Esercitazione 4: Risoluzione di una trave tre volte iperstatica

Per  risolvere una struttura tre volte iperstatica (3 gradi di libertà e 6 gradi di vincolo, quindi con un numero di incognite maggiore al numero di equazioni di equilibrio), mi conviene visualizzare la trave come se non fosse un corpo unico su 5 appoggi, ma come se fosse una serie di travi doppiamente appoggiate.
In pratica per risolvere questo sistema iperstatico, uso un sistema isostatico di riferimento, a cui arrivo togliendo i tre gradi di vincolo che rendono iperstatica la struttura. In questo caso annullo la continuità della trave, dividendola in quattro corpi separati, eliminando quindi le tre reazioni vincolari interne che le terrebbero unite. In particolare trasformo le tre cerniere passanti degli appoggi B, C e D, in cerniere interne; permetto quindi una rotazione indipendente dei quattro corpi A-B, B-C, C-D, D-E. In corrispondenza delle cerniere applico poi il momento flettente che serve a ripristinare la continuità della trave. Con “X” indico la reazione vincolare interna.
La struttura assume così questo nuovo assetto:

Ho di conseguenza quattro sistemi isostatici.

Per risolvere il sistema parto dal trovare il valore dei tre momenti X₁,X₂ e X₃. Data la simmetria della struttura posso dire che X₁ = X₃. Cerco le incognite:

So che ΔϕB = ΔϕD=0 e ΔϕC=0

Ora uguagliando la rotazione a destra con quella a sinistra, dei punti analizzati, posso trovare i valori di X₁-X₃ e di X₂.

Il problema di avere tre gradi di vincolo di troppo è ora risolto! Conoscendo i loro valori posso procedere con facilità al calcolcolo delle reazioni vincolari. Applicando la sovrapposizione degli effetti, trovo le reazioni nei due sistemi di riferimento: iperstatico e isostatico.
Quindi una volta trovo le reazioni in base al carico distribuito q e poi le calcolo in base ai momenti X₁, X₂, X₃ come di seguito:

Sommo le reazioni vincolari trovate nei due sistemi:

Ora posso disegnare i diagrammi delle sollecitazioni di Taglio e Momento, trovando i valori nei vari punti.
Esempio di calcolo del diagramma del Momento:

Diagramma del taglio

Diagramma del momento