Esercitazione VII_Rigidezza torsionale

Inviato da dario.taffi il Sab, 01/06/2013 - 12:47

Esercizio I

In questa esercitazione cercheremo di risolvere una struttura tridimensionale, 12 volte iperstatica, composta da un nodo con tre aste incastrate all’estremità e una mensola con carico distribuito.
Al contrario di altre volte, in questo caso avremo a che fare con due componenti: flessione e torsione. 
Come primo passo, posso eliminare la mensola, sostituendola con il suo momento in corrispondenza del nodo. Al contrario, non terrò conto dello sforzo normale a cui è soggetto il pilastro, poichè lo considero sempre assialmente indeformabile.
                                      
Ora, il problema sta nel fatto che questo momento sottopone le aste ad una rotazione, la quale a sua volta provoca delle rigidezze flessionali nelle aste AB e AC, e una rigidezza torsionale nell'asta AD.
                                    

Ipotizzando (come nelle esercitazioni precedenti) che il nodo A in questione ceda anelasticamente a rotazione, posso risolvere l'iperstaticità della struttura tramite il metodo della linea elastica (e trovare così i valori dei momenti).

                                   
Quindi (aggiungendo il momento torsionale dell'asta AD):
                                     
L'equazione di equilibrio dei momenti è la seguente:
dalla quale ricavo la rotazione 
Dove RA è la somma di tutte le rigidezze.
 
Rispettivamente i momenti saranno: 

Ora, scelgo un profilo per le aste, in modo tale da calcolarmi i vari valori.
Dati:
l1= 2m
l2= 4m
l3= 4m
l4= 3m

Profilo acciaio: 

E=1,999*108 kN/m2
I= 5,554*10-5 m4
Gsteel= 80*106 kN/m2
 
It(ala)= 22,47 *10-8 m4
It(anima)= 5,66 *10-8 m4
It = 50,6 * 10-8 m4
 
 
 

 

Ora posso calcolare come si distribuisce il momento su ogni asta (in base alla rigidezza):

Verifico in SAP2000 questi risultati:
 
Deformata
 
Momenti:

I risultati corrispondono.

Cambiando la sezione dell'asta soggetta a torsione, il momento si ripartisce diversamente:

 
Verifico in SAP2000 questi risultati:
 
Deformata
 
Momenti:
 

I risultati corrispondono.

Un ultimo tentativo che possiamo fare è utilizzare un profilo in cls, per mettere a confronto i due materiali. Prendo quindi una sezione di questo tipo:
E=24,86*106 kN/m2
I= 3,76*10-3 m4
Gcls= 107 kN/m2
 
It = c2*a*b3     c2= a/b = 0,291
It= 6,58 *10-4 m4
 
 

Il risultato è praticamente identico all'esempio precedente in acciaio, solo con una sezione tre volte più alta.

Esercizio II

Con un procedimento analogo, posso risolvere un graticcio di travi, dove per graticcio si intende un intreccio di travi ortogonali fra loro, che collaborano per contrastare i pesi. In questo caso si tratta di una struttura costituita da una serie di elementi identici (assenza di una gerarchia), infatti un graticcio è distinguibile da una struttura classica per due aspetti: da una parte l’analisi del momento d’inerzia delle travi (questo è identico per ciascuna trave essendo, dall'altra l'importanza in questo caso della torsione.
 
Per capire meglio questi concetti, prendo in esame due aste perpendicolari tra loro a l/3, con una forza concentrata nel nodo. 
Come in altri casi, questo sistema (teoricamente) possiede 6 g.d.l., ma considerando le aste sempre indeformabili, posso trascurare gli spostamenti in direzione x e y e le rotazioni intorno gli assi z e x.

Quindi, mi rimangono solo 2 g.d.l. (δ e ϕy) che posso ricavarmi con le equazioni di equilibrio alla traslazione verticale e alla rotazione.

 

Attraverso la sovrapposizione degli effetti di δ e ϕy, trovo l’equilibrio alla traslazione e alla rotazione:

         

 

 
 
Equilibrio alla traslazione verticale:

             

 
Equilibrio alla trotazione:

             

Dall'equazione dei momenti ricavo δ in funzione di ϕy:

  dove  
 
Sostituendo δ/l nell'equazione dell'equilibrio alla traslazione, posso ricavare ϕy:
 
 
A questo punto posso decidere un materiale e una sezione (per comodità di calcoli utilizzo la stesso profilo IPE utilizzato nell'esercitazione precedente)

Profilo acciaio: 

 

            E=1,999*108 kN/m2
            J= 5,554*10-5 m4
            Gsteel= 80*106 kN/m2
            Jt = 50,6 * 10-8 m4
 
 
 
 
 
 
 
Sostituisco i valori sopra riportati e ottengo:
 

Infine ricavo il valore dei momenti agenti sulla struttura:

 
Verifico con SAP2000 i valori ottenuti:
 
Momento
Torsione
 
Ripeto le stesse operazioni utilizzando il profilo in cls dell'esercitazione precedente:
 
E=24,86*106 kN/m2 
J= 3,76*10-3 m4
Gcls= 107 kN/m2
Jt= 6,58 *10-4 m4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sostituisco i valori sopra riportati e ottengo:
 

Infine ricavo il valore dei momenti agenti sulla struttura:

 
Verifico con SAP2000 i valori ottenuti:
 
Momento
Torsione