Esercitazione RIGIDEZZA TORSIONALE

Analizzando il telaio preso in esempio e notiamo come il carico ripartito sull’asta AB produce una momento Ql²/2 corrispondente al nodo B.

Nel piano ZX la rotazione ϕ antioraria del momento provoca uno spostamento o una deformata che si traduce in FLESSIONE nella trave BC e pilastro BD. Dove c’è curvatura c’è momento flettente. Viene chiamata così in causa la rigidezza flessionale a rotazione della trave e del pilastro.

Analizzando il telaio preso in esempio e notiamo come il carico ripartito sull’asta AB produce una momento Ql²/2 corrispondente al nodo B.

 

Nel piano ZX la rotazione ϕ antioraria del momento provoca uno spostamento o una deformata che si traduce in FLESSIONE nella trave BC e pilastro BD. Dove c’è curvatura c’è momento flettente. Viene chiamata così in causa la rigidezza flessionale a rotazione  della trave e del pilastro.

 

Nel piano XY il momento provoca una rotazione che si traduce in torsione della trave BE, quindi un momento torcente (Mt) momento uguale ed opposto al momento flettente al nodo B,  chiamando in causa la rigidezza torsionale della trave. Rt= GJt/L

 

 

 

Equilibrio al Nodo (per trovarmi il valore di ϕ)

Ql²/2 - 4 EI/L ϕ - 4 EI/L ϕ - GJt/L ϕ = 0

Ql²/2 = (4 EI/L + 4 EI/L + GJt/L ) ϕ

dove  Kϕ= (8 EI/L + GJt/L ) (rigidezza al nodo)

a cui partecipano la rigidezza torsionale e la rigidezza flessionale

Allora come si ripartisce il momento esterno applicato provocato dalla trave a sbalzo?

Cerco ϕ 

ϕ= Ql²/2 *1/8 EI/L + GJt/L

dove:

Ql²/2= 15 kNm

E modulo di elasticità

I  momentod’inerzia

G modulo di elasticità tangenziale

L lunghezza della trave

Jt momento d’inerzia torsionale

Una volta trovato ϕ cerco tutti i valori delle rigidezze specifiche per ogni trave e pilastro.

Il momento applicato verrà ripartito a secondo delle diverse rigidezze.

trave BD= 3m; pilastro BC= 3m; trave BE= 1m;

Mf (trave BD)= 4 EI/L1ϕ

Mt (trave BE)= GJt/L ϕ

 

Mf (pilastro BC)= 4 EI/L ϕ

 

Esistono due tipologie di sezioni :

• •             Sezioni aperte
• •             Sezioni chiuse

Considerando diverse sezioni per la struttura, i valori dei due momenti ( flettente e torcente) varieranno al variare del materiale (acciao e cls ) e della geometria della sezione. Per esempio, il metodo dell’analogia idrodinamica studia il comportamento a torsione delle travi in funzione al loro tipo di  sezione  ( geometria del profilo).

 

Attraverso l’utilizzo di SAP2000 applicheremo profili in Cls ed Acciaio alla struttura per analizzare l’esito che il rispettivo momento d’inerzia ha sulla rigidezza torsionale momento di inerzia polare  Jt che dipende dalla sezione, e del modulo di elasticità tangenziale G che dipende dal materiale:

Iniziamo i nostri calcoli....prima a mano e poi li verificheremo su SAP2000.

CALCESTRUZZO

sezione RETTANGOLARE  67x15cm

Q= 30kN  Ql²/2 = 15kNm

E= 21 10⁶ kN/m²

I =bh³/12 = 0.15*(0.67)³/12 = 0.0037 m⁴

G =10.000 N/mm² = 10⁷ kN/m²

 

Inserisco  questi dati in SAP2000 “material property data”. G ha un nuovo valore cioè 8750000 kN/m²

L = trave BD = 3m; pilastro BC = 3m; trave BE = 1m;

Jt= C₂ab³                      C₂=a/b  (altezza/base) = 0.67/0.15= 4.46 quindi C₂=0,281

 

= 0,281( 0.67)(0.15)³ = 0,00064m⁴

 

Cerco ϕ:

Equazione di Equilibrio al nodo:

RA = (8 EI/L + GJt/L )

RA = 8 (21 10⁶ * 0.0037)/3 + (8750000* 0,00064/3) ϕ

RA = (207200 + 1866.66) = 209066.66 kN/m

ϕA = 15/209066.66 = 0, 00007174

Mf (pilastro BC) =Mf (trave BD)= 4EI/L1 ϕ  con L=3m

(4*21 10⁶ * 0.0037/3)* 0, 00007174 = 7.432 kNm

Mt (trave BE)= GJt/L ϕ con L=3m

(8750000* 0, 00064/3)* 0, 00007174 = 0,133 kNm

M1+M2+M3 = Ql²/2

7.432+7.432+ 0,133 = 15 kNm

Su sap il nodo 3d con le 3 aste incastrate e un momento di 15 kNm applicato nel nodo B. Qui, tutte e tre le aste hanno una sezione in calcestruzzo rettangolare come per i calcoli manuali. nel definire la sezione è importante che anche su sap il cls abbia lo stesso modulo di elasticità e modulo di elasticità tangenziale.

Le tre aste con la Forza di 15 kN applicata sul nodo B

Deformed shape _ Deformata

 

Cambio la sezione della trave BE ed analizzo i risultati

sezione CIRCOLARE  d = 36cm

Q= 30kN  Ql²/2 = 15kNm

E= 21 10⁶ kN/m²

I =bh³/12 = 0.15*(0.67)³/12 = 0.0037 m⁴

G =10.000 N/mm² = 10⁷ kN/m²

dati in SAP2000 “material property data”. G ha un nuovo valore cioè 8750000 kN/m²

L = trave BD = 3m; pilastro BC = 3m; trave BE = 1m;

 

Jt= Ip (momento polare d’inerzia) = π R⁴/2 = π (0.18)⁴/2 = 0.00164 m⁴

Cerco ϕ:

Equazione di Equilibrio al nodo:

RA = (8 EI/L + GJt/L )

RA = 8 (21 10⁶ * 0.0037)/3 + (8750000* 0.00164 /3) ϕ

RA = (207200 + 4783,33) = 211983,33 kN/m

ϕA = 15/211983,33 =0, 00007076

Mf (pilastro BC) =Mf (trave BD)= 4EI/L1 ϕ  con L=3m

(4*21 10⁶ * 0.0037/3)* 0, 00007076= 7.33 kN/m

Mt (trave BE)= GJt/L ϕcon L=3m 

(8750000* 0.00164 /3)* 0, 00007076= 0,338 kN/m

M1+M2+M3 = Ql²/2

7.33 +7.33 + 0,338 = 15 kN/m

Torno su SAP2000 e rinserisco i valori:

 

ACCIAIO

sezione APERTA

HEB 200 mm x 200 mm 

Q = 30kN/mq  Ql²/2 = 15kN/mq

E= 208 10⁶ kN/mq

I =5,544 10⁻⁵ m⁴

G = 80 10⁶ kN/mq

L = trave BD = 3m; pilastro BC = 3m; trave BE = 1m;

Jt1= C2*a*b³ = (0.333)(20)(1.5)³= 22,47 cm⁴   C2= a/b

Jt2= C2*a*b³ = (0.333)(17)(1)³= 5,66 cm⁴

Jt TOT = 22,47 + 22,47 + 5,66 = 50.6 cm⁴ = 50.6 10⁻⁸ m⁴

cerco ϕ:

Equazione di Equilibrio al nodo:

RA = (8 EI/L + GJt/L )

RA = 8 (208 10⁶ * 5,544 10⁻⁵)/3 + (80 10⁶ * 50.6 10⁻⁸ /3) ϕ

RA = (30750,72 + 13.49) = 30764,21 kN/m

ϕA = 15/30764,21 = 0, 0004875

Mf (pilastro BC) =Mf (trave BD) = 4EI/L1 ϕ  con L=3m

(4*208 10⁶ * 5,544 10⁻⁵/3)* 0, 0004875= 7.49 kN/m

 

Mt (trave BE) = GJt/L ϕcon L=3m

(80 10⁶ * 50.6 10⁻⁸ /3)* 0, 0004875 = 0,006578 kN/m

M1+M2+M3 = Ql²/2

7.49 +7.49 + 0,006578 = 15 kN/m

 

inseriamo i dati in SAP2000

Cambio la sezione della trave BE ed analizzo i risultati

sezione SCATOLARE

HEB 200 mm x 200 mm

Q=30kN/mq  Ql²/2 = 15kN/mq

E = 208 10⁶ kN/mq

I = 5,544 10⁻⁵ m⁴

G = 80 10⁶ kN/mq

L = trave BD = 3m; pilastro BC = 3m; trave BE = 1m;

Jt = 4Ω²t/Lm

4(20*20) ² (1)/19*4

640000/76 = 0,00008421 m4

cerco ϕ:

Equazione di Equilibrio al nodo:

RA = (8 EI/L + GJt/L )

RA = 8 (208 10⁶ * 5,544 10⁻⁵)/3 + (80 10⁶ * 0,00011875/3) ϕ

RA = (30750,72 + 3166,66) = 33917,38 kN/m

ϕA = 15/33917,38 = 0, 0004422

Mf (pilastro BC) =Mf (trave BD) = 4EI/L1 ϕ  con L=3m

(4*208 10⁶ * 5,544 10⁻⁵/3)* 0, 0004422= 6.79 kNm

Mt (trave BE) = GJt/L ϕcon L=3m

(80 10⁶ * 0,00011875 /3)* 0, 0004422= 1,40 kNm

M1+M2+M3 = Ql²/2

6.79 +6.79 + 1,40= 15 kNm

inseriamo i dati in SAP2000

CONCLUSIONE

Osserviamo la tabella. Nel  CLS  sezione circolare piena la rigidezza della trave BE (quella soggetta a torsione), è maggiore rispetto alla sezione rettangolare.

Nella sezione circolare piena il Jt momento d’inerzia torsionale è più alto rispetto a quello nell’altra sezione.

Nell’acciaio la sezione chiusa scatolare della trave BE ha una rigidezza maggiore rispetto alla stessa rigidezza nella sezione HEB, la sua rotazione R2 ha il valore più piccolo tra tutte le sezioni. Inoltre notiamo, che l’acciaio offre una maggiore resistenza torsionale rispetto a quelle in cls armato perchè il modulo di elasticità tangenziale (G) è superiore.

La rigidezza delle aste sarà data dal momento flettente o il momento torsionale diviso la rotazione k=M/o  kN rad