ESERCITAZIONE_IL GRATICCIO

Inviato da giustino.cacciotti il Lun, 26/08/2013 - 16:24

Il graticcio è una struttura dove esiste una collaborazione tra due sistemi di travi non necessariamente ortogonali tra loro senza alcuna gerarchia (trave principale con trave secondaria). Le travi che lo compongono hanno lo stesso momento d’inerzia quindi la stessa sezione e materiale. I nodi sono tutti incastri e permettono il passaggio di momento e quindi il ripristino della continuità della trave. Il graticcio viene utilizzato per la copertura di grandi luci garantendo una rigidezza maggiore a parità di area d’influenza rispetto a un sistema di travi a sitema gerarchico poichè le risposte elastiche provocate dalla posizione del carico sulle aste si sommano.

Nel procedere con il risolvere l’esercizio con il metodo delle rigidezze dobbiamo tenere in mente il concetto che:

la forza si ripartisce in proporzione alla rigidezza degli elementi concorrenti.

 

Procederemo con i seguenti passi:

  • Analisi della struttura e delle variabili (spostamenti e rotazioni possibile che la struttura subisce)

  • Definizione delle equazioni di equilibrio

  • Determinazione delle incognite φ, δ 
  •  Verifica su SAP2000 e conclusioni.

 

Analisi della struttura e delle variabili:

 

Nello spazio 3D il nodo può  traslare e ruotare lungo le tre assi x,y,z quindi ha 6 gradi di libertà.

In questo caso esso viene considerato indeformabile lungo l’asse x ed y (Il nodo non può traslare in verticale ed orizzontale lungo le assi x, y) perchè provocherebbe un’accorciamento o allungamento delle aste inoltre una rotazione attorno all’asse “Z” non è possibile φz=0;

 

Soltanto una deformazione un abbassamento (δ) lungo l’asse Z  è permesso dovuto alla forza concentrata F.

abbiamo una rotazione attorno all’asse y in quanto la forza applicata al nodo nell’asta AC non è al centro ma ad 1/3 quindi la tangente alla deformata che si viene a formare non è orizzontale, creando una piccola rotazione dell’asta.

 

Nell’asta BD invece la forza applicata al nodo è nella mezzaria dell’asta e quindi la tangente è ortogonale alla deformata, avendo cosi una curvatura X=0

 

 

Le nostre nostre due incognite di spostamento sono:

•     abbassamento  δz

•     rotazione φy

 

  •  Definizione delle equazioni di equilibrio 

Utilizzando il metodo la sovrapposizione degli effetti ci permetterà di analizzare separatamente come agiscono le nostre incognite di spostamento sulla struttura.

Analizziamo l’abbassamento δ

(Grazie agli schemi notevoli di una trave doppiamente incastrata possiamo ricavarci i valori di taglio e momento flettente)

 

 

Nella trave BD i momenti sono uguali e contrari quindi si annullano essi rappresentano un eventuale rotazione attorno all’asse “X” che abbiamo precedentemente stabilito che non ci fosse.

 

Cosa succede alla rotazione dell'asta AC lungo l’asse “Y” φy ?

 

(Grazie agli schemi notevoli di una trave doppiamente incastrata con una rotazione applicata ad un estremo, possiamo ricavarci valori del taglio e momento).

 

 

La flessione sulla trave AC provoca la torsione della trave BD come viene dimostrato nella figura seguente.

Il momento torcente (Mt) provoca due momenti torcenti uguali ed opposti (Mt)

 

Scriviamo le equazioni di equilibrio alla traslazione ( grazie alla sovvrapposizione degli effetti)

 

Scriviamo le equazioni di equilibrio alla rotazione ( grazie alla sovvrapposizione degli effetti)Scriviamo le equazioni di equilibrio alla rotazione ( grazie alla sovvrapposizione degli effetti).

 

 

Determinazione delle incognite φ, δ 

Cerchiamo un valore per δ:

 

Cerco un valore φy e determino le due incognite φy, δ 

 

 Verifica su SAP2000 e conclusioni

Lo scopo è quello di quantificare le variazione degli abbassamenti dovuti alla forza applicata al nodo e delle rispettive rotazioni e capire come variano le rigidezze torsionali in ragione del tipo di profilo (sezione) che viene utilizzato.

La struttura analizzata è un graticcio semplice formato da travi di lunghezza 6m ortogonali tra loro e incastrate nell’asta BD nel punto di mezzeria, mentre nell’asta AC a 1/3 della lunghezza, una forza F=30 KN applicata al nodo centrale.

PROFILO TRAVI: Calcestruzzo

sezione RETTANGOLARE  67x15cm

Q= 30 kN/mq  

E = 21 10⁶ kN/m²

I =bh³/12 = 0.15*(0.67)³/12 = 0.0037 m⁴

G =10.000 N/mm² = 10⁷ kN/m²

L = trave BD = trave AC = 6m

Jt = C₂ab³                      C₂=a/b  (altezza/base) = 0.67/0.15= 4.46 quindi C₂=0,281

= 0,281( 0.67)(0.15) ³ = 0,00064 m⁴

 

  1. Definisco la struttura ed assegno alla trave il materiale e la sezione (dettagli sopra)

2. Run Analysis

 

 

Verifica su SAP2000
Mantenendo costante il profilo della trave AC (l’asta soggetta a rigidezza flessionale) cambio piu’ volte quello della trave BD soggetta a torsione verificando gli effetti sulla ripartizione del carico F. Aumentando la rigidezza torsionale di conseguenza si alleggerisce quella flessionale.
Lo scopo è quello di quantificare le variazione degli abbassamenti dovuti alla forza applicata al nodo e delle rispettive rotazioni e capire come variano le rigidezze torsionali in ragione del tipo di profilo (sezione) che viene utilizzato.
La struttura analizzata è un graticcio semplice formato da travi di lunghezza  6m ortogonali tra loro e incastrate nell’asta BD nel punto di mezzeria, mentre nell’asta AC a 1/3 della lunghezza, con una forza F=10 KN applicata sul nodo centrale .
 
CALCESTRUZZO
sezione RETTANGOLARE  67x15cm
Q= 30 kN/mq  Ql²/2 = 15kN/mq
E = 21 10⁶ kN/m²
I =bh³/12 = 0.15*(0.67)³/12 = 0.0037 m⁴
G =10.000 N/mm² = 10⁷ kN/m²
L = trave BD = 3m; pilastro BC = 3m; trave BE = 1m;
Jt = C₂ab³                      C₂=a/b  (altezza/base) = 0.67/0.15= 4.46 quindi C₂=0,281
= 0,281( 0.67)(0.15) ³ = 0,00064 m⁴

 

 
Verifica su SAP2000
Mantenendo costante il profilo della trave AC (l’asta soggetta a rigidezza flessionale) cambio piu’ volte quello della trave BD soggetta a torsione verificando gli effetti sulla ripartizione del carico F. Aumentando la rigidezza torsionale di conseguenza si alleggerisce quella flessionale.
Lo scopo è quello di quantificare le variazione degli abbassamenti dovuti alla forza applicata al nodo e delle rispettive rotazioni e capire come variano le rigidezze torsionali in ragione del tipo di profilo (sezione) che viene utilizzato.
La struttura analizzata è un graticcio semplice formato da travi di lunghezza  6m ortogonali tra loro e incastrate nell’asta BD nel punto di mezzeria, mentre nell’asta AC a 1/3 della lunghezza, con una forza F=10 KN applicata sul nodo centrale .
 
CALCESTRUZZO
sezione RETTANGOLARE  67x15cm
Q= 30 kN/mq  Ql²/2 = 15kN/mq
E = 21 10⁶ kN/m²
I =bh³/12 = 0.15*(0.67)³/12 = 0.0037 m⁴
G =10.000 N/mm² = 10⁷ kN/m²
L = trave BD = 3m; pilastro BC = 3m; trave BE = 1m;
Jt = C₂ab³                      C₂=a/b  (altezza/base) = 0.67/0.15= 4.46 quindi C₂=0,281
= 0,281( 0.67)(0.15) ³ = 0,00064 m⁴