ESERCIZIO SULLA TORSIONE : GRATICCIO

Inviato da valentina.liguori il Dom, 23/06/2013 - 16:29

In questo esercizio studieremo il comportamento di due travi perpendicolari tra di loro , le quali collaborano tra di loro per garantire un miglior equilibrio alla struttura.

SCHEMA DI RIFERIMENTO

DEFORMATA

Lungo l'asta 2 avendo la forza che cade perfettamente al centro si avrà come detto precedentemento solo abbassamento, sull'asta 1 invece, abbiamo in y anche la rotazione poichè la forza non cade perfettamente al centro, ma a 1/3L .

Dunque  per quanto riguarda gli spostamenti sappiamo che ux = 0 , uy = 0 e uz = δ ; per quanto riguarda le rotazioni abbiamo solo φY. 

Le incognite che ci rimangono sono dunque due : δ e φY. 
δ lo troviamo facendo l'equazione all'equilibrio contro la traslazione verticale Σ Fz = 0 
φY lo troviamo facendo l'equazione all'equilibrio contro la rotazione My = 0
 
Studiamo ogni trave singolarmente facendo agire prima solo δ e poi solo la rotazione φY.
 
Facciamo agire solo δ 
 
          
 
 
Essendo le travi deformabili, il grosso elle variabili                                                                                                       sta nei nodi. 
 
Il nodo non si può spostare nè lungo x, ne lungo y                                                                                                perchè altrimenti le aste si allungherebbero o si                                                                                                           sposterebbero. Quindi si abbassa provocando un                                                                                                         abbassamento  δ.
La rotazione intorno all'asse z la elimino, perchè non ci sono le rotazioni lungo quel piano .Sull'aste 2, la rotazione in y invece c'è, visto che F non cadendo al centro fa ruotare l'asta.

 

        
Essendo le travi deformabili, il grosso elle variabili                                                                                                       sta nei nodi. 
 
Il nodo non si può spostare nè lungo x, ne lungo y                                                                                                perchè altrimenti le aste si allungherebbero o si                                                                                                           sposterebbero. Quindi si abbassa provocando un                                                                                                         abbassamento  δ.
La rotazione intorno all'asse z la elimino, perchè non ci sono le rotazioni lungo quel piano .Sull'aste 2, la rotazione in y invece c'è, visto che F non cadendo al centro fa ruotare l'asta.

 

Essendo le travi deformabili, il grosso elle variabili                                                                                                       sta nei nodi. 
 
Il nodo non si può spostare nè lungo x, ne lungo y                                                                                                perchè altrimenti le aste si allungherebbero o si                                                                                                           sposterebbero. Quindi si abbassa provocando un                                                                                                         abbassamento  δ.
La rotazione intorno all'asse z la elimino, perchè non ci sono le rotazioni lungo quel piano .Sull'aste 2, la rotazione in y invece c'è, visto che F non cadendo al centro fa ruotare l'asta.
Essendo le travi deformabili, il grosso elle variabili                                                                                                       sta nei nodi. 
 
Il nodo non si può spostare nè lungo x, ne lungo y                                                                                                perchè altrimenti le aste si allungherebbero o si                                                                                                           sposterebbero. Quindi si abbassa provocando un                                                                                                         abbassamento  δ.
La rotazione intorno all'asse z la elimino, perchè non ci sono le rotazioni lungo quel piano .Sull'aste 2, la rotazione in y invece c'è, visto che F non cadendo al centro fa ruotare l'asta.
Essendo le travi deformabili, il grosso elle variabili                                                                                                       sta nei nodi. 
 
Il nodo non si può spostare nè lungo x, ne lungo y                                                                                                perchè altrimenti le aste si allungherebbero o si                                                                                                           sposterebbero. Quindi si abbassa provocando un                                                                                                         abbassamento  δ.
La rotazione intorno all'asse z la elimino, perchè non ci sono le rotazioni lungo quel piano .Sull'aste 2, la rotazione in y invece c'è, visto che F non cadendo al centro fa ruotare l'ast
Facciamo agire solo φY
 
       
 
Sull'asse B-D la rotazione provoca rotazione torsionale concentrata , poichè tutto ciò che è flessionale in un piano retto , diventa torsionale in un piano perpendicolare.
 
 
 
Vediamo ora tutte le forze che arrivano al nodo 
 
Equilibrio di bilancio al nodo contro la traslazione lungo l'asse z 
 
 
Equazioni di bilancio della traslazione
 
Equilibrio di bilancio al nodo contro la rotazione lungo l'asse Y
 
 
Equazione di bilancio dei momenti 
Metto in evidenza δ e φY 
 
φY (12EI/L + 6EI/L + 4GJt/L) +  δ ( -54EI/L2 +27/2 EI/L2) = 0 
φY (18EI/L + 4GJt/L) +  δEI/L2 ( -54 +27/2) = 0 
EJ/L [ φY (18+ 4GJt/L) +  δ/L ( -81/2)] = 0 
 
Chiamo α = GJt/ EI
 
φY =  (18+ 4α) - 81/2 (δ/L) = 0
δ/L = 2/81(18 + 4α) φY = (36/81 + 8/81α) φY = (36 + 8α)/81φY
 
δ/L = (36 + 8α)/81φY
 
Altra equazione : 
 
F - (192EI/L3) δ - (324EI/L3) δ - 81/2(EI/L3) δ - 27/2 ( EI/L2) φY + (54EI/L2) φY   = 0
 
Moltiplico tutto per FL2/EI
 
FL2/EI - 192 δ/L - 324 δ/L - 81/2 δ/L - 27/2 φY + 54 φY = 0
 
Posso sommare e ottengo
 
FL2/EI - 516 δ/L - 81/2 δ/L + (- 27/2 φY + 54 ) φY = 0
FL2/EI - δ/L*(516+81/2) + 81/2  φY = 0
FL2/EI - δ/L*(1113/2) + 81/2  φY = 0
 
Vado ora a sostituire δ/L con l'equazione prima ottenuta
 
FL2/EI - 1113/2*[(36+8α)/81]φY+ 81/2  φY = 0
FL2/EI - 371/27*(18+4α)φY+ 81/2  φY = 0
FL2/EI = 371/27*(18+4α)φY+ 81/2  φY = 0
 
Metto φY in evidenza
 
φY[371/27*18 -81/2 + 371/27 * 4α ] = 0 
φY[1241/6 + 1484/27 α ] = 0 
FL2/EI = φY[1241/6 + 1484/27 α ]
 
φY = FL2/EI [1241/6 + 1484/27 α ]
 
Abbiamo così ottenuto φY e δ 
 
Definiamo ora una sezione inserendo dei valori noti per trovare i valori incogniti della rotazione e dello spostamento .
 
Supponiamo di realizzare una struttura in cls , in cui entrambe le aste abbiano la seguente sezione :
 
 
                                         
supponiamo di avere una luce di 8m e una forza applicata pari a 40kN
 
Sappiamo che :
 

Jt  ( coefficiente di resistenza a torsione)

c2 è tabelleto in funzione di a/b . In questo caso vale  a/b = 0.67/0.15= 4,46 →c2 = 0,291

Jt = c2ab3 = (0,291) 0,67 * (0,15)³ = 0,000658 m3

E (modulo di elasticità) = 21000000 kN/m2

I (momento di inerzia) = bh3/12 = (0,15 * 0,673) /12 = 0,003759 m4

G ( modulo di elasticità tangenziale) = 10000000 kN/m2

Andiamo ora a sostituire i valori noti nell'equazioni prima trovate 

Ricordiamo che :

δ/L = (36 + 8α)/81φY

φY = FL2/EI [1241/6 + 1484/27 α ]

α = GJt/EI = 10000000 * 0,000658 / 21000000 * 0,003759 = 0,083355

φY   =  40 * 64 / 21000000 * 0,003759 [ (1241/6 + 1484/27) * 0,08355] = 0,0001534

δ/L =  [(36 + 8 * 0,08355) / 81) * 0,0001534 = 0,0000808 

δ = 8 * 0,0000808 = 0,000646

VERIFICA SAP

Disegno la struttura grazie all'aiuto della griglia. Assegno i vincoli e la forza esterna, e cambio i valori del modulo di elasticità E e del modulo di elasticità tangenziale G. 

        

Assegno poi ad entrambe le travi la sezione scelta e faccio partire l'analisi. 

     

Leggiamo ora i risultati ottenuti. 

     

Abbiamo che Ux e Uy sono uguali a zero, mentre Uz = 0,0006524. Mentre per quanto riguarda la rotazione abbiamo un valore corrispondente a = 0,00008.
I valori trovati manualmente corrispondo, se non per un minimo scarto, a quelli trovati in sap. 
 
 
 
 
 
 
 
Equilibrio di bilancio al nodo contro la traslazione lungo l'asse z 
 
Equilibrio di bilancio al nodo contro la traslazione lungo l'asse z