Esercitazione 7: Rigidezza torsionale_le conseguenze di uno sbalzo_graticcio

Tutte le strutture mostrate e studiate fin ora, sono casi di strutture a due dimensioni e che come tali, tengono soprattutto conto delle tre sollecitazioni più evidenti a cui sono sottoposti travi e pilastri: sforzo normale, taglio, momento.
Le strutture non vivono però in uno spazio bidimensionale, ne sono semplici sistemi composti da trave appoggiata su due pilastri. Avendo quindi l’esigenza di cominciare ad affrontare strutture più aderenti alla realtà, dobbiamo trasferirci nello spazio tridimensionale e, per iniziare, analizzare una struttura semplice sviluppata sui tre assi x,y,z.
Poco tempo fa si è già affrontato in generale, il comportamento sistemico della struttura che compone un intero edificio. Ora facciamo uno zoom su questa struttura, per capire e studiare cosa succede a quelle parti di struttura immediatamente più vicine ad uno sbalzo.
Lo sbalzo è una questione che va affrontata su più fronti. Inizialmente va capito come esso influisce sull’equilibrio dell’intero edificio, di modo che non avvenga un ribaltamento; in seguito, una volta dimensionata la trave che va a sbalzo, si deve comprendere in che modo viene influenzato il dimensionamento delle parti di struttura su cui agisce il momento esercitato dalla trave a sbalzo.
Con questo pretesto, nel seguente esercizio, si prende finalmente in considerazione una sollecitazione che non è evidente in uno spazio bidimensionale, si sta parlando della torsione, vero tema di questo post.
La torsione è una sollecitazione causata da un momento attorno all’asse della trave. Vediamo nell’esempio come tale  sollecitazione può nascere.

Esercizio 1: torsione_sbalzo

Prima di iniziare l'analisi della struttura, posso semplificare il sistema, sostituendo la mensola con un momento in corrispondenza del nodo. Posso porre poi la condizione che, assumendo il pilastro indeformabile assialmente, non ci sia sforzo normale.

Il momento nato dalla presenza dello sbalzo, richiede alla struttura adiacente la capacità di contrastarlo e di non ribaltarsi. Quindi è richiesta alle aste una certa rigidezza per contrastare la rotazione a cui sono sottoposte. Le aste AB e AC sviluppano quindi una rigidezza flessionale, mentre l'asta AD sviluppa una rigidezza torsionale.

Per prima cosa trovo i valori dei momenti che nascono nelle due aste e che le portano a ruotare. Ciò è possibile mettendo come ipotesi che il nodo A ceda anaelasticamente a rotazione, questo mi permette di risolvere la struttura iperstatica tramite l'ormai consolidato metodo della linea elastica. Di seguito la formula per trovare il momento:

L'equazione di equilibrio dei momenti riulta la seguente (tra parentesi le rigidezze di ogni singola asta):
 

Mi ricavo la formula per trovare la rotazione, in cui Ra è la somma delle rigidezze e quindi la rigidezza complessiva della struttura:

Ora ho la formula per trovare i tre momenti che si oppongono all'azione ribaltante della mensola:
 
Scelto il valore del carico distribuito q=10KN, passo ora ad analizzare il comportamento della struttura a seconda del materiale e della sezione che scelgo per le travi, ponendo particolare attenzione al comportamento della trave AD soggetta a torsione.

Con l'aiuto di Sap2000 inizio l'analisi; per prima cosa scelgo un profilo a doppio T in acciaio e mi ricavo i valori necessari ai calcoli dei momenti:

E=1,999x10⁸ KN/m²
I= 5,554x10^-5 m⁴
G_s= 80x10⁶ KN/m²
I_t=Σ_i=1 I_ti I_ti=c_2ixa_ixb_i³  c₂=a/b=0,333
I_t(ala)=22,47x10^-8 m⁴
I_t(anima)=5,66x10^-8 m⁴
I_t=50,6x10^-8 m⁴   

Trovati i valori di ql² e di R_a posso calcolare il valore della rotazione:

ϕ_a=20/22213,49= 9^.10^-4

Sostituiti i valori nelle formule dei momenti, ottengo questi risultati:
M₁= M₂= 9,994 KNm          M₃=0,012 KNm

Verifico la deformata e i risultati su sap:

I risultati corrispondono. Si nota che il contributo della trave AD a contrastare il momento ribaltante della mensola, è quasi nullo.
Provo a cambiare la sezione proprio dell'asta AD, con l'intento di aumentare la sua rigidezza.
Adotto questa volta un profilo scatolare:

Calcolo il momento d'inerzia torsionale: I_ti= 4Ω²xt/l_m= 9497,4x10^-8 cm⁴

ϕ_a= 20/24732,64= 8^.10^-4

Ottengo questi risultati per i momento e noto che il contributo dell'asta AD è aumentato, perciò, un profilo scatolare è più indicato per situazioni soggette a torsione:

M₁= M₂= 8,97 KNm          M₃=2,04 KNm

Verifico su Sap2000 deformata, momento e torsione.

Risulta interessante come ultimo passo, vedere se e come cambiano i valori adottando una struttura in calcestruzzo armato.
Adotto in questo caso una sezione rettangolare:

E=24,86x10⁶ KN/m²

I= 3,76x10^-3 m⁴

G_cls= 10⁷ KN/m²

Calcolo il momento d'inerzia torsionale:

I_t=c₂xaxb³  c₂=a/b=0,291 (tabellato)

I_t=6,58x10^-4 m⁴

ϕ_a= 20/208870= 9,5^.10^-4

Ottengo questi risultati:
M₁= M₂= 8,95 KNm          M₃=2,09 KNm

Insomma riscontro una netta somiglianza di comportamento con la struttura precedente, utilizzando però una sezione molto più alta di prima.

Esercizio 2: torsione_graticcio

Un graticcio è un intreccio di travi principali ortogonali fra loro, che collaborano per portare i pesi. Si tratta dunque di una struttura priva di una gerarchia di elementi che ripartiscono i pesi man mano, ma di una serie di elementi tutti identici. Infatti, un graticcio di travi è distinguibile da una struttura classica attraverso due metodi: l’analisi del momento d’inerzia delle travi, è identico per ciascuna trave essendo esse tutte uguali fra loro in un graticcio; studiando la natura del nodo che unisce le varie travi, nel caso del graticcio un nodo incastro, dato che deve trasmettere il momento (per una struttura classica invece il nodo deve trasmettere solo taglio).
La rigidezza torsionale è un parametro che assume notevole importanza nel graticcio, dal momento che, nella maggior parte dei casi, ad una flessione in una direzione, corrisponde una torsione nell’altra. A questo punto è di notevole importanza la conformazione e il materiale della sezione dell’elemento strutturale, poiché nella formula della rigidezza della struttura, compare il Momento d’inerzia torsionale, diverso a seconda della sezione in esame.
Per capire di cosa stiamo parlando, analizziamo un graticcio semplice, composto da due travi perpendicolari fra loro, una a e l’altra a . Sul nodo facciamo agire una forza concentrata.

A una prima analisi il nodo possiede 6 gradi di libertà, posso ipotizzare però che le aste siano indeformabili assialmente, quindi che le traslazione lungo gli assi x e y siano impediti. So anche di non avere una rotazione attorno all’asse z, ne attorno all’asse x. Rimangono quindi due gradi di libertà δ e ϕ_y che posso facilmente trovare attraverso l’equazioni di equilibrio alla traslazione verticale e alla rotazione.

Attraverso la sovrapposizione degli effetti studio gli effetti di δ e ϕ_y sulle 2 aste e trovo l’equilibrio alla traslazione e alla rotazione. Per prima cosa analizzo lo spostamento δ sull'asta AC, facendo riferimento ai valori dello schema strutturale della trave doppiamente incastrata:

Analizzo l'abbassamento sull'asta BD:

Si nota che i momenti flettenti che agiscono sulle due parti di trave, si annullano a vicenda e quindi non andranno a sommarsi nell'equazione dell'equilibrio alla rotazione.

Adesso analizzo l'effetto della rotazione ϕ_y sull'asta AC, generata dalla forza concentrata agente a un terzo dell'asta:

Questa rotazione, provoca sull'asta ortogonale BD una torsione a cui si opporà un momento torcente:

Posso ora sovrapporre gli effetti, arrivando a questi due schemi e alle relative equazioni di equilibrio, rispettivamente alla traslazione e alla rotazione:

Dall'equazione dei momenti ricavo δ in funzione di ϕ_y:

in cui  

Sostituisco δ/l nell'equazione dell'equilibrio alla traslazione e ricavo ϕ_y:

 

A questo punto posso decidere un materiale e una sezione da dare alle travi del graticcio. Per comodità di calcoli utilizzo la stesso profilo IPE utilizzato nell'esercitazione precedente.

E=1,999x10⁸ KN/m²

I= 5,554x10^-5 m⁴

G_s= 80x10⁶ KN/m²

I_t=50,6x10^-8 m⁴

Sostituisco i valori sopra riportati e ottengo questi risultati:

Posso ricavare ora il valore dei momenti agenti sulla struttura:

Verifico deformata e i valori ottenuti su Sap2000.

Ripeto la stessa analisi utilizzando il profilo in cls dell'esercitazione precedente:

E=24,86x10⁶ KN/m²

I= 3,76x10^-3 m⁴

G_cls= 10⁷ KN/m²
I_t=6,58x10^-4 m⁴

Sostituisco i valori sopra riportati e ottengo questi risultati:

Valore dei momenti:

Verifico su Sap