Progettazione di una trave a flessione

In questo Post affrontiamo il tema della progettazione a flessione di una trave nei diversi materiali più comuni dell’edilizia, ossia legno, acciaio e calcestruzzo armato. Per procedere alla progettazione della trave, e quindi al suo dimensionamento, ci avvaliamo di un foglio di calcolo realizzato ad hoc.

 

 

Prendiamo ad esempio una pianta di carpenteria tipo di un edificio.

 

Questa mostra un sistema a telaio, costituito quindi da travi e pilastri individuati da un griglia che scandisce gli interassi; inoltre è evidenziata l’orditura dei solai, informazione fondamentale per comprendere quali sono le travi che prendo i carichi, definite come principali, a differenza di quelle secondarie che sono di collegamento alle principali.

 

Prendiamo come esempio per la progettazione di una trave quella che risulta essere più sollecitata, ossia quella che ha più superficie di solaio da portare e per capire ciò utilizziamo il metodo delle aree di influenza: dividiamo a metà ogni interasse e quindi ogni trave prende la superficie tra l’intervallo degli interassi stessi.

 

A questo punto consideriamo questa trave e porgettiamo la sua sezione nelle tecnologie menzionate inizialmente, ossia legno, acciaio e calcestruzzo armato.

Il primo passo, per ogni tecnologia, sarà quello di calcolare i carichi agenti sulla trave arrivando quidni a definire i valori di densità di carico superficiale di ogni elemento di cui è composto il solaio.

L’analisi dei carichi prevede di calcolare quanti KN agiscono per ogni metro quadro, quindi il valore che vado a calcolarmi avrà un’unità dimensionale pari a [KN/mq].

Il calcolo viene effettuato per ogni elemento che compone la stratigrafia prendendo il peso specifico del materiale moltiplicandolo per il volume dell’elemento su un mq di solaio.

 

[KN/mc] x [mc/mq] = [KN/mq]

 

ad esempio se consideriamo uno strato di massetto di spessore 4 cm con peso pari  a 1900 Kg/mc avremo che:

 

Peso specifico            1900 Kg/mc = 19 KN/mc

Volume per unità di superficie        (0.04m x 1m x 1m)/mq = 0.04 mc/mq

 

Carico Massetto            19 KN/mc x 0.04 mc/mq = 0.76 KN/mq

 

LEGNO

 

Essendo la sezione di una trave in legno di tipo rettangolare, andremo ad applicare la formula per ricavare l’altezza minima di tale sezione

 

                    h_min = √6M_x/(b*fd)

 

dove M_x è il momento massimo agente sulla trave e lo ricaviamo dall’analisi dei carichi, b è la base della sezione che andiamo ad imporre, f_d e la tensione del materiale che deriva dalla scelta della classe del materiale.

Ipotizziamo un pacchetto di solaio interpiano realizzato con la tecnologia del legno.

 

 

Analisi dei carichi

 

Carichi Strutturali q_s

Morale in abete            2 x [7 x (0.05 x 0.05x1)] = 0.035 [KN/mq]

Tavolato in legno di abete        5 x [7 x (0.02 x 1 x 1)] = 0.7 [KN/mq]

 

                q_s = 0.74 [KN/mq]

 

Carichi Permanenti q_p

Perlite                    0.5 x (0.08 x 1 x 1) = 0.04 [KN/mq]

Isolante termico-acustico        0.4 x (0.04 x 1 x 1) = 0.016 [KN/mq]

Lastra di fibrogesso            0.32 x (0.018 x 1 x 1) = 0.058 [KN/mq]

Sistema radiante con fibrogesso    1.4 x (0.025 x 1 x 1) = 0.035 [KN/mq]

Parquet                 7.2 x (0.02 x 1 x 1) = 0.144 [KN/mq]

 

A questi carichi aggiungiamo 1 [KN/mq] che prende in considerazione i tramezzi e 0.5 [KN/mq] che prende in considerazione gli impianti, di conseguenza

 

q_p = 1.80 [KN/mq]

 

Carichi Accidentali q_a

Il valore dei carichi accidentali vengono presi da normativa in funzione della categoria dell’edificio, in questo caso il valore di riferimento relativo le residenze è pari a 2 [KN/mq]

 

                q_a = 2.00 [KN/mq]

 

Possiamo quindi cominciare la compilazione del foglio di calcolo con i dati finora a disposizione come l’interasse della superficie del solaio presa in esame, la luce della trave da progettare, e i carichi agenti su di essa.

 

I campi con riempimento di colore sono quelli in cui noi inseriamo i dati di progetto mentre quelle non campiti sono valori da formule che chiamano in causa quelli da noi impostati.

Vediamo subito il carico ultimo q_u che corrisponde al carico distribuito sulla trave infatti moltiplica la somma dei carichi derivanti dall’analisi precedente, moltiplicati ognuno per un coefficente amplificativo a favore di sicurezza, per l’interasse del solaio che porta la trave.

 

 

I coefficienti che moltiplicano i carichi sono dati da normativa e sono:

 

1.3 x q_s carichi strutturali

1.5 x q_p carichi permanenti

1.5 x q_a carichi accidentali

 

Per quanto riguarda momento massimo è bene precisare stiamo considerando la trave come doppiamente appoggiata e di consegunza il  momento massimo e parametrizzato come ql²/8.

 

Manca la tensione di progetto f_d, che da normitava è data da

 

                f_d = k_mod (f_m,k / γ_m)

 

dove:

kmod è un valore tabellato che tiene conto dei deterioramenti nel tempo del legno e varia in funzione della classe di servizio e della durata nel tempo del carico. Nel nostro caso assumiamo il valore di 0.8;

f_m,k è il valore caratteristico a flessione del legno e che per la classe del materiale scelto è pari a 24 N/mm2;

γ_m è anch’esso un valore tabellato che nel caso del legno massiccio è pari a 1.5.

 

 

A questo punto basterà imporre la dimensione della base ed otterremo l’altezza utile che sarà di riferimento per l’altezza della sezione che approssimiamo al valore intero immediatamente successivo divisibile per per 5.

Quando imponiamo la base dobbiamo fare in modo che questa sia minore dell’altezza in modo da sfruttare il momento di inerzia della sezione.

 

 

Nel nostro caso, quindi, imponendo la base pari a 40 cm l’altezza minima che otteniamo è di 62.48 cm che approssimiamo a 65 cm.

 

 

ACCIAIO

 

Nonostante il comportamento dell’acciaio si di tipo duttile al contrario del legno che ha un comportamento di tipo fragile, la progettazione a flessione della trave risulta alquanto analoga.

 

 

 

Analisi dei carichi

 

Carichi Strutturali q_s

Soletta con lamiera grecata            1.98 [KN/mq]

 

Carichi Permanenti q_p

Gres porcellanato            0.02 KN/mq

Massetto in malta            19 x (0.04 x 1 x 1) = 0.76 KN/mq

Controsoffitto in cartongesso        0.17 KN/mq

 

Anche in questo caso aggiungiamo 1 KN/mq per i tramezzi e 0.5 KN/mq per gli impianti.

 

                    q_p = 2.45 KN/mq

Carichi Accidentali q_a

In questo caso consideriamo la destinazione d’uso dell’edificio come uffici aperti al pubblico il cui valore di riferimento del carico dato dalla normativa è pari a 3 KN/mq

 

                    q_a = 3 KN/mq

 

Inserendo i dati nel fogli di calcolo otteniamo quindi il carico ultimo agente qu e il momento massimo analogamente all’esempio precedente.

 

 

A questo punto imponiamo il valore caratteristico dell’acciaio scelto, in questo caso  S 355, il quale viene diviso per un coefficiente di sicurezza pari ad 1.05, ed otteniamo il modulo di resistenza minimo dato dal rapporto tra il momento massimo e la tensione di progetto.

 

 

Inoltre nel foglio di calcolo il modulo di resistenza viene moltiplicato per mille, ottenendo un valore espresso in cm3, come è espresso nel sagomario delle IPE. Il profilo IPE con un valore immediatamente successivo al minimo da progetto è IPE 500 con un modulo di resistenza pari a 1930 cm3.