcolo giunge al valore di h:

1. determinazione di q (KN/m), dato da (q_s x 1,3 + q_p x 1,3 + q_a x 1,5) x interasse, dove 1,3; 1,3 e 1,5 sono fattori di amplificazione dei carichi
2. determinazione del momento flettente M (KNm) che per una trave appoggiata con carico uniformemente distribuito sappiamo essere pari a ql²/8
3. determinazione della tensione di progetto f_d (N/mm²) data dalla tensione caratteristica di snervamento f_y,k ridotta dal coefficiente di sicurezza gamma_s (in questo caso pari a 1,05)
4. determinazione del valore minimo del modulo di resistenza a flessione W_x (W_xmin), attraverso la formula di Navier (sig_max = (M/W_xmin) 
   → W_{xmin =} M/sig_max) ponendo f_d = sig_max.

Il valore così ottenuto (642,19cm³) è stato infine ingegnerizzato, ossia va scelto un profilo esistente sul mercato con valore di W_x immediatamente più grande di W_xmin (nel caso specifico è stata scelta una IPE330 con W_x = 713,0cm³)

Trave in CLS ARMATO (sezione rettangolare)

Per prima cosa definiamo il pacchetto del solaio sostenuto dalla trave in questione ed effettuiamone l'analisi dei carichi.

Moltiplichiamo il peso specifico (KN/m³) di ciascun materiale per il volume (m³) che esso occupa in un metro quadrato (m²) di stratigrafia; ciò che otteniamo è il carico distribuito (KN/m²)

I primi quattro elementi sono i carichi permanenti non strutturali (q_p) ai quali aggiungiamo 1 KN/m² per i tramezzi e 0,5 KN/m² per gli impianti (quantità forfettarie da normativa).

q_p = 0,40 + 0,72 + 0,09 + 0,002 + 1 + 0,5 = 2,71 KN/m²

Gli altri tre elementi sono invece i carichi strutturali (q_s)

q_s = 1,25 + 0,80 + 0,70 = 2,75 KN/m²

il terzo tipo di carichi da tenere in considerazione e quello dei carichi accidentali (q_a) relativo alla destinazione d'uso degli ambienti (scegliamo 2 KN/m², valore normato relativo alla destinazione residenziale)

q_a = 2,00 KN/m²

Inseriamo i valori di q_s, q_p e q_a nel foglio di calcolo insieme ai valori precedentemente scelti di interasse (definito dal telaio inizialmente scelto), luce (lunghezza della trave), resistenza caratteristica del calcestruzzo (f_ck) e dell'acciaio (f_yk), base della trave e delta (distanza tra il baricentro dell'armatura e il filo del calcestruzzo teso)

Descriviamo in breve attraverso quali passaggi il foglio di calcolo giunge al valore di h:

1. determinazione di q (KN/m), dato da (q_s x 1,3 + q_p x 1,3 + q_a x 1,5) x interasse, dove 1,3; 1,3 e 1,5 sono fattori di amplificazione dei carichi
2. determinazione del momento flettente M (KNm) che per una trave appoggiata con carico uniformemente distribuito sappiamo essere pari a ql²/8
3. determinazione della tensione di progetto dell'acciaio f_yd (N/mm²) data dalla tensione caratteristica di snervamento f_y,k ridotta dal coefficiente di sicurezza gamma_s (di valore pari a 1,15 per gli acciai da armatura)
4. determinazione della tensione di progetto del calcestruzzo f_cd (N/mm²) data dalla tensione caratteristica f_ck ridotta dal coefficiente parziale di sicurezza gamma_c (uguale a 1,5) e da un ulteriore coefficiente alfa_cc (coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata, pari a 0,85)
5. Determinazione di H_min = H_u + delta dove:
   H_min = altezza minima della trave
   H_u = altezza utile della trave, dal filo compresso del calcestruzzo al baricentro dell'armatura tesa 
   attraverso la formula inversa del momento flettente esterno dato dalla coppia interna T=-C per il loro braccio Txb*=Cxb* dove:
   T = A_f x f_yd
   A_f = area delle armature tese
   b*= H_u - X_c/3 (altezza della risultante delle forze determinanti compressione)
   C = (f_cd x b x X_c/2)
   X_c = altezza della sezione compressa. Per il metodo dei triangoli simili definisco:
                                            X_c = {H_u x [f_cd/(f_cd+(f_yd/n))]}

   dove definisco: (f_cd/(f_cd+(f_yd/n))) = beta dove:
   n=15 (valore normato; rappresenta il coefficiente di omogeneizzazione dato dal diverso      comportamento elastico dell'acciaio e del calcestruzzo ed è definito da E_s/E_c=10, da    normativa ampliato del 50%)
   Dunque:
                                                          M=Cxb*
   M=(f_cd x b x X_c/2) x (H_u - X_c/3) 
   M=[f_cd x b x (H_u x beta)/2] x [H_u - (H_u x beta)/3]
   M=[f_cd x b x (H_u x beta)/2] x (1 - beta/3)H_u
   M=(f_cd x b x beta/2) x (1 - beta/3)H_u²
                                  H_u = (M/b)^1/2 x {2/[f_cd(1-beta/3)beta]^1/2}

   ^{dove definisco:} {2/[f_cd(1-beta/3)beta]^1/2} = r 

   quindi:                                           H_u = (M/b)^1/2 x r
    

Trovata finalmente l'altezza minima (H_min = H_u + delta) della trave, riverifico la sua sezione comprendendo tra i carichi strutturali anche il carico lineare della trave stessa moltiplicato anch'esso per il relativo fattore di amplificazione dei carichi - 1,3 (carico determinato nelle ultime due colonne della prima riga della tabella moltiplicando l'area della sezione per la massa volumica del calcestruzzo).

Nella seconda riga della tabella si svolgono automaticamente gli stessi calcoli della prima, ma con il carico lineare maggiorato. Se la nuova H_min risulterà minore dell'H ingegnerizzata scelta (approssimando il valore ottenuto al multiplo di 5cm [con 0cm=0] immediatamente più grande di h_min), allora il calcolo della sezione della trave sarà verificato!