Rigidezza Torsionale

Nell’analisi meccanica di una struttura travi-pilastri, il più delle volte, o almeno per me,  si pone particolare attenzione alle sollecitazioni dovute a momento, taglio e sforzo normale. Nell’esercizio seguente si vuole capire, invece, in quale misura la torsione influisce nel comportamento di sistema della struttura stessa.

SCHEMA DI CALCOLO                                                                                             DEFORMATA

Lo sbalzo soggetto al carico distribuito è stato sostituito con il corrispondente valore del momento flettente applicato nel nodo, il quale ruota provocando nell’asta 3 una torsione. Le aste 1 e 2 hanno lo stesso comportamento che è riconducibile allo schema notevole già esaminato nei blog in precedenza.

Il problema presenta un’incognita (rotazione “ϕ” del nodo) che sarà trovata scrivendo l’equilibrio contro la rotazione del nodo:

ql²/2 = ϕ ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJT/l3)

L’esercizio sarà svolto utilizzando il programma SAP2000 dal quale otterremo i valori delle caratteristiche di sollecitazione delle aste considerando, in un primo momento, che queste siano di calcestruzzo ed abbiano una sezione circolare. Successivamente si cambierà di volta in volta sezione e materiale all’asta 3.

L’obiettivo è quello di capire se e quanto, al variare della rigidezza torsionale dell’asta 3, i valori delle sollecitazioni nelle aste 1 e 2 cambiano.

Si ricorda che per una generica sezione il momento torsionale vale:

MT = (G*JT/l) ϑ(l) dove:

G = modulo di elasticità tangenziale (dipende dal materiale)

                         Calcestruzzo:      Gcls = 10⁷KN/m²

                         Acciaio:               Gsteel = 8*10⁷KN/m²

JT = momento di inerzia polare (dipende dalla sezione)

ϑ(l) = angolo unitario di rotazione

(G*JT/l) rappresenta la RIGIDEZZA TORSIONALE delle generica asta di lunghezza "l".

Di seguito vengono esaminate le diverse sezioni. Per ognuna sarà riportato il valore del momento e del taglio massimo nelle aste 1 e 2.

1

      MATERIALE: calcestruzzo

      SEZIONE: circolare piena   →   Jt = Ip = πR⁴/2 = π (0,36)⁴/2 = 0,026 m⁴

Deformata                                  Taglio=3,36 Kn                       Momento = -6,78 Kn m

2

MATERIALE: calcestruzzo

SEZIONE: rettangolare   →   Jt = c2 ab³ = (0,281) 0,67 * (0.15)³ = 6,3 e-4 m⁴

Il valore di c2 è tabellato e viene definito dal rapporto di forma della sezione e cioè altezza/base.In questo caso a/b = 0.67/0.15 = 4,444 →c2 = 0,281

Deformata                                Taglio= 3,56Kn                          Momento = -7,19 Kn m

3

MATERIALE: acciaio

SEZIONE: rettangolare   →   Jt = c2 ab³ = (0,281) 0,67 * (0.15)³ = 0,026 m⁴

In questo caso a/b = 0.67/0.15 = 4,444 →c2 = 0,281

Deformata                                  Taglio= 2,81Kn                        Momento= -5,69 Knm

4

      MATERIALE: acciaio

      SEZIONE: quadrata cava   →   Jt = 4 Ω² t / lm = 4 * (0,038 m²)²  (0,01) / (0,78 m) = 7,4 e-5 m⁴

Deformata                                 Taglio= 3,58 Kn                            Momento = -7,25 Kn m

5

      MATERIALE: acciaio

      SEZIONE: doppio T   →   Jt = ΣJTi = 2,13 e-7 + 5,55 e-8 + 2,13 e-7 = 4,81 e-7 m⁴

Deformata                                 Taglio= 3,71 Kn                           Momento = -7,49 Kn m

6

      MATERIALE: calcestruzzo

      SEZIONE: quadrata piena   →   Jt = c2 ab³ = (0,14) 0,20 * (0,20)³ = 2,2 e-4 m⁴

      a/b = 0.20/0.20 = 1 →c2 = 0,14

Deformata                                 Taglio= 3,66 Kn                                Momento = -7,39 Kn m

7

      MATERIALE: acciao

      SEZIONE: quadrata piena   →   Jt = c2 ab³ = (0,14) 0,20 * (0,20)³ = 2,2 e-4 m⁴

      a/b = 0.20/0.20 = 1 →c2 = 0,14

Deformata                                  Taglio= 3,34Kn                       Momento = -6,75 Kn m

Nella tabella che segue viene stilata “una classifica” delle sezioni esaminate in base alla rigidezza torsionale.

Si può notare che:

Le sezioni in acciaio offrono una maggiore resistenza torsionale rispetto a quelle in calcestruzzo in quanto queste ultime hanno un modulo di elasticità tangenziale 8 volte superiore a quello in cls.

Le sezioni piene, grazie ad un maggiore valore di JT, offrono maggiore rigidezza torsionale rispetto alle sezioni cave.

Le sezioni chiuse resistono meglio a torsione rispetto alle sezioni aperte.