Esercitazione3_ Dimensionamento di una mensola

Esercitazione3_ Dimensionamento di una mensola

1_ Analisi edificio

L’edificio analizzato è una semplice abitazione (uso residenziale), dotato di schema strutturale composto da una trave appoggiata e da una mensola. In questo caso l’analisi è rivolta allo sbalzo. Il dato fondamentale, questa volta ancora più incisivo che nella trave appoggiata è la luce, in questo caso di 3m. È stata individuata in carpenteria una delle travi più sollecitate dotata di un interasse di 4m.

2_ Scelta del tipo di solaio

Si è scelto di fare un’analisi di questa trave, studiandola in relazione ai diversi materiali da costruzione: si sono perciò analizzate diverse stratigrafie di solaio in base alla trave che di volta in volta si vuole analizzare.

2.1_ Solaio in legno

                         

La tecnologia del solaio scelta è la medesima della scorsa esercitazione, per avere ancora più chiaro il paragone tra due diverse strutture. Vengono riportati di seguito, le rispettiva analisi dei carichi q_s, q_p, q_{A, (}rispettivamente carichi strutturali, permanenti accidentali).

Analisi carichi solaio in legno

_carichi strutturali q_s : tavolato, travetti

_tavolato 0,03 m * 4kN/m³ = 0,12 kN/m²

_travetti   2 * 0,25 m* 0,12 m * 6 kN/m³ = 0,36 kN/m² (viene usato il valore al mq perché non c’è grande differenza con quello che si avrebbe al ml)

_totale q_{s =} 0,48 kN/m²

_carichi permanenti q_p : pavimento, allettamento, isolante, massetto, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³ = 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,02 m * 14 kN/m³ = 0,28 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³ = 0,016 kN/m²

_massetto cls  0,06 m * 24 kN/m³ = 1,44 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p = 3,54 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi 6,02 kN/m²

_coefficienti di sicurezza

Per aumentare la sicurezza del dimensionamento ogni carico va moltiplicato per un coefficiente di sicurezza (poco più grande di 1) e questi sono: γ_s = 1,3  γ_p = 1,3  γ_A= 1,5

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 8,23 kN/m²

_carico proprio della trave q_s

In questa prima fase del dimensionamento non è stato considerato il peso proprio della trave, che incide nei carichi strutturali, in quanto non si conoscono le dimensioni della sezione. Tuttavia, una volta ricavata l’altezza della sezione con il predimensionamento ed ingegnerizzata, verrà moltiplicata per il peso specifico del materiale con cui è composta. Verrà poi effettuato un nuovo dimensionamento, aggiungendo il valore del peso della trave ai carichi strutturali, ottenendo così un nuovo momento flettente, e valutando così la resistenza della trave.

3.1_ Dimensionamento

Dal valore di carico calcolato su un mq di solaio, si è risaliti alla quantità di carico del pezzo di solaio che grava sulla trave scelta. (kN/m)

q = (q_s * γ_s + q_p  *γ_p + q_A *γ_A) * i = 8,23 kN/m² * 4 m =

q =32,92 kN/m

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave, è possibile calcolare il momento massimo M_max che insiste sulla sezione della stessa. In questo caso, la mensola a differenza della trave appoggiata possiede un momento M_max = ql²/2:

M_max = (32,92 kN/m * 3² m²  )/2 =

M_max =148,07 kN * m

Definito il momento massimo di progetto, è necessario stabilire il materiale con cui si vuole realizzare la trave, dal quale dipenderà la resistenza f_d. Nel caso del legno, la resistenza dipende dalla formula f_d = ( k_mod * f_k ) / γ_m dove f_k è la resistenza del materiale scelto(in questo caso legno lamellare classe GL 24 h), k_mod è un coefficiente che tiene conto dell’effetto sia della durata del carico che dell’umidità sulla resistenza. Infine γ_m è il coefficiente di sicurezza del materiale (in questo caso 1,45).

f_d = ( 0,8 * 24 N/mm² ) /1,45 =

f_d = 13,24 N/mm²

Una volta ricavata la resistenza di progetto del materiale è possibile effettuare il dimensionamento attraverso la formula di Navier :  σ_amm= M_max/ W_max

Sapendo che W_max = bh²/ 6, stabilendo un valore per la base della trave (=30 cm) è possibile ricavare, tramite la formula inversa l’altezza: h= √ (6 * M_max) / (σ_amm * b)

h= √ (6 * 148,07 kNm) /[ (13,24 * 1000 kN/m² ) * 0,3 m]

h= √ 888,42 kNm / 3972 kN /m

h= √0,2237 = 0,473 m

L’altezza minima per la trave è di 47,3 cm. Tuttavia visto che è un predimensionamento di minima, si sceglie di utilizzare una sezione di h= 50 cm.

4.1_ Analisi abbassamento

Il valore dell’abbassamento v_max non è altro che uno spostamento lineare, che perciò in una struttura isostatica può essere calcolato con il metodo degli spostamenti, che non è altro che una semplificazione del metodo della linea elastica.

L’equazione risolutiva di questo metodo è la seguente: Х_(s)= d²v/ds²= M_(s)/EJ

Questo significa che l’equazione dello spostamento v(s), data dalla doppia integrazione dell’equazione sovrascritta è fortemente dipendente sia dal modulo di Young, sia dal momento di inerzia della sezione stessa. È necessario perciò stabilire un valore di E, che dipende dalla tipologia di materiale scelto. Nel mio caso, la trave scelta di legno lamellare classe GL 24 h ha un valore di E= 11600 N/mm². Invece, il valore I_x, modulo di inerzia della sezione è calcolato con la formula bh³/12, in quanto si tratta di una sezione rettangolare.

L’abbassamento totale è calcolabile attraverso la formula v_max= ql⁴/8EI_x, in quanto il carico è uniformemente distribuito. A livello dimensionale:

[v_max] ₌ [F] [L³]/ [F] [L^-2] [L⁴] = [L]

In questo caso l’abbassamento misura:

v_max : 32,904 KN/m * 3⁴ m⁴/ 8 * 11600 N/mm² * 312500 cm⁴ = [(32,904*10) N/m * (3⁴ *100) cm⁴] / 8* [(11600 * 100) N/cm² * 312500 cm⁴] = 0,92 cm

Per verificare che l’abbassamento sia realmente accettabile da parte della struttura, è necessario che il rapporto tra v_max/ l ≤ 1/250. Nella tabella excel questo rapporto è invertito, perciò l’abbassamento è accettabile se l/ v_max ≥ 250. In questo caso il rapporto l/ v_max = 326,43 perciò questo abbassamento è accettato dalla struttura.

5.1_ Verifica del dimensionamento e dell’abbassamento

Per verificare il dimensionamento appena calcolato è necessario andare a ricalcolare i carichi, aggiungendo il peso proprio della trave, calcolato in base alla sezione per verificare se la struttura riesce a reggere lo sbalzo anche in questo caso. Il peso specifico del legno lamellare classe GL 24 h è di 380 kN/ m^3.

Analisi carichi solaio in legno

_carichi strutturali q_s : tavolato, travetti, trave

_tavolato 0,03 m * 4kN/m³ = 0,12 kN/m²

_travetti   2 * 0,25 m* 0,12 m * 6 kN/m³ = 0,36 kN/m² (viene usato il valore al mq perché non c’è grande differenza con quello che si avrebbe al ml)

_trave 0,5 m * 0,3 m * 3,80 kN/m³ = 0,57 kN/ m²  (“ “ “ )

_totale q_{s =} 1,05 kN/m²

_carichi permanenti q_p : pavimento, allettamento, isolante, massetto, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³ = 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,02 m * 14 kN/m³ = 0,28 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³ = 0,016 kN/m²

_massetto cls  0,06 m * 24 kN/m³ = 1,44 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p = 3,54 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 8,97 kN/m²

_calcolo carico distribuito:

q = (q_s * γ_s + q_p  *γ_p + q_A *γ_A) * i = 8,97 kN/m² * 4 m =

q =35,87 kN/m

_calcolo momento massimo:

M_max = (35,87 kN/m * 6² m²  )/8 =

M_max =161,4 kN * m

_calcolo h trave (in quanto il parametro della resistenza non ha subito variazioni):

h= √ (6 * 161,4 kNm) /[ (13,24 * 1000 kN/m² ) * 0,3 m]

h= √ 968,4 / 3972 kN /m

h= √0,244= 0,493 m

La misura di altezza ingegnerizzata scelta in precedenza risulta essere valida, in quanto il peso della trave di legno è molto poco incidente a livello di carichi strutturali, che risultano appena raddoppiati. Per questo motivo, anche l’abbassamento della trave risulta minimamente aumentato, diventando v_max = 1,00 cm.

Il rapporto in questo caso  l/ v_max = 299,45, quindi la struttura è definitivamente in grado di sopportare uno sbalzo di 3 metri con una trave a sezione uniforme di 30*50 cm di legno lamellare di classe GL 24 h.

5.1_ Dati di progetto nella tabella Excel

6.1_ Conclusioni

Dai due diversi dimensionamenti si è potuto constatare come aggiungendo il peso proprio della trave, si ha avuto un incremento dell’altezza della trave di oltre 2cm, che ha comportato un maggiore abbassamento, in quanto il carico ripartito uniformemente sulla trave è risultato maggiore nel secondo caso, e ha comportato un incremento di abbassamento di essa di 0,08 cm.

Tuttavia si è anche potuto notare che mantenendo invariata la sezione della trave, non è possibile fare cambiamenti significativi della luce (non può essere aumentata neanche di 50 cm), ma si può aumentare l’interasse della trave fino a 4,5m, arrivando così al limite di abbassamento della struttura di 1,13 cm.

2.2_ Solaio in laterocemento

                            

Analisi carichi solaio in laterocemento

_carichi strutturali q_s : caldana, travetti

_caldana 0,04 m * 24kN/m³ = 0,96 kN/m²

_travetti   2 * 0,10 m* 0,16 m * 24 kN/m³ = 0,77 kN/m² (viene usato il valore al mq perché non c’è grande differenza con quello che si avrebbe al ml)

_totale q_{s =} 1,73 kN/m²

_carichi permanenti q_p : pavimento, allettamento, isolante, pignatte, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³ = 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,02 m * 14 kN/m³ = 0,28 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³ = 0,016 kN/m²

_pignatte 2 * 0,4 m * 0,16 m * 8 kN/m³ = 1,02 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p = 3,12 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi 6,85 kN/m²

_coefficienti di sicurezza

Per aumentare la sicurezza del dimensionamento ogni carico va moltiplicato per un coefficiente di sicurezza (poco più grande di 1) e questi sono: γ_s = 1,3  γ_p = 1,3  γ_A= 1,5

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 9,30 kN/m²

_carico proprio della trave q_s

In questa prima fase del dimensionamento non è stato considerato il peso proprio della trave, che incide nei carichi strutturali, in quanto non si conoscono le dimensioni della sezione. Tuttavia, una volta ricavata la sezione con il predimensionamento, verrà moltiplicata per il peso specifico del materiale con cui è composta. Verrà poi effettuato un nuovo dimensionamento, aggiungendo il valore del peso della trave ai carichi strutturali, ottenendo così un nuovo momento flettente, e valutando così la resistenza della trave.

3.2_ Dimensionamento

Dal valore di carico calcolato su un mq di solaio, si è risaliti alla quantità di carico del pezzo di solaio che grava sulla trave scelta. (kN/m)

q = (q_s * γ_s + q_p  *γ_p + q_A *γ_A) * i = 9,30 kN/m² * 4 m =

q =37,2 kN/m

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave, è possibile calcolare il momento massimo M_max che insiste sulla sezione della stessa. In questo caso, trattandosi di una mensola, il momento massimo è pari a M_max = ql²/2:

M_max = (37,2 kN/m * 3² m²  )/2 =

M_max =167,4 kN * m

Definito il momento massimo di progetto, è necessario calcolare le resistenze dei due materiali che compongono la trave: l’acciaio f_yd (che ha una resistenza specifica per le armature) ed è data dal rapporto f_yd =f_yk/ γ_s e il calcestruzzo f_cd =α_cc * f_ck/ γ_c

f_yd = 450 N/mm² / 1,15

f_yd = 391,3 N/mm²

f_cd =0,85 * 40 N/mm² / 1,5

f_cd = 22,86 N/mm²

Una volta ricavata la resistenza di progetto del materiale è possibile effettuare il dimensionamento attraverso l’equilibrio alla rotazione della sezione:

M= C * b* = T * b*                          

Dove b*=hu-Xc/3                 Xc= α*hu                 α= σ_ca/ (σ_ca + σ_fa/n)    n=15

M= C * (hu- α*hu /3)

M= σ_ca * (b * α*hu)/2 * (hu- α*hu /3)

M= σ_ca * b * α*hu/2 * (1 – α/3)hu

2M= σ_ca * b * α * (1 – α/3)hu²

hu²= 2M / [σ_ca * b * α * (1 – α/3)]

hu= √2M / [σ_ca * b * α * (1 – α/3)]

Per calcolare l’altezza utile della sezione è necessario stabilire una base, in questo caso di 30 cm.

hu=√2 * 167,4 kNm / 10³ * 22,86 kN/m² * 0,3 m* 0,47 (1-0,47/3)

hu= 0,352 m = 35,2 cm

L’altezza minima per la trave è di 35,2 cm. Tuttavia nelle travi di cemento armato è necessario aggiungere un delta di 5 cm, che corrisponde all’altezza del copriferro e di metà della sezione dei tondini dell’armatura.

L’altezza che si ottiene dal predimensionamento quindi risulta essere H= hu+δ  H= 35,2 + 5 cm = 40,2 cm. Si ingegnerizza la sezionale prevedendo un’altezza di H=45 cm.

Dall’altezza della trave è possibile ricavare attraverso il foglio Excel sia l’area, che il peso in KN/m, che poi viene sommato per ottenere il carico q definitivo 30,78 KN/mq.

4.2_ Analisi abbassamento

Il valore dell’abbassamento v_max non è altro che uno spostamento lineare, che perciò in una struttura isostatica può essere calcolato con il metodo degli spostamenti, che non è altro che una semplificazione del metodo della linea elastica.

L’equazione risolutiva di questo metodo è la seguente: Х_(s)= d²v/ds²= M_(s)/EJ

Questo significa che l’equazione dello spostamento v(s), data dalla doppia integrazione dell’equazione sovrascritta è fortemente dipendente sia dal modulo di Young, sia dal momento di inerzia della sezione stessa.

Il valore di E è 21000 N/mm², mentre il modulo d’inerzia I_x anche questa volta viene calcolato con la formula bh³/12, e vale 227813 cm⁴.

 L’abbassamento totale è calcolabile attraverso la formula v_max= ql⁴/8EI_x, in quanto il carico è uniformemente distribuito.

In questo caso l’abbassamento misura:

v_max : 30,78 KN/m * 3⁴ m⁴/ 8 * 21000 N/mm² * 227813 cm⁴ = [(30,78*10) N/m * (3⁴ *100) cm⁴] / 8* [(21000 * 100) N/cm² * 227813 cm⁴] = 0,65 cm

Ora è necessario verificare che il rapporto l/ v_max   sia ≥ 250.

In questo caso il rapporto l/ v_max = 460,60 perciò questo abbassamento è accettato dalla struttura, di conseguenza lo sbalzo è realizzabile.

5.2_ Dati di progetto nella tabella Excel

6.2_ Conclusioni

Il dimensionamento della mensola di cemento armato è stato già fatto, a differenza del legno, considerando il peso della trave all’interno del carico strutturale che agisce sullo sbalzo, in quanto il peso della trave di calcestruzzo è di molto maggiore rispetto a quello del legno.

[L’abbassamento tuttavia qui risulta minore, anche perché, nel termine q (carico totale che agisce sulla trave, peso della trave stessa compreso) non sono stati considerati i coefficienti di sicurezza  γ_s ,γ_p ,γ_A , che al contrario avrebbero determinato un carico totale di  è [1,3*(q_s + q_p )+ 1,5*q_a]*4m+ 3,38 KN/m² = 40,58 KN/m².

Questo carico, comporterebbe al contrario un abbassamento:

v_max :  40,58 KN/m * 3⁴ m⁴/ 8 * 21000 N/mm² * 227813 cm⁴ = [(40,58*10) N/m * (3⁴ *100) cm⁴] / 8* [(21000 * 100) N/cm² * 227813 cm⁴] = 0,85 cm.

Anche in questo caso si è cercato di capire come reagiva la struttura al variare sia della luce che dell’interasse: la luce è aumentabile di 50 cm, ma solo nel caso dove nel carico q non sono considerati i coefficienti di sicurezza, mentre l’interasse può essere aumentato fino a 5 m, registrando un abbassamento rispettivo di 0,80 cm e 1,06 cm, che la struttura in entrambi i casi riesce a sostenere in quanto il rapporto l/ v_max   è ≥ 250.

2.3_ Solaio in acciaio

                                             

Analisi carichi solaio in acciaio

_carichi strutturali q_s : massetto in cls, lamiera grecata

_massetto in cls spessore 0,11 m= 2,15 kN/m²

_lamiera grecata tipo HI-BOND spessore 0,7mm = 0,09 kN/m²

_totale q_{s =} 2,24 kN/m²

_carichi permanenti q_p : pavimento, allettamento, isolante, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³ = 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,06 m * 14 kN/m³ = 0,84 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³ = 0,016 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p = 2,66 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi 6,9 kN/m²

_coefficienti di sicurezza

Per aumentare la sicurezza del dimensionamento ogni carico va moltiplicato per un coefficiente di sicurezza (poco più grande di 1) e questi sono: γ_s = 1,3  γ_p = 1,3  γ_A= 1,5

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 9,37 kN/m²

_carico proprio della trave q_s

In questa prima fase del dimensionamento non è stato considerato il peso proprio della trave, che incide nei carichi strutturali, in quanto non si conoscono le dimensioni della sezione. Tuttavia, una volta ricavata la sezione con il predimensionamento, verrà moltiplicata per il peso specifico del materiale con cui è composta. Verrà poi effettuato un nuovo dimensionamento, aggiungendo il valore del peso della trave ai carichi strutturali, ottenendo così un nuovo momento flettente, e valutando così la resistenza della trave.

3.3_ Dimensionamento

Dal valore di carico calcolato su un mq di solaio, si è risaliti alla quantità di carico del pezzo di solaio che grava sulla trave scelta. (kN/m)

q = (q_s * γ_s + q_p  *γ_p + q_A *γ_A) * i = 9,37 kN/m² * 4 m =

q =37,48 kN/m

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave, è possibile calcolare il momento massimo M_max = ql²/2:

M_max = (37,48 kN/m * 3² m²  )/2 =

M_max =168,66 kN * m

Definito il momento massimo di progetto, è necessario stabilire il materiale con cui si vuole realizzare la trave, dal quale dipenderà la resistenza f_yd. Nel caso dell’acciaio, la resistenza dipende dalla formula f_yd = f_yk / γ_s dove f_yk è la tensione di snervamento del materiale scelto (in questo caso Fe 430/S275), e γ_s è il coefficiente di sicurezza relativo dell’acciaio (1,15).

f_yd = 275 N/mm²  /1,15 =

f_yd = 239,13 N/mm² 

Una volta ricavata la resistenza di progetto del materiale è possibile effettuare il dimensionamento attraverso la formula di Navier :  σ_amm= M_max/ W_max

Avendo sia la tensione ammissibile che il momento massimo, posso utilizzare la formula inversa rcavandomi il modulo di resistenza minimo a flessione W_xmin

W_xmin= M_max / σ_amm

W_xmin= 168,66 kNm / 10³ * 239,13 kN/m²

W_xmin= 0,0007053 m³= 705,3 cm³

Attraverso il prontuario delle IPE è possibile trovare l’altezza della trave corrispondente al modulo di resistenza a flessione. Il valore appena superiore al W_xmin calcolato è di 713,0 cm³, che corrisponde ad un IPE330.

L’altezza della trave calcolata con il predimensionamento è di 33 cm.

Tramite il prontuario è possibile ricavare il peso della trave, pari a 0,491 KN/m² , che viene sommato agli altri carichi strutturali ed utilizzato per il calcolo dell’abbassamento.

4.2_ Analisi abbassamento

Il valore dell’abbassamento v_max non è altro che uno spostamento lineare, che perciò in una struttura isostatica può essere calcolato con il metodo degli spostamenti, che non è altro che una semplificazione del metodo della linea elastica.

L’equazione risolutiva di questo metodo è la seguente: Х_(s)= d²v/ds²= M_(s)/EJ

Questo significa che l’equazione dello spostamento v(s), data dalla doppia integrazione dell’equazione sovrascritta è fortemente dipendente sia dal modulo di Young, sia dal momento di inerzia della sezione stessa.

Il valore di E è 210000 N/mm², mentre il modulo d’inerzia I_x vale 11770 cm⁴.

 L’abbassamento totale è calcolabile attraverso la formula v_max= ql⁴/8EI_x, in quanto il carico è uniformemente distribuito.

 In questo caso l’abbassamento misura:

v_max : 42,39 KN/m * 3⁴ m⁴/ 8 * 210000 N/mm² * 11770 cm⁴ = [(42,39*10) N/m * (3⁴ *100) cm⁴] / 8* [(210000 * 100) N/cm² * 11770 cm⁴] = 1,74 cm

Ora è necessario verificare che il rapporto l/ v_max   sia ≥ 250.

In questo caso il rapporto l/ v_max = 172,77 perciò questo abbassamento non è accettabile a livello strutturale.

Si è scelto allora di cambiare la resistenza dell’acciaio, prendendo un materiale meno resistente Fe360/S235, per spingere la trave dotata di meno resistente ad aumentare la sua sezione, diventando di conseguenza più tozza.

Questa volta il dimensionamento ha portato alla scelta di una IPE360, dotata di peso pari a 0,571 KN/m², e di modulo di inerzia I_x pari a 16270 cm⁴.

Dalla formula v_max= ql⁴/8EI_x, risulta che v_max è pari a 1,127 cm.

In questo caso, il rapporto l/ v_max = 266,05 è maggiore di 250, di conseguenza la trave riesce a sostenere lo sbalzo.

5.3_ Dati di progetto nella tabella Excel

 

6.3_ Conclusioni

Si può quindi affermare, come scegliendo una resistenza caratteristica minore del materiale, che necessita perciò una sezione più tozza, si può ottenere una trave meno deformabile, dotata di maggiore momento di inerzia, che combatte perciò la flessione, e che è in grado di contenere l'abbassamento.