Trave reticolare piana e spaziale

Due diversi metodi

Questo tipo di semplice trave reticolare può essere assimilata ad una qualsiasi trave appoggiata, come se tra i vincoli esterni vi fosse un unico corpo rigido.

Assegnati i carichi, è immediato determinare le reazioni vincolari, che devono reagire ad un carico complessivo di 3F. Il sistema è simmetrico e caricato simmetricamente, per cui le reazioni saranno equamente distribuite sui vincoli, saranno dirette verso l'alto e pari a 3F/2

La particolarità della trave reticolare, intesa come modello, quindi intendendo che per ciascuna asta sia trascurabile il peso proprio, e che tutte le aste siano incernierate tra loro per non trasmettersi momento, è che ciascuna asta è sottoposta o a compressione o a trazione, è quindi da considerarsi o un puntone o un tirante.

Una volta assegnati i carichi quindi le travi reticolari piane sono di semplice risoluzione secondo due metodi: il metodo dell' equilibrio dei nodi, che accennerò, ed il metodo delle sezioni di Ritter, che è quello che invece approfondirò.

RISOLUZIONE CON IL METODO DELL' EQUILIBRIO DEI NODI

Il metodo dell' equilibrio dei nodi si basa sul concetto che i nodi, nella struttura reticolare, devono essere tutti equilibrati.

Iniziamo quindi con il nodo A. su di esso agiscono certamente la reazione vincolare che conosciamo e le azioni delle due aste ad esso collegate che per convenzione prendiamo uscenti dal nodo, in modo che corrispondano alla reazione di trazione sull'asta che, sempre per convenzione, è positiva.

Un sistema di 3 forze che, per come le abbiamo disegnate, hanno le linee d'azione che si intersecano in un punto, è risolvibile graficamente, a patto che si chiuda il triangolo delle forze. L' unico modo affinchè questo accada, dal momento che conosciamo gli angoli che tra di loro formano le forze (che sono gli stessi che formano le aste), è il seguente:

Queste sono le azioni sul nodo, che corrispondono a sforzi sulle aste che hanno lo stesso modulo ma verso opposto

Per questo motivo possiamo affermare che l' asta 1 è un puntone e l' asta 2 è un tirante.

Si prosegue in maniera analoga per tutti gli altri nodi, tenendo presente che di volta in volta ci si può ritrovare non con triangoli delle forze, ma con poligono delle forze, ma in strutture semplici come questa sono facili da risolvere anche graficamente.

In ogni modo, si può porre anche l' equilibrio e risolvere le equazioni per la traslazione.

Bisogna procedere con ordine però perchè avendo a disposizione solo 2 equazioni, devono esserci solo 2 incognite, per cui gli altri sforzi devono essere sempre determinati nel nodo precedente.

RISOLUZIONE CON IL METODO DELLE SEZIONI DI RITTER

Il metodo delle sezioni di Ritter si basa sul fatto che una parte del sistema reticolare, ottenuta operando una sezione, che tagli al massimo 3 aste deve essere equilibrata.

Anche qui bisogna fare attenzione a come procedere, infatti, se si inizia sezionando le aste 1 e 2 non si riesce immediatamente a determinare gli sforzi sulle due aste. Iniziamo quindi facendo una sezione sulle aste 2, 3 e 4.

Imponendo l'equilibrio a questo pezzetto di sistema, otteniamo il seguente sistema di equazioni.

Ho imposto l' equilibrio alla rotazione in un punto che ho ritenuto conveniente, dal momento che annulla i momenti di 2 sforzi.

Considerando i segni negativi per la compressione e i segni positivi per la trazione ottengo che gli sforzi sono quindi diretti secondo la figura

Ora possiamo ritornare a sezionare le aste 1 e 2, per trovare lo sforzo sull' asta 1, visto che conosciamo la reazione vincolare e lo sforzo sull' asta 2. Anche qui potremmo procedere graficamente, o mediante equazioni di equilibrio.

Ho posto per convenzione N1 con il verso positivo. Scrivo le equazioni di equilibrio (me ne basta una perchè ho una sola incognita da determinare)

Risulta che  l'asta 1 sia compressa.

Procedo con un' ulteriore sezione che taglia le aste 4, 5 e 6 e ho come incognite gli sforzi sull' asta 5 e sull' asta 6

Se imponiamo l'equilibrio è necessario prestare attenzione al punto attorno al quale effettuare l' equilibrio a rotazione, infatti, se si facesse attorno al punto C si eliminerebbero dall' equazione entrambe le incognite, rendendo di fatto l'equazione un' identità. Farlo attorno a qualsiasi altro punto che non sia il punto D lascerebbe 2 incognite nell' equazione, complicandola inutilmente.

CI bastano comunque le sole due equazioni di equilibrio alla traslazione avendo 2 incognite.

La trave reticolare è risolta perchè è simmetrica e caricata simmetricamente rispetto ad un' asse verticale passante per il punto D

I grafici dello sforzo normale sono i seguenti

RISOLUZIONE CON SAP 2000

E' certamente possibile disegnare, sia in SAP che in AutoCAD o in Rhinoceros, la trave che ci interessa, ma essendo una trave particolarmente semplice, possiamo utilizare lo strumento predefinito di SAP.

Clicchiamo su NUOVO (classica icona di windows con il nuovo documento) e dalla finestra che si apre è necessario stabilire le unità di misura (nel nostro caso KN,m,C) e scegliere lo strumento RETICOLARI.
 

Dalla successiva finestra andiamo a scegliere il numero di parti di cui si compone il reticolo (nel nostro caso 3) e le dimensioni del passo. Se vogliamo un angolo di 45° è necessario scegliere 2 di lunghezza e 1 di altezza.

La trave reticolare apparirà sullo schermo, possiamo chiudere la finestra 3D che non ci serve.

Quella che è stata disegnata però non è una trave reticolare intesa come la intendiamo noi, infatti tra le aste sono presenti degli incastri interni, che però noi non vogliamo. E' necessario infatti che i vincoli interni siano tutte cerniere affichè non vi sia trasmissione di momento da un' asta all' altra.

Per apportare questa modifica selezioniamo tutti i nodi interni (in realtà ci basta selezionare tutto poichè la modifica he andremo a fare agirà sui nodi e non sulle aste) e clicchiamo su

ASSEGNA -> FRAME -> RILASCI,RIGIDEZZE PARZIALI

Si apre una finestra di dialogo in cui possiamo andare a selezionare la sollecitazione che non si deve trasferire nè all' inizio nè alla fine dell' asta.
 

Selezioniamo MOMENTO 3-3 tenendo conto del sistema di riferimento locale di SAP, che è quello legato alla singola asta e che ha l'asse 1 sull' asse dell' asta e le altre orientate secondo la regola della mano destra.

Fatto questo passiamo ad assegnare i carichi

Potremmo creare dei casi di carico e poi applicarli, oppure passare all' applicazione dei carichi e definire da lì il nuovo caso di carico, è la stessa cosa.

Selezioniamo i 3 nodi superiori dove vogliamo che agisca il carico e clicchiamo su

ASSEGNA -> CARICHI NODO -> FORZE

Da questa finestra è possibile cliccare sul + per aggiungere un nuovo caso di carico direttamente da qui

Diamo un nome univoco al nuovo caso di carico (l' ho chiamato "carico") e ho assegnato come moltiplicatore del peso proprio (DEAD) il valore 0 in modo da non considerarlo nei calcoli. Fatto questo andiamo a cliccare su Agg. Nuovo Schema Carico e torneremo alla finestra precedente dopo aver cliccato OK

Nel menu a tendina affianco alla + troveremo il caso di carico appena creato.

Ad esso dobbiamo assegnare un valore (ed una direzione) siccome è una forza concentrata diretta verso il basso assegneremo a FORZA GLOBALE Z il valore -100 (KN si intende)

Dopo aver dato l' OK questa è la configurazione della nostra trave

Un passo fondamentale è quello di assegnare una sezione alle aste. Per farlo è necessario selezionarle tutte e poi cliccare su

ASSEGNA -> FRAME -> SEZIONI FRAME

Dalla finestra che si apre diamo un nome alla sezione che stiamo creando (io l' ho chiamata sezione di prova) e poi clicchiamo su AGG. NUOVA PROPRIETA' e si aprirà una finestra dalla quale sarà possibile scegliere il tipo di sezione. Scegliamo il TUBO

si apre una ulteriore finestra nella quale possiamo assegnare un nome alla sezione che stiamo creando, un diametro esterno ed uno spessore della parete, ed un materiale (quello di default è l'acciaio A992Fy50)

Selezoniamo la sezione appena creata e diamo l' OK. su tutte le aste apparirà il nome della sezione che gli abbiamo assegnato

A questo punto il modello è pronto e possiamo andare ad effettuare i calcoli

Clicchiamo su ANALIZZA e vediamo che SAP apre una finestra con tutti i casi di carico creati. a noi interessa solo quello che abbiamo creato noi e quindi mettiamo in NOT RUN gli altri e poi clicchiamo su Esegui ORA

Ci verrà chiesto di salvare il file se non l'abbiamo già fatto e dopo pochi secondi apparirà la configurazione deformata

Ora possiamo andare a vedere tutti i risultati che sono stati ottenuti: per prima cosa la deformata in relazione alla configurazione indeformata. Per una struttura così semplice è poco interessante e per nulla stupefacente
 

Dobbiamo selezionare il caso di carico per il quale vogliamo vedere la deformata e spuntare la voce campitura in modo da vedere che i nodi si sono spostati verticalmente ed orizzontalmente (per la presenza del carrello)

Ovviamente possiamo vedere i grafici delle sollecitazioni, cliccando sull' icona MOSTRA SOLLECITAZIONI / TENSIONI si apre un menu a tendina e scegliamo FRAME/CAVI/TIRANTI

Lasciamo selezionata la forza assiale e clicchiamo su MOSTRA VALORI e poi su OK

Scegliamo il MOMENTO 3-3 per verificare che i valori siano nulli

E' chiaro che l'analisi appena fatta deve portarci a delle considerazioni sulle deformazioni e sugli spostamenti che subisce una struttura così modellata, per cui dobbiamo avere dei numeri a disposizione per verificare che siano accettabili ed eventualmente intervenire.

Esportiamo quindi tutti i dati raccolti in formato Excel o Access cliccando su VISUALIZZA -> MOSTRA TABELLE

Diamo l'OK e appaiono le tabelle. Possiamo salvare quella che ci interessa o tutte quante, ma lo vedremo meglio nella struttura 3D

TRAVE RETICOLARE SPAZIALE

La struttura reticolare nello spazio che intendo analizzare è un anello costituito dalla ripetizione di un modulo costituito da tre campate reticolari a piramide ripetuto attorno ad un centro posto a circa 40 metri di distanza. La struttura è composta da 50 ripetizioni di questo modulo.

Nel disegnare questa struttura occorre prestare grande attenzione alle controventature delle basi delle piramidi che nel modulo adiacente devono essere specchiate.

Dal momento che vorrei che questo anello fosse sostenuto da 5 pilastri (in corrispondenza dei quali posizionerò delle cerniere) per facilitarmi la vita in SAP, creerò in AutoCAD delle aste "segnaposto" che individueranno i nodi su cui inserire le cerniere e che eliminerò appena apposti i vincoli esterni.

Per l' importazione in SAP ho avuto cura di posizionare tutto su un livello diverso dal livello 0 e soprattutto, dal momento che ho fatto largo uso per la modellazione di questa struttura del comando SERIE POLARE, è stato necessario esplodere le serie create in modo da avere ogni asta come elemento separato. Viceversa SAP non leggerà gli elementi non esplosi.

Il salvataggio del file nel formato DXF non comporterà problemi nell' importazione in SAP

Scelto il tipo di file da importare (AutoCAD DXF) in SAP mi si apre la finestrella in cui specificare la direzione dell' asse verso l'alto (lascerò Z di default) e le unità di misura

Mi si apre quindi la finestra in cui devo scegliere cosa importare e da quale livello di AutoCAD. Importerò i telai dal livello "anello reticolare".

L' importazione non ha comportato grossi problemi

ora andrò a selezionare i nodi dai quali pendono delle aste con estremo libero che mi servivano da "segnaposto" e gli assegno i vincoli esterni cliccando su
ASSEGNA -> NODI -> VINCOLI ESTERNI

All' apertura della finestra posso selezionare il vincolo di cerniera e vedrò che vengono inibite le traslazioni sui tre assi del sistema di riferimento locale. Premo OK e procedo a cancellare le aste "segnaposto".

Il prossimo passo è quello di definire i vincoli interni tra le aste. Come visto prima per la trave piana selezionerò tutto (le modifiche avranno efficacia solo sui nodi) e andrò su ASSEGNA -> FRAME -> RILASCI,RIGIDEZZE PARZIALI e nella finestra di dialogo che si apre devo spuntare oltre a MOMENTO 3-3 INIZIO e FINE anche MOMENTO 2 - 2 INIZIO E FINE, perchè altrimenti le cerniere sarebbero delle cerniere cilindiriche.

Vado ora a fissare i carichi sui nodi. Immaginiamo che questa struttura costituisca il sostegno di un edificio ad un piano a forma di corona circolare il cui corpo è di 15 metri ed il raggio è di 40. Su ciascun nodo grava il carico ripartito su un'area che è pari a circa 5 mt x 5 mt ovvero 25 mq il prodotto di quest' area per la somma dei carichi permanenti e dei carichi accidentali mi darà il valore in KN del carico puntuale su ciascun nodo (non sto volutamente considerando il peso proprio della struttura).

Supponiamo che il carico sia di 10 KN/Mq, il carico puntuale sarà 250 KN.

Associare il carico puntuale ai nodi è facile in questo caso perchè tutti i nodi su cui grava il carico sono sul piano superiore, passo quindi alla vista XY e seleziono tutto e poi vi associo un carico come ho fatto nella trave reticolare piana

Il carico è puntuale diretto come z e verso il basso di 250 KN.

Prima di procedere, per evitare problemi nel calcolo, visto che il modello è stato importato da un software esterno, seleziono tutto e saldo i nodi con la tolleranza di default, in modo che se ci sono stati dei problemi di disegno si risolvano. Per farlo vado su EDITA -> EDITA PUNTI -> UNISCI NODI

Ora è fondamentale associare a ciascuna asta una sezione ed un materiale

Vado su ASSEGNA -> FRAME -> SEZIONI FRAME

e aggiungo una nuova proprietà, le do un nome (sezione) e scelgo il tubo. COme diametro darò 30 cm e lo spessore sarà di 2,5 cm. Il materiale è l'acciaio di default.
 

Posso effettuare i calcoli andando su ANALIZZA ed eseguendo solo il caso di carico che ho creato io.

QUesta è la geometria deformata rispetto alla geometria indeformata.

Prima di passare alle tabelle dei dati vediamo i diagrammi

Le più sollecitate in sforzo normale sembrano essere le aste più vicine ai pilastri (ai vincoli)

Facendo i diagrammi dei momenti si rileva che non ve ne sono sulle aste, il che la conferma come una struttura reticolare.

Con la scorciatoia CTRL+T passo alla visualizzazione delle tabelle dei dati.

Uno dei dati che mi interessa di più è valutare se sono tollerabili gli spostamenti verticali massimi dei nodi, dal momento che, se questa trave deve sostenere un corpo di fabbrica, se in alcuni punti essa si imbarca troppo è chiaro che questo avrebbe delle ripercussioni su quanto è sostenuto.

Esporto quindi la tabella JOINT DISPLACEMENT in excel e la riordino in senso crescente poichè è plausibile che gli spostamenti maggiori si avranno in senso negativo
 

vi sono 10 nodi che si spostano di 10 cm ed è questo il massimo spostamento verticale verso il basso. Diciamo che su una struttura dal raggio di 40 metri composta da aste di 5 metri circa può essere accettabile (???), c'è da tenere conto che sto trascurando il peso proprio, che in una struttura di tubolari di 5 metri per 30 centrimetri di diametro, con una parete del tubolare dello spessore di 2 cm di acciaio probabilmente non è trascurabile.

Se volessi migliorare il comportamento di questa struttura, diminuendo lo spostamento di questi nodi potrei aumentare la sezione o lo spessore della parete dei tubolari.

Per ora mi fermo qui, rendo disponibili le tabelle per il download a chi fosse interessato.

FILE EXCEL

RESISTENZA DELLE ASTE ALLA TENSIONE (A SPANNE)

Esportando la tabella ELEMENT STRESSES - FRAMES possiamo vedere tra i valori le tensioni massime per ciascun' asta in diversi punti.

Il valore massimo della tensione riguarda alcuni elementi 243645,64 N/m² . L' acciaio utilizzato da SAP è contrassegnato da un codice, che termina con Y50 che dovrebbe indicare la resistenza del materiale espressa in KSI che è l'unità di misura nel sistema anglosassone.

Un pò di equivalenze, sperando che siano corrette:

Per cui quel tipo di acciaio ha una resistenza di 50 x 6,89 Mpa = 344737,85 KN/m² che è superiore alla tensione massima individuata da SAP.

La tensione massima si riscontra ancora nelle vicinanze dei pilastri