Esercitazione n°3 | Deformabilità di una mensola

Con la terza esercitazione si vuole analizzare la deformabilità di una trave a sbalso incastrata del solaio di carpenteria in FIG.01 nelle tre tecnologie: legno; acciaio e cemento armato.

FIG.01

Osservando la struttura è evidente che la trave su cui grava più carico è quella centrale poichè la sua area di influenza è pari a 16 m², ossia 4 m di luce x 4 m di interasse. (FIG.02) 

FIG.02

LEGNO 

FIG.03

Supponendo un solaio in legno con un'orditura semplice (FIG.03) composto da: 

travetti con sezione 15X25 cm e con un peso specifico pari a 5 kN/m³

tavolato spesso 3,5 cm e con peso pari a 0,21 kN a m²

caldana alta 4 cm e con peso pari a 0,28 kN a m²

isolante alto 4 cm e con peso pari a 0,0072 kN a m²

sottofondo alta 3 cm e con peso pari a 0,54 kN a m²

pavimento alta 1 cm e con peso pari a 0,20 kN a m²

Si calcola il carico strutturale (qs) escludendo il peso proprio della trave, il carico permanente (qp) e il carico accidentale (qa).

travetti (0,15 x 0,25 x 1)m/m² x 5 kN/m³ = 0,0375 m³/m² x 5 kN/m³ = 0,19 kN/m²

tavolato 0,21 kN/m²

qs = (0,19+0,21)kN/m² = 0,40 kN/m²

caldana 0,28 kN/m²

isolante 0,0072 kN/m²

sottofondo 0,54 kN/m²

pavimento 0,20 kN/m²

qp = (0,28 + 0,0072 + 0,54 + 0,20 +1,00 + 0,50) kN/m² = 2,53 kN/m²

ambiente ad uso residenziale 2 kN/m²

qa = 2 kN/m² 

Tali valori possono essere ora inseriti in un foglio di calcolo excel che a partire dal qs, dal qp e dal qa ricaverà q (kN/m) tenendo conto di un fattore di accrescimento pari a 1,3 per i carichi permanenti strutturali e non strutturali (qs e qp) e 1,5 per i carichi accidentali (qa) e dell'interasse pari a 4m.

Conoscendo il carico gravante sulla trave e la luce di questa si può facilmente ricavare il momento che è pari a quello di una mensola (M = q x l²/2).

In fase progettuale viene scelto il tipo di legno che si vuole utilizzare, in questo caso è stato preso in considerazione un legno lamellare GL 24h la cui resistenza caratteristica f_m,k è pari a 24 MPa. Ora è possibile calcolare la tensione ammissibile sig_am e impostando la base b, ricavare l'altezza h, che ci permetterà di scegliere un altezza di progetto h_d. Ora è possibile ricalcolare il peso proprio della trave peso ed aggiungerlo alle q. V_max rappresenta l'abbassamento massimo della trave a sbalso, che si ha nel punto più lontano dall'incastro; il rapporto tra la luce l e l'abbassamento vmax deve essere l/v_max >= 250 (FIG.03)

FIG.03

La sezione 32 x 65 cm è stata verificata!

ACCIAIO

FIG.04

Supponendo un solaio in acciaio come in FIG.04 composto da: 

controsoffitto spesso 1 cm e con peso specifico pari a 13 kN/m³

travi secondarie (IPE 200) con peso specifico pari a 78,5 kN/m³, 

getto  di cls spesso 6 cm e con peso specifico pari a 24 kN/m³,

lamiera grecata h 75 mm con peso pari a 0,11 kN/m², 

isolante alto 4 cm e con peso pari a 0,0072 kN a m²

massetto alto 4 cm e con peso pari a 0,64 kN a m²

pavimento  dello spessore di 1 cm e con peso pari a 0,2 kN a m²

Si calcola il carico strutturale (qs) escludendo il peso proprio della trave, il carico permanente (qp) e il carico accidentale (qa).

travi secondarie (0,00285 x 1)m³/m² x 78,5 kN/m³ = 0,224 kN/m²  

getto di cls  V x p= 0,035 m³/m² x 24 kN/m³ = 0,84 kN/m²

lamiera grecata 0,11 kN/m²

qs =  0,224 + 0,84 + 0,11 kN/m²=1,174 kN/m²

isolante  0,0072 kN/m²

massetto 0,64kN/m²

pavimento 0,2kN/m²

controsoffitto (0,02 x 1 x 1)m³/m² x 13 kN/m³ = 0,26 kN/m²

qp = (0,0072 + 0,64 + 0,2 + 0,26) kN/m² = 2,61 kN/m²

ambiente ad uso residenziale 2 kN/m²

qa = 2 kN/m² 

FIG.05

I risultati restituiti dalla tabella excel riportano un valore del modulo di resistenza W_x pari a 905,75 cm³, basterebbe scegliere un profilo IPE 400 in cui W_x è pari a 1160 cm³., ma così facendo il rapporto tra la luce libera di inflessione e il abbassamento massimo risulterebbe minore di 250, perciò si è preferito selezionare un profilo IPE 450, il cui modulo di resistenza W_x pari a 1500 cm³

Anche per la trave in acciaio è opportuno calcolare nuovamente il carico q aggiungendo il peso proprio della trave (peso)

Trave IPE 450 con sezione pari a 98,80 cm², e peso specifico dell'acciaio pari a 78,5 kN/m³. 

p = (98,80 x 10^-4 x 1) m³/m x 78,50 kN/m³ = 7,76 kN/m

Nonostante il carico q sia stato aggiornato con l'aggiunta del peso p della trave, il rapporto tra la luce di libera inlfessione e l'abbassamento massimo è maggiore di 250

Il profilo IPE 450 è stato verificato!

CLS  

FIG.06

Supponendo un solaio in latero-cemento come in FIG.06 composto da: 

intonaco spesso 1 cm e con peso specifico pari a 18 kN/m³

pignatte n° 2 di dimensioni 8x40x25 cm e con peso pari a 1,32 kN a m²

cls armato con una sezione pari a 840 cm² in un metro e con peso pari a 25 kN/m³

massetto alto 4 cm e con peso pari a 0,64 kN a m²

pavimento alta 1 cm e con peso pari a 0,20 kN a m²

Si calcola il carico strutturale (qs) escludendo il peso proprio della trave, il carico permanente (qp) e il carico accidentale (qa).

pignatte 1,32 kN/m²

cls armato ( 0,084 x 1) m³/m² x 25 kN/m³ = 2,10 kN/m²  

qs =  1,32 kN/m² + 2,10 kN/m² = 3,42 kN/m²

isolante  0,0072 kN/m²

massetto 0,64kN/m²

pavimento 0,2kN/m²

intonaco (0,01 x 1 x 1)m³/m² x 18 kN/m³ = 0,18 kN/m²

qp = (0,0072 + 0,64 + 0,2 + 0,18) kN/m² = 2,56 kN/m²

ambiente ad uso residenziale 2 kN/m²

qa = 2 kN/m² 

FIG.07

Come si può apprezzare dalla FIG.07, scegliendo un acciaio per le armature con una resistenza caratteristica f_y pari a 235 MPa e un calcestruzzo con resistenza a compressione f_ck pari a 40 MPa e impostando la base b della nostra trave su i 25 cm, avremo un altezza utile h pari a 49,34 cm, che diventa H = 54,34 cm aggiungendo il delta = 5 cm.  Arrotondiamo a 55 cm per una sezione finale della trave in cemento armato pari a 25 x 55 cm. 

Come per la trave in legno e per quella in acciaio è opportuno calcolare il carico q aggiungendo il peso proprio della trave p,moltiplicato per un fattore pari a 1,3.

p = (0,25 x 0,55 x 1)m³ x 25 kN/m³= 3,44 kN/m

Nonostante il carico q sia stato aggiornato con l'aggiunta del peso p della trave, il rapporto tra la luce di libera inlfessione e l'abbassamento massimo è maggiore di 250.

La sezione 25 x 55 cm è stata verificata!