blog di Federico.Restaino

Tutte le strutture mostrate e studiate fin ora, sono casi di strutture a due dimensioni e che come tali, tengono soprattutto conto delle tre sollecitazioni più evidenti a cui sono sottoposti travi e pilastri: sforzo normale, taglio, momento.
Le strutture non vivono però in uno spazio bidimensionale, ne sono semplici sistemi composti da trave appoggiata su due pilastri. Avendo quindi l’esigenza di cominciare ad affrontare strutture più aderenti alla realtà, dobbiamo trasferirci nello spazio tridimensionale e, per iniziare, analizzare una struttura semplice sviluppata sui tre assi x,y,z.
Poco tempo fa si è già affrontato in generale, il comportamento sistemico della struttura che compone un intero edificio. Ora facciamo uno zoom su questa struttura, per capire e studiare cosa succede a quelle parti di struttura immediatamente più vicine ad uno sbalzo.
Lo sbalzo è una questione che va affrontata su più fronti. Inizialmente va capito come esso influisce sull’equilibrio dell’intero edificio, di modo che non avvenga un ribaltamento; in seguito, una volta dimensionata la trave che va a sbalzo, si deve comprendere in che modo viene influenzato il dimensionamento delle parti di struttura su cui agisce il momento esercitato dalla trave a sbalzo.
Con questo pretesto, nel seguente esercizio, si prende finalmente in considerazione una sollecitazione che non è evidente in uno spazio bidimensionale, si sta parlando della torsione, vero tema di questo post.
La torsione è una sollecitazione causata da un momento attorno all’asse della trave. Vediamo nell’esempio come tale  sollecitazione può nascere.

Esercizio 1: torsione_sbalzo

Prima di iniziare l'analisi della struttura, posso semplificare il sistema, sostituendo la mensola con un momento in corrispondenza del nodo. Posso porre poi la condizione che, assumendo il pilastro indeformabile assialmente, non ci sia sforzo normale.

Il momento nato dalla presenza dello sbalzo, richiede alla struttura adiacente la capacità di contrastarlo e di non ribaltarsi. Quindi è richiesta alle aste una certa rigidezza per contrastare la rotazione a cui sono sottoposte. Le aste AB e AC sviluppano quindi una rigidezza flessionale, mentre l'asta AD sviluppa una rigidezza torsionale.

Per prima cosa trovo i valori dei momenti che nascono nelle due aste e che le portano a ruotare. Ciò è possibile mettendo come ipotesi che il nodo A ceda anaelasticamente a rotazione, questo mi permette di risolvere la struttura iperstatica tramite l'ormai consolidato metodo della linea elastica. Di seguito la formula per trovare il momento:

L'equazione di equilibrio dei momenti riulta la seguente (tra parentesi le rigidezze di ogni singola asta):
 

Mi ricavo la formula per trovare la rotazione, in cui Ra è la somma delle rigidezze e quindi la rigidezza complessiva della struttura:

Ora ho la formula per trovare i tre momenti che si oppongono all'azione ribaltante della mensola:
 
Scelto il valore del carico distribuito q=10KN, passo ora ad analizzare il comportamento della struttura a seconda del materiale e della sezione che scelgo per le travi, ponendo particolare attenzione al comportamento della trave AD soggetta a torsione.

Con l'aiuto di Sap2000 inizio l'analisi; per prima cosa scelgo un profilo a doppio T in acciaio e mi ricavo i valori necessari ai calcoli dei momenti:

E=1,999x10⁸ KN/m²
I= 5,554x10^-5 m⁴
G_s= 80x10⁶ KN/m²
I_t=Σ_i=1 I_ti I_ti=c_2ixa_ixb_i³  c₂=a/b=0,333
I_t(ala)=22,47x10^-8 m⁴
I_t(anima)=5,66x10^-8 m⁴
I_t=50,6x10^-8 m⁴   

Trovati i valori di ql² e di R_a posso calcolare il valore della rotazione:

ϕ_a=20/22213,49= 9^.10^-4

Sostituiti i valori nelle formule dei momenti, ottengo questi risultati:
M₁= M₂= 9,994 KNm          M₃=0,012 KNm

Verifico la deformata e i risultati su sap:

I risultati corrispondono. Si nota che il contributo della trave AD a contrastare il momento ribaltante della mensola, è quasi nullo.
Provo a cambiare la sezione proprio dell'asta AD, con l'intento di aumentare la sua rigidezza.
Adotto questa volta un profilo scatolare:

Calcolo il momento d'inerzia torsionale: I_ti= 4Ω²xt/l_m= 9497,4x10^-8 cm⁴

ϕ_a= 20/24732,64= 8^.10^-4

Ottengo questi risultati per i momento e noto che il contributo dell'asta AD è aumentato, perciò, un profilo scatolare è più indicato per situazioni soggette a torsione:

M₁= M₂= 8,97 KNm          M₃=2,04 KNm

Verifico su Sap2000 deformata, momento e torsione.

Risulta interessante come ultimo passo, vedere se e come cambiano i valori adottando una struttura in calcestruzzo armato.
Adotto in questo caso una sezione rettangolare:

E=24,86x10⁶ KN/m²

I= 3,76x10^-3 m⁴

G_cls= 10⁷ KN/m²

Calcolo il momento d'inerzia torsionale:

I_t=c₂xaxb³  c₂=a/b=0,291 (tabellato)

I_t=6,58x10^-4 m⁴

ϕ_a= 20/208870= 9,5^.10^-4

Ottengo questi risultati:
M₁= M₂= 8,95 KNm          M₃=2,09 KNm

Insomma riscontro una netta somiglianza di comportamento con la struttura precedente, utilizzando però una sezione molto più alta di prima.

Esercizio 2: torsione_graticcio

Un graticcio è un intreccio di travi principali ortogonali fra loro, che collaborano per portare i pesi. Si tratta dunque di una struttura priva di una gerarchia di elementi che ripartiscono i pesi man mano, ma di una serie di elementi tutti identici. Infatti, un graticcio di travi è distinguibile da una struttura classica attraverso due metodi: l’analisi del momento d’inerzia delle travi, è identico per ciascuna trave essendo esse tutte uguali fra loro in un graticcio; studiando la natura del nodo che unisce le varie travi, nel caso del graticcio un nodo incastro, dato che deve trasmettere il momento (per una struttura classica invece il nodo deve trasmettere solo taglio).
La rigidezza torsionale è un parametro che assume notevole importanza nel graticcio, dal momento che, nella maggior parte dei casi, ad una flessione in una direzione, corrisponde una torsione nell’altra. A questo punto è di notevole importanza la conformazione e il materiale della sezione dell’elemento strutturale, poiché nella formula della rigidezza della struttura, compare il Momento d’inerzia torsionale, diverso a seconda della sezione in esame.
Per capire di cosa stiamo parlando, analizziamo un graticcio semplice, composto da due travi perpendicolari fra loro, una a e l’altra a . Sul nodo facciamo agire una forza concentrata.

A una prima analisi il nodo possiede 6 gradi di libertà, posso ipotizzare però che le aste siano indeformabili assialmente, quindi che le traslazione lungo gli assi x e y siano impediti. So anche di non avere una rotazione attorno all’asse z, ne attorno all’asse x. Rimangono quindi due gradi di libertà δ e ϕ_y che posso facilmente trovare attraverso l’equazioni di equilibrio alla traslazione verticale e alla rotazione.

Attraverso la sovrapposizione degli effetti studio gli effetti di δ e ϕ_y sulle 2 aste e trovo l’equilibrio alla traslazione e alla rotazione. Per prima cosa analizzo lo spostamento δ sull'asta AC, facendo riferimento ai valori dello schema strutturale della trave doppiamente incastrata:

Analizzo l'abbassamento sull'asta BD:

Si nota che i momenti flettenti che agiscono sulle due parti di trave, si annullano a vicenda e quindi non andranno a sommarsi nell'equazione dell'equilibrio alla rotazione.

Adesso analizzo l'effetto della rotazione ϕ_y sull'asta AC, generata dalla forza concentrata agente a un terzo dell'asta:

Questa rotazione, provoca sull'asta ortogonale BD una torsione a cui si opporà un momento torcente:

Posso ora sovrapporre gli effetti, arrivando a questi due schemi e alle relative equazioni di equilibrio, rispettivamente alla traslazione e alla rotazione:

Dall'equazione dei momenti ricavo δ in funzione di ϕ_y:

in cui  

Sostituisco δ/l nell'equazione dell'equilibrio alla traslazione e ricavo ϕ_y:

 

A questo punto posso decidere un materiale e una sezione da dare alle travi del graticcio. Per comodità di calcoli utilizzo la stesso profilo IPE utilizzato nell'esercitazione precedente.

E=1,999x10⁸ KN/m²

I= 5,554x10^-5 m⁴

G_s= 80x10⁶ KN/m²

I_t=50,6x10^-8 m⁴

Sostituisco i valori sopra riportati e ottengo questi risultati:

Posso ricavare ora il valore dei momenti agenti sulla struttura:

Verifico deformata e i valori ottenuti su Sap2000.

Ripeto la stessa analisi utilizzando il profilo in cls dell'esercitazione precedente:

E=24,86x10⁶ KN/m²

I= 3,76x10^-3 m⁴

G_cls= 10⁷ KN/m²
I_t=6,58x10^-4 m⁴

Sostituisco i valori sopra riportati e ottengo questi risultati:

Valore dei momenti:

Verifico su Sap

I controventi

Ogni impalcato è composto da una maglia di telai, tessuti più o meno parallelamente o perpendicolarmente a seconda delle necessità e a discrezione del progettista. In genere il compito principale di un impalcato è quello di sopportare dei pesi, ovvero delle forze verticali che vanno dall'alto verso il basso. Ma si sbaglia se si pensa anche che questo sia il suo unico compito!
Un bravo progettista deve sempre tenere conto di altri tipi di forze, ovvero quelle orizzontali, provocate per esempio dal vento o da eventi sismici. Sapendo ciò egli deve progettare la struttura in modo che resista anche a questo altro tipo di forze, tutt'altro che trascurabili.
Entra così in gioco il tema dei controventi.

Assimilato il concetto alla base dei telai shear-type, possiamo accomunare quello stesso comportamento  a quello svolto dai telai di una struttura in CLS armato. Questi telai costituiscono dei controventi per l’intera struttura e come tali agiscono da vincoli. In particolare questi vincoli si contrappongono alle forze orizzontali ed evitano che la struttura subisca uno spostamento orizzontale o peggio ancora una rotazione.
La natura di questi vincoli è particolare: essi hanno infatti un comportamento elastico, ovvero contrastano le forze esterne parallele al loro asse, permettendo comunque una certa quantità di spostamento.
A questo punto i telai possono essere rappresentati come delle molle, la rigidezza di ognuna di esse rappresenta la rigidezza di ogni telaio.
Per semplificare i calcoli e per convenzione, le forze orizzontali possono essere applicate direttamente al centro di massa come forze concentrate, per questo motivo quando si progetta una struttura, trovato il centro di massa, bisogna ragionare attentamente sulla posizione dei controventi e sulla rigidezza di ognuno di essi; il fine è quello di far coincidere il più possibile il centro di massa con il centro delle rigidezze in modo tale da diminuire o ancora meglio, annullare il braccio della forza orizzontale e quindi il momento provocato da essa. In pratica, in base al posizionamento e alla rigidezza dei telai si può spostare il centro delle rigidezze e avvicinarlo sempre più al centro delle masse. Se si perviene a tale scopo si riesce a limitare la rotazione della struttura.

Ripartizioni delle forze sismiche

A fronte dei ragionamenti sopra riportati, voglio analizzare un impalcato tipo, sottoposto a forze orizzontali. Decido di analizzare un corpo simmetrico a C.
Disegno l'impalcato stabilendo due luci diverse.

Come si nota in pianta l'impalcato prevede due disposizioni dei pilastri basata sull'orditura dei solai. I pilastri scelti sono a sezione rettangolare, so quindi che offrono due momenti d'inerzia diversi, i seguenti:

Piccola riflessione: per una migliore resistenza alle forze orizzontali converrebbe orientari i pilastri in modo tale da offrire il maggior momento d'inerzia. Nel caso di studio che sto affrontando, la maggior parte dei telai non sono orientati in maniera ottimale, ma è una scelta basata sulla volontà di studiare il caso di una struttura non perfettamente controventata.

Procediamo ora con l'esercizio.
Mi ritrovo perciò un impalcato composto da 14 pilastri che organizzano 9 telai. Posso rappresentare il vincolo elastico comportato da questi controventi, con delle molle.

Per verificare l'efficacia dei controventi occorre analizzare le rigidezze di essi trovando di conseguenza il centro delle rigidezze e ripartire le forze orizzontali. Per effettuare l'analisi e i calcoli necessari utilizzo un foglio excel.
 

Calcolo delle rigidezze traslanti e dei controventi dell'edificio

Come primo passo calcolo le rigidezze traslanti dei controventi, inserendo nel foglio elettronico i seguenti dati:
il modulo di elasticità del Cls E=21000 N/mm²;
il momento d'inerzia di ciascun pilastro (calcolato in precedenza);
l'altezza dei pilastri (320 cm);

Tabella sinottica controventi e distanze

Come secondo passaggio calcolo  le distanze verticali (dv) e orizzontali (do) dei controventi da un punto O, l’origine di un sistema di riferimento da me scelto.

Calcolo del centro di massa

Calcolo ora il centro di massa, il famoso punto G. Per farlo calcolo l'area totale del solaio sostenuto dall'impalcato e trovo i baricentri delle tre parti in cui posso dividere l'area del solaio, come mostrato di seguito:

Inserisco i dati sul foglio elettronico e ottengo le coordinate del centro di massa, così calcolate :

Calcolo del centro delle rigidezze e delle rigidezze globali

Tramite la tabella riportata di seguito posso trovare anche le coordinate del centro delle rigidezze C, calcolato tramite le rigidezze delle singole molle; inoltre nella tabella sono indicate le distanze di ogni controvento dal centro delle rigidezze e infine la rigidezza torsionale totale ovvero la sommatoria di ogni rigidezza moltiplicata per la distanza al quadrato dal centro delle rigidezze.

Nella seguente pianta vengono indicate le forze orizzontali, che per convenzione (come detto in precedenza) possono essere applicate come forze puntuali, sul centro di massa.

Analisi dei carichi sismici

Ora, ipotizzati dei carichi strutturali e non strutturali che gravano sulla struttura, calcolo la forza sismica orizzontale, inserendo nel foglio excel dei valori regolati dalla normativa:
coefficiente di contemporaneità Ψ
coefficiente di intensità sismica c

La forza orizzontale agente sulla struttura è 124,10 KN

Ripartizione della forza sismica

Queste due tabelle calcolano il momento torcente della struttura, le traslazioni e le rotazioni secondo le due direzioni perpendicolari X e Y

Telaio Shear Type

Il Telaio Shear Type costituisce una delle 2 configurazioni limite attraverso cui si studia il comportamento di un portale. Questo schema ideale si basa sul concetto di rigidezza, infatti nelle condizioni iniziali si pone che la trave sia un corpo rigido, la cui rigidezza flessionale infinita non ne consente alcuna deformazione. In aggiunta, i pilastri su cui essa è appoggiata, vengono considerati non deformabili assialmente e collegati alla trave con nodi a incastro. Tutto questo condiziona notevolmente la trave, che non può ruotare ma solamente traslare orizzontalmente. Analizzare e risolvere questo tipo di struttura vuol dire studiare i pilastri, unici elementi deformabili (solo flessionalmente) da cui ricavare i valori di taglio e momento per poi capire in seguito come essi si trasmettono alla trave.

Trave Vierendeel a sbalzo

La seguente trave Vierendeel può essere risolta esattamente con lo stesso metodo utilizzato per risolvere un telaio shear type.
La trave sotto esame infatti altro non è che uno schema di telaio shear type disposto orizzontalmente, nel quale tutti i nodi sono a incastro e in cui i montanti verticali vengono considerati a rigidezza flessionale e assiale infinita e quelli orizzontali a rigidezza assiale infinita.

Per prima cosa troviamo i valori del taglio in corrispondenza di ogni forza esercitata sulla trave, per mezzo dell’equazione di equilibrio alla traslazione. È evidente che una volta capito il meccanismo attraverso cui si ripartiscono le forze lungo la trave, si possono trascrivere facilmente i valori del taglio senza fare troppi calcoli. Eseguire i calcoli però ci fornisce anche un altro dato importante, ovvero il valore δ dello spostamento del ritto e quindi della deformazione della trave; trovati i valori degli spostamenti di ogni ritto potremo disegnare la deformata.

Ora posso procedere al disegno di massima della deformata.

Dallo schema della deformata ottengo un’informazione precisa: dove la curvatura è nulla, cioè dove ho un flesso nella deformata, anche il momento sarà nullo, questo mi facilita la comprensione del diagramma del momento.

Con questa informazione, per trovare il valore dei momenti sulle parti della trave fra le aste verticali, basta moltiplicare il valore di ciascun taglio trovato in precedenza, per il braccio l/2.
Esempio: F/2 x l/2 = Fl/4

I diagrammi di momento e taglio sui ritti devono essere calcolati invece nel seguente modo:
per il primo, si devono equilibrare i nodi, ovvero bisogna equilibrare  i momenti trovati in precedenza sulle travi, con un momento interno alla ritto.
Esempio: Fl/2+Fl/4 = (1/4+2/4)Fl = 3/4Fl

Per il diagramma del taglio, bisogna equilibrare il momento del ritto (appena calcolato) con una coppia di forze, il cui valore è il valore del taglio in quel punto; si calcola moltiplicando per due i momenti agenti sul traverso e dividendo per il braccio della coppia “l”.
Esempio: Fl/4 x 2/l = F/2

Ora posso disegnare il diagramma del taglio e del momento:

Verifico su Sap2000 che la deformata e i diagrammi delle sollecitazioni ottenuti, siano esatti o quanto meno credibili.



Il risultato è molto simile in tutti e tre i casi. Da notare una leggera rotazione delle aste verticali nello schema della deformata.

Trave Vierendeel incastrata ai bordi

In questo secondo caso di studio, ho una trave Vierendeel vincolata a entrambi gli estremi; procedo nella stessa maniera del primo caso di studio, sfruttando però la palese simmetria di questo schema strutturale e tenendo conto che la forza agente sul ritto centrale si ripartisce su 4 traversi.

Procedo ai calcoli per trovare i valori dello spostamento di ogni asta e i valori del taglio sui traversi, partendo dall’asta centrale:

Disegno la deformata.

Calcolo anche i valori del momento sui traversi, moltiplicando i valori del taglio, ottenuti in precedenza, per il braccio “l/2”.

Passo ora al calcolo del diagramma del momento e del taglio sulle aste.

Equilibrio dei nodi:

Equilibrio delle aste:

Posso ora disegnare i diagrammi delle sollecitazioni su travi e aste:

Verifico i risultati ottenuti su Sap2000.

I risultati anche in questo caso sono molto simili!

Per  risolvere una struttura tre volte iperstatica (3 gradi di libertà e 6 gradi di vincolo, quindi con un numero di incognite maggiore al numero di equazioni di equilibrio), mi conviene visualizzare la trave come se non fosse un corpo unico su 5 appoggi, ma come se fosse una serie di travi doppiamente appoggiate.
In pratica per risolvere questo sistema iperstatico, uso un sistema isostatico di riferimento, a cui arrivo togliendo i tre gradi di vincolo che rendono iperstatica la struttura. In questo caso annullo la continuità della trave, dividendola in quattro corpi separati, eliminando quindi le tre reazioni vincolari interne che le terrebbero unite. In particolare trasformo le tre cerniere passanti degli appoggi B, C e D, in cerniere interne; permetto quindi una rotazione indipendente dei quattro corpi A-B, B-C, C-D, D-E. In corrispondenza delle cerniere applico poi il momento flettente che serve a ripristinare la continuità della trave. Con “X” indico la reazione vincolare interna.
La struttura assume così questo nuovo assetto:

Ho di conseguenza quattro sistemi isostatici.

Per risolvere il sistema parto dal trovare il valore dei tre momenti X₁,X₂ e X₃. Data la simmetria della struttura posso dire che X₁ = X₃. Cerco le incognite:

So che ΔϕB = ΔϕD=0 e ΔϕC=0

Ora uguagliando la rotazione a destra con quella a sinistra, dei punti analizzati, posso trovare i valori di X₁-X₃ e di X₂.

Il problema di avere tre gradi di vincolo di troppo è ora risolto! Conoscendo i loro valori posso procedere con facilità al calcolcolo delle reazioni vincolari. Applicando la sovrapposizione degli effetti, trovo le reazioni nei due sistemi di riferimento: iperstatico e isostatico.
Quindi una volta trovo le reazioni in base al carico distribuito q e poi le calcolo in base ai momenti X₁, X₂, X₃ come di seguito:

Sommo le reazioni vincolari trovate nei due sistemi:

Ora posso disegnare i diagrammi delle sollecitazioni di Taglio e Momento, trovando i valori nei vari punti.
Esempio di calcolo del diagramma del Momento:

Diagramma del taglio

Diagramma del momento

Dopo aver definito la pianta tipo di un impalcato strutturale, prendo in analisi la trave sottoposta a maggior carico: la trave A-B lungo l'allineamento 2.
Metto in evidenza l'area di influenza, ovvero la porzione di solaio, portata da questa trave.

La luce della trave in questione è di 7,3 m mentre l'interasse misura 4,3 m. Ricavo un'area d'influenza pari a 31.39 mq

Per dimensionare la trave, occorre una accurata analisi dei carichi che gravano su di essa. Questi si dividono in:

• Carichi strutturali (Qs): peso proprio di tutti gli elementi strutturali
• Carichi non strutturali permanenti (Qp): peso di tutti quegli elementi non strutturali (pacchetto solaio, intonaco, tramezzi, etc.) che gravano sulla struttura dall'inizio fino alla fine della sua esistenza.
• Carichi accidentali (Qa): carichi che possono esserci o meno nel corso del tempo, la cui natura varia dalla funzione dell'edificio (mobili, persone, etc.)
   

ACCIAIO

In questo caso di studio, prendo in considerazione una struttura in acciaio con un solaio in lamiera grecata scegliendo come destinazione d'uso dell'edificio quella di "rimessa/parcheggio".

A questo punto, prima di dimensionare la trave, si rende necessario procedere al dimensionamento dell'orditura secondaria della struttura in acciaio. Occore dimensionare insomma il peso dei singoli travetti: questo poichè il loro peso va ad influire sul carico strutturale (Qs).

Dimensionamento del travetto di luce 4,3m:

Ipotizzo un passo dei travetti di 1m. Analizziamo i carichi sopracitati, che gravano sui travetti:

• Qs: 2.50KN/mq
  Lamiera grecata A75 P570 + soletta CLS (sp.15cm) : 2,50 KN/mq
  
• Qp: 0.075+0.72+0.0325+1.5= 2.3KN/mq

  ·         Isolante acustico= 0.075 Kn/mq
  ·         Massetto: 24 KN/mq x 0.03 m= 0.72 KN/mq
  ·         Pavimento in Linoleum: spessore 0.0025m, peso specifico: 1300 Kg/mc: (0.0025x1x1)x13= 0.0325 Kn/mq
  ·         Tramezzi e impianti=1.5 KN/mq

• Qa: Rimesse e parcheggi da normativa 2,5 KN/mq

Attraverso il foglio elettronico calcolo le dimensioni del travetto, inserendo i valori dei carichi ottenuti. Scelgo di utilizzare un acciaio Fe430/S275, inserisco quindi il suo valore caratteristico a snervamento fy,k che equivale (come indicato dalla sigla) a 275 N/mm².

Ottengo un modulo di resistenza Wx=70,56 cm³. Scelgo quindi una IPE 140 con Wx=77,3cm³

La IPE scelta ha un peso 12,9 Kg/m; per ripartire il peso su metro quadro, lo divido per l'interasse, ovvero 1 m. Il peso a metro quadro è quindi 0,129 KN/mq.
Questo carico, deve essere sommato al carico strutturale Qs per verificare che il travetto riesca a sostenere il proprio peso oltre che i carichi esterni.

Sostituendo il valore su excel il modulo di resistenza sale a Wx=71,81cm³. Il dimensionamento del travetto è quindi corretto!

Ora si può procedere al dimensionamento della trave, seguendo lo stesso procedimento svolto per il dimensionamento del travetto:

Luce [l]: 7.3 m
Interasse [i]: 4.3 m
Area d’influenza: 31.39 mq

• Qs: 2.63 KN/mq
  Travetto IPE 140 12,9Kg/m -> 0,129KN/mq
  Lamiera grecata A75 P570 + soletta CLS (sp.15cm) : 2,50 KN/mq
• Qp: 2.3 KN/mq

• Qa: 2,5 KN/mq

Inserisco i valori ottenuti nel foglio excel.

Come fatto in precedenza per il dimensionamento del travetto, cerco nella tabella delle IPE un profilo con modulo di resistenza Wx maggiore di quello ottenuto su excel: 878 cm³.
Scelgo per sicurezza una IPE 400 con Wx=1160 cm³.

Ora verifico l'efficenza della struttura, inserendo nei pesi propri strutturali anche il peso della trave scelta.

Peso IPE 400: 66,3 Kg/m ->0,66KN/m
Peso al mq: 0,66KN/m/4,3m (interasse)=0,153 KN/mq
Qs: (2.63+0.153)= 2,78 KN/mq

Il dimensionamento della trave risulta corretto!
 

LEGNO

Risulta ora interessante provare a dimensionare per lo stesso impalcato, la trave e di conseguenza i travetti, di una struttura lignea.

Come mostrerò in seguito per fare ciò, cambio in alcuni suoi strati, il pacchetto del solaio. 

Dimensionamento travetto:

Anche in questo caso ipotizzo un passo dei travetti di 1m. Procedo quindi all'analisi dei carichi:

• Qs: 0.18 KN/mq
  tavolato in legno s: 0.03m peso 6 KN/mq 0.03x1x7= 0.18 KN/mq
   
• Qp: 0.8+0.075+0.72+0.0325+1.5= 3.1 KN/mq
  ·         Gettata di cls: peso specifico 20KN/mc s: 0.04 m= 0.8 KN/mq

  ·         Isolante acustico: 0.075 Kn/mq
  ·         Massetto: 24 KN/mq x 0.03 m: 0.72 KN/mq
  ·         Pavimento in Linoleum:
            s: 0.0025m, peso specifico: 1300 Kg/mc: (0.0025x1x1)x13= 0.0325 Kn/mq
  ·         Tramezzi e impianti: 1.5 KN/mq

• Qa: Rimesse e parcheggi da normativa 2,5 KN/mq

Apro il foglio excel e sulla cartella "legno" inserisco: i valori dei carichi appena trovati, l'interasse e luce del travetto, infine ipotizzo le caratteristiche del travetto.
Scelgo un legno lamellare GL 24h e quindi inserisco i valori richiesti dal foglio elettronico.
Innanzi tutto trascrivo il valore di resistenza a flessione del legno lamellare scelto: fm,k=24 N/mmq
Poi scelgo un Kmod con valore 0.60, riferito alla classe di servizio 1 (legata a una condizione termoigrometrica normale) e alla durata del carico, in questo caso, permanente.

Ora devo decidere la sezione del travetto!

Il foglio excel richiede di inserire la lunghezza della base della sezione e fornisce automaticamente l'altezza rispettiva, basandosi sul momento flettente, la sigma ammissibilefornitigli in precedenza.
Decido una base di 15 cm, da cui ottengo una altezza di 23,20 cm.

A questo punto, sapendo che in via generale le sezioni vengono prodotte con altezze che variano di 5 cm fra loro, ipotizzo che il travetto abbia le seguenti dimensioni: b=15cm h=25cm.

Verifico che il dimensionamento sia corretto, calcolando il peso del travetto e inserendolo (come già fatto per la struttura in acciaio) nel carico strutturale.
Trovo il peso specifico sulla tabella della normativa UNI EN 1194 (immagine inserita in precedenza):
peso specifico GL24h -> 380Kg/mc  quindi il peso del travetto è 0,15x0,25x4,3x3,8 KN/mc=0, 61KN
Ora calcolo il peso del travetto distribuito su metro quadro 0,61/4,3/1=0,14 KN/mq e sommo il valore al Qs trovato in precedenza.
Qs=0.32KN/mq

Inserendo il nuovo Qs nel foglio excel, l’altezza della trave risulta di 23,48cm, quindi minore di quella ipotizzata, ciò significa che il travetto è verificato!

Posso procedere ora al dimensionamento della trave.

Luce [l]: 7.3 m
Interasse [i]: 4.3 m
Area d’influenza: 31.39 mq

• Qs: 0.31 KN/mq
• Qp: 3.1 KN/mq

• Qa: 2,5 KN/mq

Inserisco i valori di luce, interasse e carichi, nel foglio excel.
Per la trave in questo caso, scelgo un legno lamellare GL32c, inserisco quindi i valori fm,k=32 N/mmq e Kmod 0,60.

Ora decido le dimensioni della sezione della trave.
Scelgo di avere una base di 30cm, da cui ottengo in automatico una altezza di 50,57cm.

Decido quindi che la trave avrà una sezione con b=30cm e h=55cm.
Vado a verificare che la sezione funzioni, cioè (come fatto in precedenza) sostenga sia il proprio peso che il peso dei carichi.
Trovo il peso specifico del GL32c sulla normativa: 410Kg/mc
Calcolo il peso della trave: 0,3x0,5x7,3x4,1=4,49 KN e lo ottengo al metro quadro 5,4/7,3/4,3=0,15 KN/mq
Sommo il valore al carico strutturale e ottengo Qs= 0.46 KN/mq

Inserisco il valore su excel:

L'altezza ottenuta è di 51,20 cm, quindi rientra nell'altezza ipotizzata in precedenza. Il dimensionamento della trave risulta corretto!

CLS

Non pago, mi accingo ora a dimensionare la struttura dello stesso impalcato, utilizzando come materiale il calcestruzzo armato.

Procedo al dimensionamento della trave:

Luce 7.3m
Interasse 4.3m

Innanzi tutto decido l’altezza che deve avere il solaio in laterocemento.

Da normativa, so che un solaio monodirezionale deve avere spessore non minore a 1/25 della luce (in ogni caso deve essere spesso non meno di 12 cm). Dovendo coprire una luce di 4,3 calcolo che 430cm/25=17,2cm sarà lo spessore minimo del solaio.
Decido di avere un solaio di 20cm di altezza; quindi cerco in rete un solaio in produzione, con questo spessore.
Scelgo un solaio LATER-PAN^® della ditta “Giuliane solai”.

Procedo quindi all'analisi dei carichi:

• Qs:2.82 KN/mq
  Solaio LATER-PAN^® h=20cm, di cui: h pignatte=16 cm; h soletta=4cm
   
• Qp: 0.2+0.075+0.72+0.0325+1.5= 2.53 KN/mq

  ·         Intonaco: spessore 2 cm, peso specifico 10KN/mc--> 0.02x10=0.2 KN/m²

  ·         Isolante acustico: 0.075 Kn/mq
  ·         Massetto: 24 KN/mq x 0.03 m: 0.72 KN/mq
  ·         Pavimento in Linoleum:
            s: 0.0025m, peso specifico: 1300 Kg/mc: (0.0025x1x1)x13= 0.0325 Kn/mq
  ·         Tramezzi e impianti: 1.5 KN/mq

• Qa: 2,5 KN/mq

Una volta inseriti su excel, i valori di interasse, luce della trave e carichi, devo scegliere il tipo di armatura che avrà la trave e la classe di resistenza del cls di cui sarà composta.

Scelgo un acciaio B450C da normativa per zona sismica. Inserisco quindi il valore di limite a snervamento fy che equivale a 450N/mm².

Ora scelgo la classe di resistenza del cls: decido di usare un C32/40, quindi inserisco in excel un Rck=40 N/mm2 (resistenza cubica).

In fine arriva il momento di decidere le dimensioni della sezione della trave.
Ipotizzo che abbia una base b=30 cm ed un copriferro delta=5 cm. Inserisco i due valori rispettivamente nelle colonne “b (cm)” e “delta (cm)”.
Ottengo così in automatico l’altezza utile “h” di 41,03 cm e l’altezza totale della trave “H” di 46,03 cm.

Sapendo che le travi standard in cls, hanno sezioni che crescono di 5 cm in 5 cm, ipotizzo che la trave che sto dimensionando, abbia una altezza “H”=50 cm (e b=30cm)

Per verificare che la struttura funzioni, aggiungo il peso della trave al carico strutturale:
Il peso della trave è fornito direttamente dal foglio excel, nell’ultima colonna. P=3,45KN/m
Distribuisco il peso sull’interasse della trave per avere il peso a metro quadro:
3,45/4.3=0.8 KN/mq
Qs=2.82+0.8=3.7KN/mq
Inserendo il valore sulla tabella excel, ottengo H=48,27cm

Il dimensionamento della trave risulta corretto!

Verifica su Sap2000

Una travatura reticolare piana è un insieme di aste appartenenti allo stesso piano, vincolate reciprocamente da cerniere interne. Nelle aste è presente solo sforzo normale, infatti esse non sono caricate lungo l'asse principale. Si utilizza infatti un modello ideale per cui tutti i carichi esterni agiscono direttamente sui nodi.
Vi sono due metodi principali per risolvere questo tipo di struttura: metodo delle sezioni di ritter e metodo dei nodi. Nel seguente caso di studio, utilizzerò il primo metodo, che prevede la sezione di volta in volta di un numero di aste non superiore a tre e dell'analisi delle forze agenti sulle aste in questione.
Di seguito i calcoli a mano:

Verifico l'esattezza dei miei calcoli, riportando la struttura in Sap2000.

Trave reticolare spaziale.

Trattiamo ora una trave reticolare tridimensionale.
Per modellare più rapidamente la trave, utilizziamo il programma autocad e creiamo la seguente struttura reticolare:

Dopo aver salvato il disegno in formato .dxf, importo la trave su Sap2000 e per evitare la presenza di alcuni errori, generati dall'importazione, nei nodi tra le aste, dopo aver selezionato l'intero disegno, imposto una tolleranza di apporossimazione maggiore, eseguendo il comando: EDIT > EDIT POINT > MERGE JOINTS > MERGE TOLERANCE > 0,01
In tal modo sono sicuro che tutte le aste siano considerate collegate fra loro. Per rendere la struttura isostatica, basta appoggiare la trave su una cerniera e due carrelli:

Assegno un carico sui nodi superiori della trave, escludendo nel computo il peso proprio della struttura:

Procedo alla scelta di una sezione da dare alle aste che compongono la trave reticolare. Scelgo come materiale l'acciaio:

Come ultimo passo, devo impostare i nodi che collegano le aste come dei nodi cerniera. Attraverso il comando ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0 opero un rilascio alle due estremità di ogni asta.

Posso ora avviare l'analisi della struttura e studiare la deformata e il diagramma degli sforzi assiali su ogni asta:

Posso anche studiare lo sforzo a cui sono sottoposti i nodi, attraverso il comando: SHOW FORCES/STRESSES > JOINTS.

Il programma ci fornisce una tabella con tutti gli sforzi assiali delle singole aste, attraverso il comando: DISPLAY > SHOW TABLES > ELEMENT FORCES - FRAMES 
Studiando la tabella posso facilmente scoprire quali sono i tiranti e quali i puntoni, i primi hanno il valore dello sforzo normale positivo, i secondi hanno valore negativo.