Esercitazione_2 | Dimensionamento a flessione di una trave doppiamente appoggiata in legno, c.a., acciaio

 

In questa esercitazione,  procederemo al dimensionamento a flessione della trave più sollecitata in un solaio scelto arbitrariamente. Effettueremo l’analisi  ripetendo l’operazione per un solaio in legno, uno in calcestruzzo armato ed uno acciaio.

La trave soggetta a maggior carico, e di conseguenza al maggior momento flettente, è quella evidenziata in rosso, in quanto la sua area d’influenza è pari a 6m x 4m = 24mq, ossia il  prodotto della luce per l’interasse.

Analizziamo ora il carico distribuito (KN/mq) dei vari tipi di materiali che compongono  ciascuna tipologia di solaio, ricordando che nel caso il materiale sia distribuito su tutta la superficie analizzata (1mq) avremo:

·        ( peso specifico x volume ) /superficie analizzata = carico distribuito

Nel caso in cui sia presente invece una sezione che si ripete ad un determinato interasse:

·        [ peso specifico x volume x ( lunghezza analizzata/interasse) ] / superficie analizzata = carico distribuito

Calcoleremo i diversi carichi distribuiti (q) in base alla loro classificazione:

qs = Carico degli elementi strutturali.

qp = Carico permanente degli altri elementi presenti nel solaio con funzione non strutturale, a cui va aggiunto il carico dato dai tramezzi (1KN/mq) e quello dato dagli impianti (0,5 KN/mq).

qa = Carico accidentale, dato da normativa tecnica in base allo destinazione d’uso degli ambienti, per la destinazione residenziale è pari a 2 KN/mq.

 

Solaio in legno

Carichi strutturali (qs)                                                                                                 

_travetti in legno di conifere    

 [6 KN/mc x 0.15 m x 0.15 m x 1m x (1m/0,5)]/ 1mq = 0.27 KN/mq

_tavolato in legno di conifere

(6 KN/mc x 0,035 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.21 KN/mq

TOT.  =  0.48 KN/mq

 

Carichi permanenti (qp) 

_caldana in malta di cemento

(21 KN/mc x 0,040 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.84 KN/mq

_isolante in fibra di legno

(9 KN/mc x 0,040 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.36 KN/mq

_sottofondo in malta di calce

(18 KN/mc x 0,030 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.54 KN/mq

_tavolato in legno di quercia

(8 KN/mc x 0,025 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.20 KN/mq

_incidenza tramezzi  =      1 KN/mq

_incidenza impianti =   0.5 KN/mq

 TOT.  =  3.44 KN/mq        

     

Carichi accidentali (qa)

_Ambiente ad uso residenziale (Normativa)

TOT. = 2 KN/mq                                                                       

 

Inseriamo ora i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave.

Per prima cosa scriviamo l’interasse dell’area d’influenza della trave (4m) e i diversi carichi calcolati precedentemente per ottenere q (KN/m):

                                                          q = (1.3 x qs + 1.3 x qp + 1.5 qa) x interasse

dove i carichi strutturali, permanenti e accidentali vengono ognuno moltiplicati per un coefficiente di sicurezza.

Attraverso la luce possiamo ottenere il momento, che è pari  qL²/8 (in quanto il sistema è equivalente ad una trave doppiamente appoggiata).

Passiamo successivamente alle caratteristiche del materiale per ottenere la tensione sig_am;  questa dipende dal tipo di legno scelto (legno lamellare GL24h) ed è data dal prodotto del coefficiente riduttivo kmod  (0.80) che tiene conto della durata del carico e della classe di servizio del progetto e della resistenza a flessione caratteristica fm,k, che viene ulteriormente ridotta dal coefficiente parziale di sicurezza γ che nel legno lamellare è pari a 1.45.

Per concludere inseriamo il valore della base che ipotizziamo per la nostra trave, in questo caso 30 cm e attraverso la formula di Navier otteniamo una trave con altezza pari a 46.92 cm, perciò per approssimazione scegliamo di utilizzare una sezione 30 x 50 cm.

Verifichiamo ora se la trave resiste al peso proprio ovvero se aggiungendo il suo carico al qs precedentemente ottenuto, l’altezza della trave risultante sia inferiore da quella da noi scelta.

Per farlo dobbiamo moltiplicare il peso specifico (KN/mc) del materiale scelto, in questo caso sempre legno di conifere) per lasezione della trave in modo da ottenere il carico della trave a metro lineare, ricordandoci di dividerlo per l’interasse del solaio dato:

q_trave = (6 KN/mc x 0.30 m x 0.5 m) / 4 m = 0.225 KN/mq

qs + q_trave  =  (0.48 + 0.225) KN/mq = 0.705 KN/mq

Avendo scelta una sezione  30 x 50 la trave è verificata.

 

Solaio in C.A.

Carichi strutturali (qs)                                                                                               

_travetti in C.A.

 [25 KN/mc x 0.10 m x 0.12 m x 1m x (1m/0,5)]/ 1mq = 0.6 KN/mq

_caldana in malta di cemento

(21 KN/mc x 0,040 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.84 KN/mq

TOT.  =  1.44 KN/mq

 

Carichi permanenti (qp) 

_pignatte

(5.5 KN/mc x 0,4 m X 0.12 m x 1m x (1m/0,5)]/ 1mq = 0.528 KN/mq

_isolante in fibra di legno

(9 KN/mc x 0,040 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.36 KN/mq

_sottofondo in malta di calce

(18 KN/mc x 0,030 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.54 KN/mq

_Pavimento parquet in legno

(8 KN/mc x 0,02 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.16 KN/mq

_intonaco di calce

(11.5 KN/mc x 0,015 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.1725 KN/mq

_incidenza tramezzi  =      1 KN/mq

_incidenza impianti =   0.5 KN/mq

 TOT.  =  3.260 KN/mq    

 

Carichi accidentali (qa)

Ambiente ad uso residenziale (Normativa)

TOT. = 2 KN/mq                                                                       

Come per il caso in legno, inseriamo ora i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave.

Scriviamo l’interasse dell’area d’influenza della trave (4m) e i diversi carichi calcolati precedentemente per ottenere q,il carico al metro lineare.

q = (1.3 x qs + 1.3 x qp + 1.5 qa) x interasse

dove, ricordiamo, che i carichi strutturali, permanenti e accidentali vengono ognuno moltiplicati per un coefficiente di sicurezza.

Attraverso la luce possiamo ottenere il momento, che è pari  qL²/8 (in quanto il sistema è equivalente ad una trave doppiamente appoggiata).

Passiamo successivamente alle caratteristiche del materiale per trovare le tensioni sig_fa e sig_ca.

Per quanto riguarda i ferri di armatura che devono resistere a trazione, la tensione sig_fa è data dal rapporto tra la resistenza caratteristica di snervamento dell’acciaio  fy e il coefficiente parziale di sicurezza γ pari a 1,5. Sceglieremo una classe di resistenza B450A, con limite di snervamento ≥ 450 Mpa.

Sig_fa = (fk / γ )

Per il calcestruzzo avremo invece una tensione sig_ca data dalla resistenza caratteristica cubica a compressione Rck, (in questo caso 50 avendo scelto un calcestruzzo con classe di resistenza C 40/50)  moltiplicata per un coefficiente riduttivo αcc  pari a 0,85 e poi divisa per un coefficiente parziale di sicurezza γ che anche per il cls vale  1,5.

Sig_ca = (Rck x αcc)/γ

Possiamo trovare ora l’altezza della trave. Per farlo dobbiamo calcolare il coefficiente di omogeinizzazione n che tiene conto che la sezione in cls armato non è omogenea ma composta da 2 materiali: il calcestruzzo che resiste a compressione e l’acciaio che resiste a trazione. Questo valore è dato dal rapporto dei due moduli elastici (n = Efe / Eca ) ma si assume pari a 15 a vantaggio della sicurezza. Ci serve per ottenere il valore alfa.

Fissiamo una base di 30 cm e calcoliamo infine l’altezza utile h, cioè la sezione reagente in calcestruzzo, a cui aggiungiamo un delta (dato dal copriferro) pari a 5 cm. Otteniamo l’altezza finale della trave, pari a 34,94 che porteremo a 35 cm. Avremo quindi una sezione finale pari a 30 x 35 cm.

Verifichiamo ora se la trave resiste al peso proprio ovvero se aggiungendo il suo carico al qs precedentemente ottenuto, l’altezza della trave risultante sia inferiore da quella da noi scelta.

Per farlo dobbiamo moltiplicare il peso specifico (KN/mc) del materiale per la sezione della trave in modo da ottenere il carico della trave a metro lineare, ricordandoci di dividerlo per l’interasse del solaio dato:

q_trave = (25 KN/mc x 0.30 m x 0.35 m) / 4 m = 0.656 KN/mq

qs + q_trave  =  (1.44 + 0.656) KN/mq = 2.096 KN/mq

Avendo scelto una sezione in C.A. 30x35cm la trave non è verificata

Procediamo nuovamente al calcolo del peso proprio della trave ipotizzando una sezione in C.A. 30x40cm, questa volta la trave è VERIFICATA.

 

Solaio in Acciaio

 

Carichi strutturali (qs)                                                                                                 

_travetti Ipe 140

 [0.129 KN/m x  1m x (1m/0,5)]/ 1mq = 0.258 KN/mq

_caldana in malta di cemento + lamiera grecata tipo SOLAC (da scheda tecnica)

1.7 KN/mq

TOT.  =  1.958 KN/mq

 

Carichi permanenti (qp) 

_sottofondo in malta di calce

(18 KN/mc x 0,030 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.54 KN/mq

_Pavimento parquet in legno

(8 KN/mc x 0,02 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.16 KN/mq

_incidenza tramezzi  =      1 KN/mq

_incidenza impianti =   0.5 KN/mq

 TOT.  =  2.2 KN/mq    

        

Carichi accidentali (qa)

Ambiente ad uso residenziale (Normativa)

TOT. = 2 KN/mq

 

Possiamo calcolare il carico q al metro lineare                                                                      

_qtot (Kn/m)= (1.3 x qs + 1,3 x qp + 1,5 x qa) x 4 = 33.62 KN/m

Dopo aver inserito la luce per ottenere il momento, sempre pari qL²/8 , vediamo ora come calcolare il profilo di trave da utilizzare.

Nel caso dell’acciaio il valore della resistenza caratteristica  fy,k, dipende dal tipo di acciaio scelto (nel nostro caso abbiamo usato un acciaio di classe Fe 430/S275 con resistenza caratteristica di snervamento pari a 275 Mpa).

La tensione sig_am è uguale a quella caratteristica fy,k divisa per il  coefficiente di sicurezza γ, pari a 1,15.

sig_am = (fm,k / γ) = 239,13 N/mm²

L’ultimo passaggio consiste nello scegliere un profilo IPE che abbia un modulo di resistenza W_x  (valore tabellato) maggiore di quello che si ottiene dalla tabella grazie alla formula di Navier. Scegliamo il valore immediatamente superiore a 632,70 cm³, quindi Wx= 713 cm³  relativo ad una IPE 360.

Verifichiamo se la trave resiste al peso proprio ovvero se aggiungendo il carico della trave al q_s che abbiamo precedentemente ottenuto il modulo di resistenza della trave risultante sia inferiore da quello da noi scelto.

Dividiamo il peso lineare (KN/ml) del profilo per l’interasse del solaio dato.

 Q_{trave al mq} = peso lineare / INTERASSE e lo sommiamo al  q_sprecedente.

0,491 KN/mq /4m = 0,123 kN/mq

Avendo scelto una profilo IPE 330 (Wx = 713 cm³) la trave è VERIFICATA.