blog di giustino.cacciotti

Trave Reticolare 3D SAP2000

1. ACAD 

Prima di tutto disegnamo su ACAD la struttura, facendo ben attenzione che ogni asta sia un elemento separato un modello di 2x2x2. Salvare il file di ACAD in DFX vs 2000.

IMPORTARE il file DFX in SAP2000

Apriamo SAP2000 e importiamo il modello creato in ACAD.  File-import-Autocad DXF.file.

Impostare l’unità di misura su KN,m,C e su DXF Import – Frames – “TRAVE RETICOLARE”.

SAP potrebbe importare la struttura  con degli errori quindi per eliminarli selezionare tutta la struttura  - edit-edit points-merge points-merge tolerance 0.05

ASSEGNO UNA SEZIONE TUBOLARE ALLA STRUTTURA

Assegno alla struttura una sezione e un materiale – steel 

Ho bisogno di definire il peso proprio della struttura uguale a “zero” – define-load patterns-

ASSEGNO I VINCOLI ALLA STRUTTURA

Selezioniamo 3 nodi e assegnamo 2 carrelli e 1 cerniera facendo attenzione che essi non siano allineati.

ASSEGNO LE FORZE (  i carichi) ALLA STRUTTURA

Imposto il rilascio: i nodi della struttura sono delle cerniere ed essi non trasmettono momento, per SAP dobbiamo assegnare il rilascioall’inizio e alla fine delle aste, selezioniamo la struttura  e...

ANALISI DELLA STRUTTURA

La DEFORMATA

Le Reazioni vincolari in prossimità dei vincoli

Diagrammi dello Sforzo normale

Ho bisogno della tabella per verificare lo sforzo normale di ogni asta e calcolarmi la tensione su ognuna di essa.

Display-show tables

Il graticcio è una struttura dove esiste una collaborazione tra due sistemi di travi non necessariamente ortogonali tra loro senza alcuna gerarchia (trave principale con trave secondaria). Le travi che lo compongono hanno lo stesso momento d’inerzia quindi la stessa sezione e materiale. I nodi sono tutti incastri e permettono il passaggio di momento e quindi il ripristino della continuità della trave. Il graticcio viene utilizzato per la copertura di grandi luci garantendo una rigidezza maggiore a parità di area d’influenza rispetto a un sistema di travi a sitema gerarchico poichè le risposte elastiche provocate dalla posizione del carico sulle aste si sommano.

Nel procedere con il risolvere l’esercizio con il metodo delle rigidezze dobbiamo tenere in mente il concetto che:

la forza si ripartisce in proporzione alla rigidezza degli elementi concorrenti.

Procederemo con i seguenti passi:

• Analisi della struttura e delle variabili (spostamenti e rotazioni possibile che la struttura subisce)

• Definizione delle equazioni di equilibrio

• Determinazione delle incognite φ, δ 
•  Verifica su SAP2000 e conclusioni.

Analisi della struttura e delle variabili:

Nello spazio 3D il nodo può  traslare e ruotare lungo le tre assi x,y,z quindi ha 6 gradi di libertà.

In questo caso esso viene considerato indeformabile lungo l’asse x ed y (Il nodo non può traslare in verticale ed orizzontale lungo le assi x, y) perchè provocherebbe un’accorciamento o allungamento delle aste inoltre una rotazione attorno all’asse “Z” non è possibile φz=0;

Soltanto una deformazione un abbassamento (δ) lungo l’asse Z  è permesso dovuto alla forza concentrata F.

abbiamo una rotazione attorno all’asse y in quanto la forza applicata al nodo nell’asta AC non è al centro ma ad 1/3 quindi la tangente alla deformata che si viene a formare non è orizzontale, creando una piccola rotazione dell’asta.

Nell’asta BD invece la forza applicata al nodo è nella mezzaria dell’asta e quindi la tangente è ortogonale alla deformata, avendo cosi una curvatura X=0

Le nostre nostre due incognite di spostamento sono:

•     abbassamento  δz

•     rotazione φy

•  Definizione delle equazioni di equilibrio 

Utilizzando il metodo la sovrapposizione degli effetti ci permetterà di analizzare separatamente come agiscono le nostre incognite di spostamento sulla struttura.

Analizziamo l’abbassamento δ

(Grazie agli schemi notevoli di una trave doppiamente incastrata possiamo ricavarci i valori di taglio e momento flettente)

Nella trave BD i momenti sono uguali e contrari quindi si annullano essi rappresentano un eventuale rotazione attorno all’asse “X” che abbiamo precedentemente stabilito che non ci fosse.

Cosa succede alla rotazione dell'asta AC lungo l’asse “Y” φy ?

(Grazie agli schemi notevoli di una trave doppiamente incastrata con una rotazione applicata ad un estremo, possiamo ricavarci valori del taglio e momento).

La flessione sulla trave AC provoca la torsione della trave BD come viene dimostrato nella figura seguente.

Il momento torcente (Mt) provoca due momenti torcenti uguali ed opposti (Mt)

Scriviamo le equazioni di equilibrio alla traslazione ( grazie alla sovvrapposizione degli effetti)

Scriviamo le equazioni di equilibrio alla rotazione ( grazie alla sovvrapposizione degli effetti)Scriviamo le equazioni di equilibrio alla rotazione ( grazie alla sovvrapposizione degli effetti).

Determinazione delle incognite φ, δ 

Cerchiamo un valore per δ:

Cerco un valore φy e determino le due incognite φy, δ 

 Verifica su SAP2000 e conclusioni

Lo scopo è quello di quantificare le variazione degli abbassamenti dovuti alla forza applicata al nodo e delle rispettive rotazioni e capire come variano le rigidezze torsionali in ragione del tipo di profilo (sezione) che viene utilizzato.

La struttura analizzata è un graticcio semplice formato da travi di lunghezza 6m ortogonali tra loro e incastrate nell’asta BD nel punto di mezzeria, mentre nell’asta AC a 1/3 della lunghezza, una forza F=30 KN applicata al nodo centrale.

PROFILO TRAVI: Calcestruzzo

sezione RETTANGOLARE  67x15cm

Q= 30 kN/mq  

E = 21 10⁶ kN/m²

I =bh³/12 = 0.15*(0.67)³/12 = 0.0037 m⁴

G =10.000 N/mm² = 10⁷ kN/m²

L = trave BD = trave AC = 6m

Jt = C₂ab³                      C₂=a/b  (altezza/base) = 0.67/0.15= 4.46 quindi C₂=0,281

= 0,281( 0.67)(0.15) ³ = 0,00064 m⁴

1. Definisco la struttura ed assegno alla trave il materiale e la sezione (dettagli sopra)

2. Run Analysis

In questa esecitazione analizzeremo l’effetto della torsione su un telaio, 12 volte iperstatico e in seguito attraverso SAP2000 analizzeremo come la rigidezza torsionale del telaio varia in base alle scelte progettuali ( differenti materiali e geometria nella sezione delle travi e pilastri).

Analizzando il telaio preso in esempio e notiamo come il carico ripartito sull’asta AB produce una momento Ql²/2 corrispondente al nodo B.

Nel piano ZX la rotazione ϕ antioraria del momento provoca uno spostamento o una deformata che si traduce in FLESSIONE nella trave BC e pilastro BD. Dove c’è curvatura c’è momento flettente. Viene chiamata così in causa la rigidezza flessionale a rotazione della trave e del pilastro.

Nel piano XY il momento provoca una rotazione che si traduce in torsione della trave BE, quindi un momento torcente (Mt) momento uguale ed opposto al momento flettente al nodo B,  chiamando in causa la rigidezza torsionale della trave.

Rt = GJt/L

Analizzando il telaio preso in esempio e notiamo come il carico ripartito sull’asta AB produce una momento Ql²/2 corrispondente al nodo B.

Nel piano ZX la rotazione ϕ antioraria del momento provoca uno spostamento o una deformata che si traduce in FLESSIONE nella trave BC e pilastro BD. Dove c’è curvatura c’è momento flettente. Viene chiamata così in causa la rigidezza flessionale a rotazione della trave e del pilastro.

Analizzando il telaio preso in esempio e notiamo come il carico ripartito sull’asta AB produce una momento Ql²/2 corrispondente al nodo B.

 

Nel piano ZX la rotazione ϕ antioraria del momento provoca uno spostamento o una deformata che si traduce in FLESSIONE nella trave BC e pilastro BD. Dove c’è curvatura c’è momento flettente. Viene chiamata così in causa la rigidezza flessionale a rotazione  della trave e del pilastro.

 

Nel piano XY il momento provoca una rotazione che si traduce in torsione della trave BE, quindi un momento torcente (Mt) momento uguale ed opposto al momento flettente al nodo B,  chiamando in causa la rigidezza torsionale della trave. Rt= GJt/L

 

 

 

Equilibrio al Nodo (per trovarmi il valore di ϕ)

Ql²/2 - 4 EI/L ϕ - 4 EI/L ϕ - GJt/L ϕ = 0

Ql²/2 = (4 EI/L + 4 EI/L + GJt/L ) ϕ

dove  Kϕ= (8 EI/L + GJt/L ) (rigidezza al nodo)

a cui partecipano la rigidezza torsionale e la rigidezza flessionale

Allora come si ripartisce il momento esterno applicato provocato dalla trave a sbalzo?

Cerco ϕ 

ϕ= Ql²/2 *1/8 EI/L + GJt/L

dove:

Ql²/2= 15 kNm

E modulo di elasticità

I  momentod’inerzia

G modulo di elasticità tangenziale

L lunghezza della trave

Jt momento d’inerzia torsionale

Una volta trovato ϕ cerco tutti i valori delle rigidezze specifiche per ogni trave e pilastro.

Il momento applicato verrà ripartito a secondo delle diverse rigidezze.

trave BD= 3m; pilastro BC= 3m; trave BE= 1m;

Mf (trave BD)= 4 EI/L1ϕ

Mt (trave BE)= GJt/L ϕ

 

Mf (pilastro BC)= 4 EI/L ϕ

 

Esistono due tipologie di sezioni :

• •             Sezioni aperte
• •             Sezioni chiuse

Considerando diverse sezioni per la struttura, i valori dei due momenti ( flettente e torcente) varieranno al variare del materiale (acciao e cls ) e della geometria della sezione. Per esempio, il metodo dell’analogia idrodinamica studia il comportamento a torsione delle travi in funzione al loro tipo di  sezione  ( geometria del profilo).

 

Attraverso l’utilizzo di SAP2000 applicheremo profili in Cls ed Acciaio alla struttura per analizzare l’esito che il rispettivo momento d’inerzia ha sulla rigidezza torsionale momento di inerzia polare  Jt che dipende dalla sezione, e del modulo di elasticità tangenziale G che dipende dal materiale:

Iniziamo i nostri calcoli....prima a mano e poi li verificheremo su SAP2000.

CALCESTRUZZO

sezione RETTANGOLARE  67x15cm

Q= 30kN  Ql²/2 = 15kNm

E= 21 10⁶ kN/m²

I =bh³/12 = 0.15*(0.67)³/12 = 0.0037 m⁴

G =10.000 N/mm² = 10⁷ kN/m²

 

Inserisco  questi dati in SAP2000 “material property data”. G ha un nuovo valore cioè 8750000 kN/m²

L = trave BD = 3m; pilastro BC = 3m; trave BE = 1m;

Jt= C₂ab³                      C₂=a/b  (altezza/base) = 0.67/0.15= 4.46 quindi C₂=0,281

 

= 0,281( 0.67)(0.15)³ = 0,00064m⁴

 

Cerco ϕ:

Equazione di Equilibrio al nodo:

RA = (8 EI/L + GJt/L )

RA = 8 (21 10⁶ * 0.0037)/3 + (8750000* 0,00064/3) ϕ

RA = (207200 + 1866.66) = 209066.66 kN/m

ϕA = 15/209066.66 = 0, 00007174

Mf (pilastro BC) =Mf (trave BD)= 4EI/L1 ϕ  con L=3m

(4*21 10⁶ * 0.0037/3)* 0, 00007174 = 7.432 kNm

Mt (trave BE)= GJt/L ϕ con L=3m

(8750000* 0, 00064/3)* 0, 00007174 = 0,133 kNm

M1+M2+M3 = Ql²/2

7.432+7.432+ 0,133 = 15 kNm

Su sap il nodo 3d con le 3 aste incastrate e un momento di 15 kNm applicato nel nodo B. Qui, tutte e tre le aste hanno una sezione in calcestruzzo rettangolare come per i calcoli manuali. nel definire la sezione è importante che anche su sap il cls abbia lo stesso modulo di elasticità e modulo di elasticità tangenziale.

Le tre aste con la Forza di 15 kN applicata sul nodo B

Deformed shape _ Deformata

 

Cambio la sezione della trave BE ed analizzo i risultati

sezione CIRCOLARE  d = 36cm

Q= 30kN  Ql²/2 = 15kNm

E= 21 10⁶ kN/m²

I =bh³/12 = 0.15*(0.67)³/12 = 0.0037 m⁴

G =10.000 N/mm² = 10⁷ kN/m²

dati in SAP2000 “material property data”. G ha un nuovo valore cioè 8750000 kN/m²

L = trave BD = 3m; pilastro BC = 3m; trave BE = 1m;

 

Jt= Ip (momento polare d’inerzia) = π R⁴/2 = π (0.18)⁴/2 = 0.00164 m⁴

Cerco ϕ:

Equazione di Equilibrio al nodo:

RA = (8 EI/L + GJt/L )

RA = 8 (21 10⁶ * 0.0037)/3 + (8750000* 0.00164 /3) ϕ

RA = (207200 + 4783,33) = 211983,33 kN/m

ϕA = 15/211983,33 =0, 00007076

Mf (pilastro BC) =Mf (trave BD)= 4EI/L1 ϕ  con L=3m

(4*21 10⁶ * 0.0037/3)* 0, 00007076= 7.33 kN/m

Mt (trave BE)= GJt/L ϕcon L=3m 

(8750000* 0.00164 /3)* 0, 00007076= 0,338 kN/m

M1+M2+M3 = Ql²/2

7.33 +7.33 + 0,338 = 15 kN/m

Torno su SAP2000 e rinserisco i valori:

 

ACCIAIO

sezione APERTA

HEB 200 mm x 200 mm 

Q = 30kN/mq  Ql²/2 = 15kN/mq

E= 208 10⁶ kN/mq

I =5,544 10⁻⁵ m⁴

G = 80 10⁶ kN/mq

L = trave BD = 3m; pilastro BC = 3m; trave BE = 1m;

Jt1= C2*a*b³ = (0.333)(20)(1.5)³= 22,47 cm⁴   C2= a/b

Jt2= C2*a*b³ = (0.333)(17)(1)³= 5,66 cm⁴

Jt TOT = 22,47 + 22,47 + 5,66 = 50.6 cm⁴ = 50.6 10⁻⁸ m⁴

cerco ϕ:

Equazione di Equilibrio al nodo:

RA = (8 EI/L + GJt/L )

RA = 8 (208 10⁶ * 5,544 10⁻⁵)/3 + (80 10⁶ * 50.6 10⁻⁸ /3) ϕ

RA = (30750,72 + 13.49) = 30764,21 kN/m

ϕA = 15/30764,21 = 0, 0004875

Mf (pilastro BC) =Mf (trave BD) = 4EI/L1 ϕ  con L=3m

(4*208 10⁶ * 5,544 10⁻⁵/3)* 0, 0004875= 7.49 kN/m

 

Mt (trave BE) = GJt/L ϕcon L=3m

(80 10⁶ * 50.6 10⁻⁸ /3)* 0, 0004875 = 0,006578 kN/m

M1+M2+M3 = Ql²/2

7.49 +7.49 + 0,006578 = 15 kN/m

 

inseriamo i dati in SAP2000

Cambio la sezione della trave BE ed analizzo i risultati

sezione SCATOLARE

HEB 200 mm x 200 mm

Q=30kN/mq  Ql²/2 = 15kN/mq

E = 208 10⁶ kN/mq

I = 5,544 10⁻⁵ m⁴

G = 80 10⁶ kN/mq

L = trave BD = 3m; pilastro BC = 3m; trave BE = 1m;

Jt = 4Ω²t/Lm

4(20*20) ² (1)/19*4

640000/76 = 0,00008421 m4

cerco ϕ:

Equazione di Equilibrio al nodo:

RA = (8 EI/L + GJt/L )

RA = 8 (208 10⁶ * 5,544 10⁻⁵)/3 + (80 10⁶ * 0,00011875/3) ϕ

RA = (30750,72 + 3166,66) = 33917,38 kN/m

ϕA = 15/33917,38 = 0, 0004422

Mf (pilastro BC) =Mf (trave BD) = 4EI/L1 ϕ  con L=3m

(4*208 10⁶ * 5,544 10⁻⁵/3)* 0, 0004422= 6.79 kNm

Mt (trave BE) = GJt/L ϕcon L=3m

(80 10⁶ * 0,00011875 /3)* 0, 0004422= 1,40 kNm

M1+M2+M3 = Ql²/2

6.79 +6.79 + 1,40= 15 kNm

inseriamo i dati in SAP2000

CONCLUSIONE

Osserviamo la tabella. Nel  CLS  sezione circolare piena la rigidezza della trave BE (quella soggetta a torsione), è maggiore rispetto alla sezione rettangolare.

Nella sezione circolare piena il Jt momento d’inerzia torsionale è più alto rispetto a quello nell’altra sezione.

Nell’acciaio la sezione chiusa scatolare della trave BE ha una rigidezza maggiore rispetto alla stessa rigidezza nella sezione HEB, la sua rotazione R2 ha il valore più piccolo tra tutte le sezioni. Inoltre notiamo, che l’acciaio offre una maggiore resistenza torsionale rispetto a quelle in cls armato perchè il modulo di elasticità tangenziale (G) è superiore.

La rigidezza delle aste sarà data dal momento flettente o il momento torsionale diviso la rotazione k=M/o  kN rad

 

 

Se consideriamo gli impalcati come corpi rigidi sul proprio piano, gli spostamenti che essi potranno compiere saranno: traslazione verticale U_v (m), orizzontale Uo (m) e rotazione φ.

Per esempio la forza orizzontale (forza sismica o la forza del vento) tende a spostarli, ma i controventi contrastano questa azione grazie alla loro elasticità.

Il controvento nell’impalcato piano può essere definito come un appoggio cedevole elasticamente infatti essi sono come molle con una data rigidezza K (kN/m). In un impalcato queste rigidezze possono essere differenti e causare una rotazione.

In questa esercitazioni ci viene chiesto di progettare una trave a RESISTENZA utilizzando il metodo delle TENSIONI ammissibili che consiste nell’eguagliare la tensione massima del materiale alla sua tensione ammissibile. L’esercizio prevede il dimensionamento di una trave maggiormente sollecitata in un solaio in LEGNO, un solaio in ACCIAIO e un solaio in C.A.

La trave evidenziata in rosso è soggetta a maggior carico e quindi a maggior momento flettente.

L'impalcato in questione è di un edificio nel centro di Roma. Ho bisogno di luci molto grandi come quella di 11m per questioni distributive degli spazi interni.

In questo caso l’area d’influenza per la trave caricata è:

A= 11 x 5.5 = 60,5 m²

L = 11m

I = 5,5m 

1.     Analisi dei carichi

Per dimensionare al meglio una trave ho bisogno di conoscere ed analizzare tutti i carichi che agiscono sulla struttura.

1. Il carico strutturale qs[KN/mq]: il peso di tutti gli elementi stutturali.
2. Il carico permanente qp[KN/mq]: i carichi che fanno parte del pacchetto solaio, il carico degli impianti 0,5 KN/mq, il carico dato dai tramezzi pari a 1KN/mq.
3. Il carico accidentale qa[KN/mq]: legato alla destinazione d’uso dell’edificio e viene dato dalla normativa he per edifici residenziali è stimato pari a 2 KN/mq(considera la variazione di carico data dagli arredi, persone che possono variare nel corsodel tempo) per uffici 3 KN/mq.

SOLAIO IN ACCIAIO

Per poter dimensionare la trave, devo tener conto nei carichi strutturali anche del peso dei travetti, che è necessario dimensionare.

Dimensionamento travetti del solaio

Carico strutturale Qs [KN/mq]: lamiera Grecata, soletta

lamiera Grecata HiBond A55-P600 h.55 mm (luce max ≤2,80m)+ soletta cls sp. 9 cm =14,5 cm

Qs= 1,65 (kN/mq)

Carico permanente Qp [KN/mq]

(massetto, rete elettrosaldata, controsoffitto, impianti, tramezzi)

Massetto sp 40 mm

Peso Specifico = 2100  Kg/mc    F=m.a

F=2100x(9,81)

=21 kN/mc

Volume  al mq =  0,04 m x 1m x 1m = 0,04 mc

Peso al mq = 0,04 m x 21 Kg/mc = 0,84 KN/mq

Rete elettrosaldata 620/2  AD (diam. 6mm_ 200mm x 200mm)

Peso al mq = 2,29 Kg/mq

= 0,02 KN/mq

Controsoffitto in cartongesso (sp. 15 mm):

Peso Specifico = 1325  Kg/mc

Volume  al mq =  0,015 m x 1m x 1m = 0,015 mc

Peso al mq = 0,015 m x 1325 Kg/mc = 19,875 Kg/mq = 0,2 KN/mq

Incidenza Impianti:

0,5 KN/mq

Incidenza Tramezzi:

1 KN/mq

Qp = 2,56 kN/ mq

Carico accidentale Qa [KN/mq]: legato alla destinazione d’uso.

Nel progetto questo ambiente è destinato ad uffici quindi 3 kN/mq

Qa = 3 kN/ mq

Qtotale mq= 1,65+2,56+3 =  7,18 KN/mq

Per trasformare Q in metri lineari = 7,18*interasse

TRAVETTI-a: ( interasse 2,75m; luce 5,5m)

Inserisco i valori ottenuti nella scheda di Excel e scelgo il tipo di acciaio Fe 430/S275 fy,k=275 (tensione di snervamento dell’acciaio)

La tensione σ amm è data dal valore di fy,k/ il COEFFICENTE DI SICUREZZA Y (1,15 nell’acciaio).

σamm = fy,k/y = 275/1,15= 239,13 N/mm²

Il modulo di RESISTENZA A FLESSIONE (minimo) lo ricavo dalla formula di Navier per poi poter scegliere il profilo appropriato (sulle tabelle dei profili in acciaio).

Wxmin= M/σ amm = 74,9/0,23913 = 313,21 cm³

Inserendo tutti i valori in excell trovo che il mio  Wx = 313,5 cm3

Nella tabella dei profili metallici (sotto riportata) scelgo un profilo adatto che abbia 

un modulo di resistenza a flessione Wx maggiore di quello da me trovato,

scelgo un IPE 240 con Wx =324 cm3,  Peso travetto = 30,7 Kg/m

Peso travetto al mq: 0,307/2,75 (interasse) =  0,111 kN/mq

che vado a sommare al Qs = 1,65 kN/ mq per un totale di 1,76 kN/mq

inserisco il nuovo valore di Qs in excell e verifico la trave (vedi tabella sotto)

Utilizzo questo esercizio per dimensionare le travi per il mio progetto di uffici, per poi scegliere la strategia migliore da adottare guardando anche all'aspetto economico e della messa in opera delle travi in cantiere (per velocizzare il lavoro e ridurre gli errori)

TRAVE 1: ( interasse 5,5 m; luce 6,5m)

Qs= 1,76 kN/mq

Qp = 2,56 kN/ mq

Qa = 3 kN/ mq

Il modulo di resistenza a flessione (minimo) é Wx = 890 cm3

Quindi un scelgo un IPE 360

un IPE 360 con Wx =904 cm3,  Peso travetto = 57,1 Kg/m

Peso TRAVE 1 al mq: 0,571/5,5 (interasse) =  0,103 kN/mq

TRAVE 2: ( interasse 5,5 m; luce 11m) è la trave maggiormente caricata

Qs= 1,76 kN/mq

Qp = 2,56 kN/ mq

Qa = 3 kN/ mq

Il modulo di resistenza a flessione (minimo) é Wx = 2546,45 cm3

Quindi un scelgo un IPE 600

un IPE 600 con Wx =3070 cm3,  Peso trave = 122 Kg/m

Peso TRAVE 2 al mq: 1,22/11 (interasse) =  0,110 kN/mq

TRAVE 3: ( interasse 5,5 m; luce 5,5m)

Qs= 1,76 kN/mq

Qp = 2,56 kN/ mq

Qa = 3 kN/ mq

Il modulo di resistenza a flessione (minimo) é Wx = 637 cm3

Quindi un scelgo un IPE 330

un IPE 330 conWx =713 cm3,  Peso travetto = 49,1 Kg/m

Peso TRAVE 3 al mq: 0,491/5,5 (interasse) =  0,089 kN/mq

Nel nostro progetto utilizzeremo le seguenti IPE:

TRAVE 1: ( interasse 5,5 m; luce 6,5m) IPE 360

TRAVE 2: ( interasse 5,5 m; luce 11m) IPE 600 la trave più caricata

TRAVE 3: ( interasse 5,5 m; luce 5,5m) IPE 330

TRAVETTI-a: ( interasse 2,75m; luce 5,5m) IPE 240

TRAVETTI-b: ( interasse 3,29m; luce 5,5m) IPE 270

Utilizzeremo la IPE 600 e la IPE 360 anche se questo vorrà dire un aumento dei costi però evitiamo errori di cantiere avendo solo due grandezze di travi.

Il Metodo delle Forze

Il Metodo delle forze viene utilizzato per la risoluzione di strutture iperstatiche e si adatta perfettamente al caso di strutture iperstatiche composte da travi come la tave singola, la trave continua su più appoggi.

Il metodo si articola in quattro passi:

1.     la scelta di una struttura isostatica di riferimento e l’individuazione delle incognite iperstatiche.

2.     la scrittura delle equazioni di compatibilità cinematica.

3.     la risoluzione del sistema di equazioni per la determinazione delle incognite iperstatiche.

4.     la sistematica applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti per la determinazione delle azioni di contatto sulla struttura iperstatica.

Trave continua su cinque appoggi_ La trave è 3 volte iperstatica

GDV= 6 

GDL= 3

1.     scelta di una struttura isostatica di riferimento e l’individuazione delle incognite iperstatiche.

Scelgo una struttura  isostatica di riferimento. Trasformo le cerniere in B, C e D in cerniere interne applicando dei momenti X1, X2. Essendo la trave simmetrica nel punto C posso applicare X1 anche in D. Le incognite sono X1e X2.

Trattare una trave continua su più appoggi come un insieme di travi appoggiate rende più semplice la soluzione del problema iperstatico.

2.     la scrittura delle equazioni di compatibilità cinematica.

Per ripristinare le condizione di vincolo di continuità della trave devo imporre le equazioni di compatibilità cinematica, la rotazione relativa nei punti sia a sinistra (S) che a destra (D)  in cui ho rimosso il vincolo:

ΔφB = 0 

φBS – φBD = 0

φBS = ql³/24EJ – X1l/3EJ

φBD = - ql³/24EJ + X1l/3EJ + X2l/6EJ

ΔφC = 0 

φCS – φCD = 0

φCS = + ql³/24EJ - X2l/3EJ – X1l/6EJ

φCD = - ql³/24EJ + X2l/3EJ + X1l/6EJ

ΔφB = ΔφC

3.    la risoluzione del sistema di equazioni per la determinazione delle incognite iperstatiche.

Consideriamo i seguenti tratti:

Troviamo le incognite X1e X2:

ΔφB = 0  

φBS – φBD = 0

ql³/24EI - X1L/3EI+ ql³/24EI - X1L/3EI - X2L/6EI=0

2ql³/24EI - 2X1L/3EI - X2L/6EI=0

X2/2 = -2X1+ ql²/4

X2= -4X1+ ql²/2     

ΔφC = 0 

φCS – φCD = 0

ql³/24EI – X2l/3EI - X1l/6EI+ ql³/24EI - X2l/3EI - X1l/6EI=0

2ql³/24EI – 2X2l/3EI - 2X1l/6EI=0

-X1/2 = X2 - ql²/8  

X1= - 2X2- ql²/4    sostituisco in ΔφB = 0 

X2= -4(-2X2- ql²/4)+ ql²/2    

X2= 8X2- ql² + ql²/2   

ql² - ql²/2 = 7X2

X2= ql²/14

X1= 3/28 ql²

4.   la sistematica applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti per la determinazione delle azioni di contatto sulla struttura iperstatica.

Trovate le incognite X1 e X2 posso cercare le reazioni vincolari:

Sommiamo q con il momento in ogni punto:

ΣFv(A) = ql/2 – 3ql/28 = 11ql/28

ΣFv(B) = ql + (2) 3ql/28 - ql/14 = 8ql/7

ΣFv(C) = ql - (2) 3ql/28 + (2) ql/14 = 13ql/14

ΣFv(D) =  ΣFv(B) = 8ql/7 (simmetria)

ΣFv(E) = ΣFv(A) = 11ql/28 (simmetria)

Disegno i grafici di Taglio e Momento:

Esercitazione Metodo delle Rigidezze – Trave di VIERENDEEL

Dal punto di vista statico la trave di Virendeel può essere intesa come un telaio “ SHEAR TYPE” ribaltato.

LA caratteristica principale di un telaio così è che la trave viene considerata come corpo infinitamente rigido (indeformabile), questo permette uno spostamento solo orizzontale nelle travi (δ), poichè gli unici elementi deformabili sono i pilastri.

Possiamo dire che nota una forza F lo spostamento, la deformata (δ),dipende dalla rigidezza dei pilastri.

Nella trave di Vierendeel il procedimento è lo stesso soltanto che essendo un telaio “shear type” ribaltato avrà i pilastri infinitamente rigidi e le travi gli unici elementi deformabili.

Gli esercizi seguono:

• il primo analizzerà una Trave di VIERENDEEL a mensola
• il secondo Trave di VIERENDEEL doppiamente incastrata

Trave di VIERENDEEL a mensola

Trave di VIERENDEEL doppiamente incastrata

VERIFICA con SAP2000

Disegno un'asta lunghezza 5m, assegno i vincoli una cerniera a sinistra e carrello a destra

Assegnare alla trave una sezione e materiale

applicare il carico distribuito 10 KN

Run analysis

Con Travatura reticolare si intende un sistema di aste appartenenti allo stesso piano e vincolate  reciprocamente ai nodi attraverso cerniere interne (incastri) caricate esternamente in modo da costituire un elemento resistente e indeformabile.

Le aste sono soggette a solo sforzo normale se questo è di compressione allora l'asta si dice PUNTONE se invece esso è di trazione si dice TIRANTE. La travatura reticolareè formata da due elementi continui chiamati correnti, e da un'anima scomposta in elementi lineari. Gli elementi verticali vengono denominati montanti, quelli inclinati vengono chiamati diagonali. La travatura reticolare è tratta dalla necessità di utilizzare strutture leggere e che permettessero di raggiungere grandi luci.

Un primo aspetto da analizzare è il Problema dell' ISOSTATICITA'.

dove i gradi di libertà devono essere uguali ai gradi di vincolo. In un piano ogni corpo ha 3 gradi di libertà (traslazione verticale, orizzontale e rotazione). Il n0stro sistema è composto da 33 aste (33x3=9 gradi di libertà).

Per calcolare il grado di vincoli uso la seguente formula: 2(n-1) dove n= numero di aste che convergono in un nodo.

Nei nodi A e T confluiscono 2 aste: 2(2-1)=2 (ma il punto A è doppiamente vincolato dalla presenza della cerniera che ha 2 vincoli) quindi A= 4 vincoli invece il punto T ha un vincolo carrello quindi 1 vincolo sommando i due valori T = 3 vincoli

Nei nodi B,M,U confluiscono 3 aste: 2(3-1)=4vincoli ognuno

Nei nodi C,D,E,G,H,I,N,O,P,Q,R,S confluiscono 4 aste: 2(4-1)=6 vincoli ognuno

Nel nodo L confluiscono 5 aste: 2(5-1)=8vincoli ognuno

sommiamo:

4+3+(4x3)+(6x12)+8 = 99 vincoli

99 vincoli = 99 gradi di libertà

la travatura  è ISOSTATICA

I metodi principali di calcolo di una travatura reticolare isostatica sono principalmente due:

1. Metodo di equilibrio ai nodi (se la travatura è in equilibrio ogni nodo deve essere in equilibrio. Esso considere le forze concentrate sui nodi e sa che le aste sono soggette solo a sforzo normale; viene studiato un modello che utilizza la regola del palallelogramma per la scomposizione delle forze. Per ogni nodo le incognite risolvibili sono 2. Le equazioni di equilibrio alla traslazione verticale e orizzontale)Perchè il nodo sia in equilibrio l risultante delle forze (verticale o orizzontale)deve essere uguale a zero.
2. Metodo della sezione di Ritter la sezione di Ritter è una sezione che divide (con un taglio virtuale) in due la struttura tagliando tre aste non convergenti nello stesso nodo. Una volta effettuato il taglio, si mettono in evidenza gli sforzi normali agenti sulle sezioni delle aste tagliate.

METODO DELLE SEZIONI DI RITTER 

I VINCOLI si ripartiscono il carico 9/2F a destra e a sinistra.

La struttura è isostatica e simmetrica e caricata simmetricamente, per questo dividiamo la struttura in due parti. Nel sistema isostatico si possono trovare le reazioni vincolari del carrello e cerniera esterni che vengono considerati come dati dal problema.

Effettuo il primo taglio virtuale di 3 aste, disegno le 3 forze N1, N2 e N3  uscenti dalla sezione (posso scegliere arbitrariamente il verso delle forze perchè verranno poi confermate o no in seguito dal risultato delle equazioni di equilibrio).

In seguito determino i valori di N1, N2 e N3 (le incognite sono tre e tre sono le equazioni di bilancio). La regola che viene suggerita è quella di scrivere tre equazioni di equilibrio a rotazione rispetto a un nodo in cui convegono 2 delle 3 aste che non sono l'asta incognita che si sta cercando.

Iniziamo con il primo taglio:

VERIFICA SU SAP2000 TRAVE RETICOLAE 2D