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Esercitazione 6_Analisi di arco a 3 cerniere

Inviato da sara.passerini il Lun, 16/06/2014 - 19:04

ESERCITAZIONE 6_ ANALISI DI UN ARCO A TRE CERNIERE

L’arco è una struttura spingente, caratterizzata da una forma particolare che gli permette di avere una ottimizzazione delle sollecitazioni, limitando il momento flettente, trasformandolo in sforzo normale.L’arco a tre cerniere è un sistema isostatico, che è tale per la posizione delle cerniere nello spazio: una nella sezione di chiave, e due nella sezione d’imposta.

L’arco è una struttura simmetrica, perciò essendo caricato di una forza pari al suo solo peso proprio, il suo meccanismo sarà il seguente:

Dovendo risolvere un arco sottoposto ad un carico ripartito esterno q, l’equilibrio sarà il seguente:

È necessario fare l’equilibrio del 1° corpo intorno ad A:

-ql²/2 – df +cl =0

Momento del 2° corpo intorno a C:

ql²/2 + df +cl =0

Mettendo le due equazioni a sistema:

-ql²/2 – df +cl =0

ql²/2 + df +cl =0

------------------------

2cl=0 -> c=0

Per la simmetria della struttura, è chiaro che non ci possano essere forze asimmetriche sull’asse stesso della simmetria. A questo punto si può ricavare il valore della spinta:

-ql²/2 – df = 0

H = -ql²/2f

Dalla formula della spinta, si può notare come questa sia inversamente proporzionale alla freccia dell’arco: infatti più questa è di lunghezza inferiore, maggiore è la spinta dell’arco stesso.

È quindi necessario un confronto tra diversi tipi di arco: arco a tutto sesto, arco ribassato, arco parabolico.

1.ANALISI DI ARCO A TUTTO SESTO

Arco caratterizzato geometricamente dalla coincidenza delle lunghezze del raggio, della freccia, e della luce.

L = R = F

Le sollecitazioni che avvengono nell’arco si verificano in una sezione che la la stessa direzione del raggio. In questo caso, le sollecitazioni vengono espresse non più con coordinate lineari, ma angolari (α è l’angolo al centro). N, T, M sono espresse in funzione di alfa:

-N è perpendicolare alla sezione;

- T è parallelo alla sezione;

- N e T hanno componenti sia orizzontali che verticali, che servono per le equazioni di equilibrio;

- il carico distribuito q, agisce solo sulla proiezione della parte della circonferenza che viene considerata

Equilibrio a traslazione orizzontale:

ql²/2f +Nsena – Tcosa =0

Equilibrio a traslazione verticale:

ql + Ncosa + Tsena – qR (1- cosa) =0

Equilibrio dei momenti:

ql²/2f * Rsenα – ql * R(1-cosa) + [qR²(1- cosa)²]/2 – qR²/2 * sena + M(a) = 0

Sapendo che f = L = R:

M(a) = qR² (1- cosa) – [qR²(1- cosa)²]/2 - qR²/2 * sena

M(a) = qR²[(1- cosa) - (1- cosa)²/2 – sena/2]

Questa funzione può essere analizzata in chiave, per avere conferma che la il momento sia nullo.

M (90°) = qR²(1-0) - qR²/2 (1-0)²- qR²/2 *1 =0

M (90°) = qR² - qR²/2 - qR²/2 = 0

Le equazioni di equilibrio orizzontale e verticale vengono messe a sistema, in modo che per sostituzione, si possano ricavare i valori di N e T:

1.qR²/2f +Nsena – Tcosa =0

2.qR + Ncosa + Tsena – qR (1- cosa) =0

1.N = Tcosa/sena –qR/2sena

2.qRcosa + Tcosa*cosa/ sena – qRcosa/2sena + Tsena =0

1.N = Tcosa/sena –qR/2sena

2.T(cos²a/sena + sena) = qRcosa/2sena -qRcosa

1.N = Tcosa/sena –qR/2sena

2.T(1/sena) = qRcosa/2sena –qRcosa -> T= qRcosa*sena/2sena –qRcosa*sena

1.N = [qRcosa/2 (1-2sena)]*cosa/sena –qR/2sena

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

1.N = qRcos²a/2sena (1-2sena) –qR/2sena

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

1.N = qR/2sena [cos²a(1-2sena)-1]

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

1.N = -qR/2sena *sena[ sena + 2cos²a]

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

1.N = -qR/2[ sena + 2cos²a]

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

Vengono analizzate queste due equazioni nelle sezioni di imposta e di chiave:

N(0°) = -qR/2 * [0 + 2*1] = -qR = -qL forza entrante nell’arco

T (0°) = qR*1/2 (1-2*0) = qR/2 spinta dell’arco (= qR²/2R)

N(90°) = -qR/2 [ 1 +2* 0 ]= -qR/2 spinta dell’arco entrante nella sezione

T(90°) = qR*0/2(0-2*1) = 0 l’arco è una struttura simmetrica: nella sezione di chiave (asse di simmetria) non possono esserci forze non simmetriche.

Si decide di studiare l’arco anche su SAP. Questo viene disegnato in precedenza su AUTOCAD, ruotato e posto in posizione 3D, e viene salvato in un formato compatibile con SAP (dxf 2004).

Per determinare il modello di arco a tre cerniere è necessario andare a mettere due cerniere esterne nei punti di imposta, mentre in chiave è necessario selezionare i segmenti della trave, e rilasciare il momento a destra e a sinistra, per creare una cerniera interna.

Successivamente è necessario stabilire la sezione della trave, che nel caso dell’arco è rettangolare e misura 0,3*0,2m.

A questo punto si può selezionare il carico distribuito, che deve essere mandato in maniera uniforme rispetto alla curvatura dell’arco, attraverso il comando “GRAVITY PROJECTED”.

A questo punto è possibile fare l’analisi che da i seguenti risultati:

-le reazioni vincolari sono rispettivamente 30 di forza verticale e 15 di forza orizzontale, in quanto rappresentano uno la reazione vincolare al carico verticale, qR = 10 * 3 = 30 KN e una la spinta orizzontale dell’arco H= qR/2 = 10* 30/2 =15 KN.

-le reazioni risultano essere anche simmetriche rispetto alle due cerniere, in quanto la struttura dell’arco risulta essere completamente simmetrica;

- dal grafico del momento si evince come questo sia nullo sia nelle imposte che in chiave.

2.ANALISI DI ARCO PARABOLICO

L’arco parabolico è un arco dal comportamento funicolare, ovvero non presenta momento flettente ma solo sforzo normale, una volta in cui viene caricato con un carico uniforme.

Questo è caratterizzato dalla forma di una parabola, che viene definita da un insieme di coordinate x,y, perciò in questo caso, a differenza che nell’arco a tutto sesto, nell’analisi le coordinate non sono angolari, ma possono essere utilizzate coordinate lineari.

Per analizzare l’arco, è necessario comprendere l’equazione della parabola, quindi sarà necessario capire le coordinate dei punti in cui passa, e da queste, andare a determinare l’equazione:

A (0;0), B (l;f) , C (2l;0)

Sostituendo questi punti all’equazione generica della famiglia di parabole con asse parallelo all’asse y

(f(x)= y= ax² + bx +c):

f (0;0) -> 0= a*0 + b*0 + c -> c =0

f(l;f) -> f= al² + bl -> a= -f/l²

f(2l;0) -> 0= 4al² + 2bl -> b= -2al =2f/l

Ne deduciamo che l’equazione è y(x)= -fx²/l² + 2fx/l

Per l’analisi delle sollecitazioni si prende una sezione, tagliando la parabola in un punto (x; -fx²/l² + 2fx/l) e facendo passare per esso una sezione perpendicolare alla curva stessa. La tangente alla curva invece, individua sull’asse x un angolo ß, che è lo stesso che formano N e T all’altezza della sezione, e che serve per ricavare le componenti orizzontali e verticali.

Anche in questo caso si ricorre alle equazioni di equilibrio;

Equazione di equilibrio a traslazione orizzontale:

ql²/2f + Ncosß – Tsinß=0

Equazione di equilibrio a traslazione verticale:

ql – qx + Nsinß + Tcosß=0

Equazione equilibro momenti:

-qlx + ql²/2f * y + qx²/2 + M(x)=0

-qlx - qx²/2 + qlx + qx²/2 + M(x) =0

M(x) =0 il momento è nullo per ogni x della parabola.

Vengono messe a sistema adesso le equazioni di equilibrio a traslazione sia orizzontale che verticale:

1.ql²/2f + Ncosß – Tsinß=0

2.ql – qx + Nsinß + Tcosß=0

1.N=TsinB/cosß –ql²/2f cosß -> N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) + (Ttgß –ql²/2f cosß)*sinß + Tcosß=0

1.N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) –ql²/2f*tgß + T tgß*sinß + Tcosß =0

1. N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) –ql²/2f*tgß + T tgß*sinß + Tcosß =0

Sappiamo che tgß= dy/dx = -2fx/l² + 2f/l :

1.N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) –ql²/2f*(-2fx/l² + 2f/l) + Tsin²ß/cosß + Tcosß =0

1.N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) + qx – ql + T(sin²ß+cos²ß/cosß) =0

1.N=tgß –ql²/2f cosß

2.ql - qx+ qx – ql + T(1/cosß) =0 -> T(1/cosß) =0 -> T=0

Il taglio proprio come il momento è nullo su tutti I punti dell’arco parabolico: l’unica sollecitazione presente è lo sforzo normale, di conseguenza in tutte le sezioni dell’arco, la forza sarà sempre perpendicolare alla sezione stessa.

L’angolo ß dipende dall’ascissa del punto che viene preso sull’arco parabolico e cambia in conseguenza ad esso: nella sezione di imposta ß=0 -> cosß =1

N(0°)=-ql²/2f SPINTA DELL’ARCO.

Anche questa volta su SAP viene importato un file in formato dxf, di una parabola dotata di l= 3m e f= 2,425 m.

Questo viene dotato dei vincoli di cerniere esterne e interna come in precedenza.

Successivamente viene dotato di una sezione uguale a quella assegnata per l’arco a tutto sesto 0,3*0,2 m e viene caricato con un carico uniforme secondo la curvatura pari a 10 kN/m.

Infine dall’analisi effettuata si possono stabilire delle conclusioni:

-le reazioni vincolari ancora una volta sono congruenti in base ai dati di partenza con le formule precedentemente enunciate

Reazione verticale: ql = 10* 3 = 30 kN

Reazione orizzontale ql²/2f = 10* 9/ 2*2,425 = 18,55 kN

-Essendo questo arco parabolico, dotato di una freccia minore rispetto all’arco a tutto sesto precedentemente analizzato, è possibile osservare come il valore della spinta dell’arco aumenta, in quanto è inversamente proporzionale alla freccia.

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

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Esercitazione 5_Studio ripartizioni di forze sismiche in struttura controventata da telai

Inviato da sara.passerini il Lun, 16/06/2014 - 18:31

Esercitazione 5_Studio ripartizioni di forze sismiche in struttura controventata da telai

Scopo di questa esercitazione è quello di analizzare la ripartizione delle forze sismiche in una struttura di un edificio ad un piano. Le forze sismiche sono forze orizzontali e per far fronte a questo, è necessario dotar l’edificio di controventi; il telaio rappresenta un controvento “naturale”, adatto a far fronte a forze orizzontali. In questo caso si è scelto di dotare l’edificio di telai shear-type: questi sono un modello idealizzato, dotato di una trave molto resistente, che ha il compito di assorbire la grande parte del taglio e del momento.

Per svolgere l’analisi della struttura, è necessario delineare dei telai, sia in orizzontale che in verticale: in base a questo, è possibile andare ad analizzare le rigidezze del telaio, in quanto la rigidezza del telaio è la somma delle rigidezze dei pilastri che ne fanno parte.

Trattandosi di un telaio shear-type, la rigidezza del singolo pilastro è pari a 12EJ/l³ ; tuttavia, andando a considerare telai di più pilastri, la rigidezza sarà 12E/l³ *(J₁ + J₂+…J_i).

È anche necessario notare come, a livello di pianta, i pilastri, essendo rettangolari saranno regolati in base a come sono tessuti i telai, per essere dotati di maggior momento d’inerzia (in pilastri rettangolari bh³/12) nella direzione utile al telaio; avendo scelto pilastri di sezione rettangolare 0,5*0,3, in cemento armato.

Una volta individuati i telai, questi vengono rappresentati con delle molle, che rappresentano la rigidezza del telaio nel piano dell’impalcato: questo simbolo rappresenta la natura intrinseca nel vincolo, che è un vincolo elastico: con questo si intende la capacità che ha di deformarsi sotto sforzo, e poi di tornare alla sua posizione una volta terminata la spinta della forza esterna.

Grazie lo strumento di excel, è possibile calcolare in modo veloce la ripartizione delle forze sismiche attraverso vari step: il primo è stato quello di inserire nelle tabelle i valori dei parametri per il calcolo delle rigidezze dei diversi telai; i parametri sono i seguenti:

-E (modulo di elasticità) = per la classe di calcestruzzo armato scelta C25/30 il valore del modulo di Young è 31500 MPa (N/mm²);

-J (momento di inezia) = bh³/12, calcolato in base all’orientamento dei telai: per i telai verticali J_x, per quelli orizzontali J_y;

-H (altezza dei pilastri) = molto influente nel calcolo perché viene inserita con l’esponente alla 3.

Vengono così calcolati direttamente i valori delle rigidezze dei telai che formano la struttura.

Sono poi riassunti nel secondo step tutte le rigidezze dei vari controventi, riportate insieme alle rispettive distanze dal punto di origine O, preso coincidente con il pilastro 1. Le distanze dei vari controventi serviranno per calcolare le coordinate del centro delle rigidezze.

Prima del calcolo del centro di rigidezze, che è il punto dove si concentrano idealmente le forze reattive di tutti i controventi, è necessario andare a trovare il centro di massa, o baricentro, che è invece il punto dove idealmente si concentrano tutte le forze esterne, che spingono il corpo a trasformarsi.

Per calcolare il centro di massa è necessario scomporre l’area totale in delle aree semplificate, andando a trovare i baricentri delle singole, per poi risalire a quello dell’intera struttura.

X_G=15,78 ; Y_G= 5,22

Una volta calcolato il baricentro, si può passare al calcolo del centro delle rigidezze: le coordinate vengono ottenute attraverso le seguenti formule:

X_c= K*/Ko_tot ; Y_c= K* / Kv_tot

Dove K*(momento risultante delle rigidezze)= k₁*d₁ + k₂*d₂ + k₃* d_{3 …}+k_i*d_i

Successivamente viene calcolata la rigidezza torzionale totale, grazie alla formula: ∑k_oi* d_oi² +∑ k_vi* d_vi²

Per l’analisi delle forze sismiche è necessario calcolare la risultante di queste forze: questa viene calcolata basandosi sui carichi sia di natura permanente G, sia di natura accidentale Q, che vengono moltiplicati per l’area dell’impalcato su cui agiscono; questi poi vengono moltiplicati per un coefficiente sismico, il coefficiente di contemporaneità Ψ (=0,80) ottenendo il fattore W(pesi sismici) il quale, moltiplicato per un altro coefficiente c (=0,10), di intensità sismica, dà il valore della forza sismica orizzontale F (KN).

Infine tramite il foglio excel è possibile anche osservare la ripartizione delle forze sismiche orizzontali lungo x e lungo y (F_x; F_y):i pilastri non effettuano traslazioni sulla base, in quanto questi sono incastrati, ma traslano nell’estremità opposta, ottenendo al contempo un momento torcente. Questo dipende dalla forza sismica orizzontale che viene moltiplicata per la differenza delle coordinate delle ordinate del centro di rigidezze – il centro di massa: M_x= F(Y_C-Y_G).

La traslazione lungo l’asse x (u_o) si ottiene dalla formula F= k*δ, dove δ= u_o= F/k_o_tot_.

Un altro valore importante è la rotazione dell’impalcato, generata dal rapporto del momento torcente e della rigidezza torsionale totale. Φ= M_x/ K_tot.

Infine vengono poi indicate per ogni controvento, le forze che vi agiscono, queste sono ottenute dal prodotto della rigidezza del controvento, della sua distanza dall’origine e infine della rotazione dell’impalcato.

Lo stesso viene ottenuto anche per le forze sismiche che agiscono lungo l’asse y.

Si ricrea lo stesso modello su SAP, per verificare i risultati ottenuti: trattandosi di un impalcato infinitamente rigido ci si aspetta una semplice traslazione di tutto l’impalcato, ottenuta dalla deformazione dei pilastri ad “S”, secondo il modello sher-type, con il punto di nullo del momento a ½ dell’altezza.

-si ridisegna la struttura;

-vengono incastrati i pilastri a terra, secondo il modello shear-type;

-vengono definite le sezioni degli elementi: i pilastri 1-2-3-4-5-6 vengono dotati di una sezione di 0,5*0,3m, i pilastri 7-8-9-10 vengono dotati di una sezione di 0,3*0,5m, mentre le travi vengono realizzate di sezione 0,4*1,0m. Inoltre, sono state modificati i moduli di elasticità dei pilastri, per renderli conformi a il dato utilizzato in excel (31500 N/mmq), sia è stato cresciuto esponenzialmente il modulo E delle travi, per renderle infinitamente rigide, cercando di raggiungere il più possibile il modello ideale di shear-type.

-è poi necessario inserire il centro delle rigidezze, utilizzando le coordinate ottenute su excel:

X_c= 18,79 Y_c= 3,74

-si assegna un vincolo interno (diaphragm) in modo da rendere l’impalcato rigido;

-si assegna la forza sismica ottenuta su excel (F=170,64 KN), facendola agire sul centro delle rigidezze della struttura.

-si effettua l’analisi e si osservano i risultati:

come previsto, la deformata mostra una traslazione rigida dell’impalcato (la rotazione è praticamente irrisoria) e la deformazione dei pilastri avviene tramite la forma ad S;

-il grafico del momento mostra come questo nei pilastri sia lineare, e praticamente come si annulli, tralasciando piccolissimi errori decimali ad ½ dell’altezza dei pilastri;

SdC(b) (LM PA)

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Esercitazione 4_ Risoluzione di una struttura iperstatica con il metodo della linea elastica

Inviato da sara.passerini il Dom, 18/05/2014 - 17:01

SdC(b) (LM PA)

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Esercitazione3_ Dimensionamento di una mensola

Inviato da sara.passerini il Dom, 18/05/2014 - 16:05

Esercitazione3_ Dimensionamento di una mensola

1_ Analisi edificio

L’edificio analizzato è una semplice abitazione (uso residenziale), dotato di schema strutturale composto da una trave appoggiata e da una mensola. In questo caso l’analisi è rivolta allo sbalzo. Il dato fondamentale, questa volta ancora più incisivo che nella trave appoggiata è la luce, in questo caso di 3m. È stata individuata in carpenteria una delle travi più sollecitate dotata di un interasse di 4m.

2_ Scelta del tipo di solaio

Si è scelto di fare un’analisi di questa trave, studiandola in relazione ai diversi materiali da costruzione: si sono perciò analizzate diverse stratigrafie di solaio in base alla trave che di volta in volta si vuole analizzare.

2.1_ Solaio in legno

La tecnologia del solaio scelta è la medesima della scorsa esercitazione, per avere ancora più chiaro il paragone tra due diverse strutture. Vengono riportati di seguito, le rispettiva analisi dei carichi q_s,q_p,q_{A, (}rispettivamente carichi strutturali, permanenti accidentali).

Analisi carichi solaio in legno

_carichi strutturali q_s: tavolato, travetti

_tavolato 0,03 m * 4kN/m³= 0,12 kN/m²

_travetti 2 * 0,25 m* 0,12 m * 6 kN/m³ = 0,36 kN/m²(viene usato il valore al mq perché non c’è grande differenza con quello che si avrebbe al ml)

_totale q_{s =}0,48 kN/m²

_carichi permanenti q_p: pavimento, allettamento, isolante, massetto, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³= 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,02 m * 14 kN/m³ = 0,28 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³= 0,016 kN/m²

_massetto cls 0,06 m * 24 kN/m³= 1,44 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p= 3,54 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi 6,02 kN/m²

_coefficienti di sicurezza

Per aumentare la sicurezza del dimensionamento ogni carico va moltiplicato per un coefficiente di sicurezza (poco più grande di 1) e questi sono: γ_s= 1,3 γ_p= 1,3 γ_A= 1,5

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 8,23 kN/m²

_carico proprio della trave q_s

In questa prima fase del dimensionamento non è stato considerato il peso proprio della trave, che incide nei carichi strutturali, in quanto non si conoscono le dimensioni della sezione. Tuttavia, una volta ricavata l’altezza della sezione con il predimensionamento ed ingegnerizzata, verrà moltiplicata per il peso specifico del materiale con cui è composta. Verrà poi effettuato un nuovo dimensionamento, aggiungendo il valore del peso della trave ai carichi strutturali, ottenendo così un nuovo momento flettente, e valutando così la resistenza della trave.

3.1_ Dimensionamento

Dal valore di carico calcolato su un mq di solaio, si è risaliti alla quantità di carico del pezzo di solaio che grava sulla trave scelta. (kN/m)

q = (q_s * γ_s+ q_p*γ_p + q_A*γ_A) * i = 8,23 kN/m²* 4 m =

q =32,92 kN/m

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave, è possibile calcolare il momento massimo M_maxche insiste sulla sezione della stessa. In questo caso, la mensola a differenza della trave appoggiata possiede un momento M_max = ql²/2:

M_max= (32,92 kN/m * 3²m²)/2 =

M_max=148,07 kN * m

Definito il momento massimo di progetto, è necessario stabilire il materiale con cui si vuole realizzare la trave, dal quale dipenderà la resistenza f_d. Nel caso del legno, la resistenza dipende dalla formula f_d= ( k_mod* f_k) / γ_mdove f_k è la resistenza del materiale scelto(in questo caso legno lamellare classe GL 24 h), k_mod è un coefficiente che tiene conto dell’effetto sia della durata del carico che dell’umidità sulla resistenza. Infine γ_mè il coefficiente di sicurezza del materiale (in questo caso 1,45).

f_d = ( 0,8 * 24 N/mm² ) /1,45 =

f_d = 13,24 N/mm²

Una volta ricavata la resistenza di progetto del materiale è possibile effettuare il dimensionamento attraverso la formula di Navier : σ_amm= M_max/ W_max

Sapendo che W_max= bh²/ 6, stabilendo un valore per la base della trave (=30 cm) è possibile ricavare, tramite la formula inversa l’altezza: h= √ (6 * M_max) / (σ_amm* b)

h= √ (6 * 148,07 kNm) /[ (13,24 * 1000 kN/m²) * 0,3 m]

h= √ 888,42 kNm / 3972 kN /m

h= √0,2237 = 0,473 m

L’altezza minima per la trave è di 47,3 cm. Tuttavia visto che è un predimensionamento di minima, si sceglie di utilizzare una sezione di h= 50 cm.

4.1_ Analisi abbassamento

Il valore dell’abbassamento v_max non è altro che uno spostamento lineare, che perciò in una struttura isostatica può essere calcolato con il metodo degli spostamenti, che non è altro che una semplificazione del metodo della linea elastica.

L’equazione risolutiva di questo metodo è la seguente: Х_(s)= d²v/ds²= M_(s)/EJ

Questo significa che l’equazione dello spostamento v(s), data dalla doppia integrazione dell’equazione sovrascritta è fortemente dipendente sia dal modulo di Young, sia dal momento di inerzia della sezione stessa. È necessario perciò stabilire un valore di E, che dipende dalla tipologia di materiale scelto. Nel mio caso, la trave scelta di legno lamellare classe GL 24 h ha un valore di E= 11600 N/mm². Invece, il valore I_x,modulo di inerzia della sezione è calcolato con la formula bh³/12, in quanto si tratta di una sezione rettangolare.

L’abbassamento totale è calcolabile attraverso la formula v_max= ql⁴/8EI_x, in quanto il carico è uniformemente distribuito. A livello dimensionale:

[v_max]₌[F] [L³]/ [F] [L^-2] [L⁴] = [L]

In questo caso l’abbassamento misura:

v_max: 32,904 KN/m * 3⁴ m⁴/ 8 * 11600 N/mm² * 312500 cm⁴= [(32,904*10) N/m * (3⁴ *100) cm⁴] / 8* [(11600 * 100) N/cm²* 312500 cm⁴] = 0,92 cm

Per verificare che l’abbassamento sia realmente accettabile da parte della struttura, è necessario che il rapporto tra v_max/ l ≤ 1/250. Nella tabella excel questo rapporto è invertito, perciò l’abbassamento è accettabile se l/ v_max≥ 250. In questo caso il rapporto l/ v_max= 326,43 perciò questo abbassamento è accettato dalla struttura.

5.1_ Verifica del dimensionamento e dell’abbassamento

Per verificare il dimensionamento appena calcolato è necessario andare a ricalcolare i carichi, aggiungendo il peso proprio della trave, calcolato in base alla sezione per verificare se la struttura riesce a reggere lo sbalzo anche in questo caso. Il peso specifico del legno lamellare classe GL 24 h è di 380 kN/ m^3.

Analisi carichi solaio in legno

_carichi strutturali q_s: tavolato, travetti, trave

_tavolato 0,03 m * 4kN/m³= 0,12 kN/m²

_travetti 2 * 0,25 m* 0,12 m * 6 kN/m³ = 0,36 kN/m²(viene usato il valore al mq perché non c’è grande differenza con quello che si avrebbe al ml)

_trave 0,5 m * 0,3 m * 3,80 kN/m³= 0,57 kN/ m² (“ “ “ )

_totale q_{s =}1,05 kN/m²

_carichi permanenti q_p: pavimento, allettamento, isolante, massetto, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³= 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,02 m * 14 kN/m³ = 0,28 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³= 0,016 kN/m²

_massetto cls 0,06 m * 24 kN/m³= 1,44 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p= 3,54 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 8,97 kN/m²

_calcolo carico distribuito:

q = (q_s * γ_s+ q_p*γ_p + q_A*γ_A) * i = 8,97 kN/m²* 4 m =

q =35,87 kN/m

_calcolo momento massimo:

M_max= (35,87 kN/m * 6²m²)/8 =

M_max=161,4 kN * m

_calcolo h trave (in quanto il parametro della resistenza non ha subito variazioni):

h= √ (6 * 161,4 kNm) /[ (13,24 * 1000 kN/m²) * 0,3 m]

h= √ 968,4 / 3972 kN /m

h= √0,244= 0,493 m

La misura di altezza ingegnerizzata scelta in precedenza risulta essere valida, in quanto il peso della trave di legno è molto poco incidente a livello di carichi strutturali, che risultano appena raddoppiati. Per questo motivo, anche l’abbassamento della trave risulta minimamente aumentato, diventando v_max= 1,00 cm.

Il rapporto in questo caso l/ v_max= 299,45, quindi la struttura è definitivamente in grado di sopportare uno sbalzo di 3 metri con una trave a sezione uniforme di 30*50 cm di legno lamellare di classe GL 24 h.

5.1_ Dati di progetto nella tabella Excel

6.1_ Conclusioni

Dai due diversi dimensionamenti si è potuto constatare come aggiungendo il peso proprio della trave, si ha avuto un incremento dell’altezza della trave di oltre 2cm, che ha comportato un maggiore abbassamento, in quanto il carico ripartito uniformemente sulla trave è risultato maggiore nel secondo caso, e ha comportato un incremento di abbassamento di essa di 0,08 cm.

Tuttavia si è anche potuto notare che mantenendo invariata la sezione della trave, non è possibile fare cambiamenti significativi della luce (non può essere aumentata neanche di 50 cm), ma si può aumentare l’interasse della trave fino a 4,5m, arrivando così al limite di abbassamento della struttura di 1,13 cm.

2.2_ Solaio in laterocemento

Analisi carichi solaio in laterocemento

_carichi strutturali q_s: caldana, travetti

_caldana 0,04 m * 24kN/m³= 0,96 kN/m²

_travetti 2 * 0,10 m* 0,16 m * 24 kN/m³ = 0,77 kN/m²(viene usato il valore al mq perché non c’è grande differenza con quello che si avrebbe al ml)

_totale q_{s =}1,73 kN/m²

_carichi permanenti q_p: pavimento, allettamento, isolante, pignatte, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³= 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,02 m * 14 kN/m³ = 0,28 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³= 0,016 kN/m²

_pignatte 2 * 0,4 m * 0,16 m * 8 kN/m³= 1,02 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p= 3,12 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi 6,85 kN/m²

_coefficienti di sicurezza

Per aumentare la sicurezza del dimensionamento ogni carico va moltiplicato per un coefficiente di sicurezza (poco più grande di 1) e questi sono: γ_s= 1,3 γ_p= 1,3 γ_A= 1,5

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 9,30 kN/m²

_carico proprio della trave q_s

In questa prima fase del dimensionamento non è stato considerato il peso proprio della trave, che incide nei carichi strutturali, in quanto non si conoscono le dimensioni della sezione. Tuttavia, una volta ricavata la sezione con il predimensionamento, verrà moltiplicata per il peso specifico del materiale con cui è composta. Verrà poi effettuato un nuovo dimensionamento, aggiungendo il valore del peso della trave ai carichi strutturali, ottenendo così un nuovo momento flettente, e valutando così la resistenza della trave.

3.2_ Dimensionamento

Dal valore di carico calcolato su un mq di solaio, si è risaliti alla quantità di carico del pezzo di solaio che grava sulla trave scelta. (kN/m)

q = (q_s * γ_s+ q_p*γ_p + q_A*γ_A) * i = 9,30 kN/m²* 4 m =

q =37,2 kN/m

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave, è possibile calcolare il momento massimo M_maxche insiste sulla sezione della stessa. In questo caso, trattandosi di una mensola, il momento massimo è pari a M_max = ql²/2:

M_max= (37,2 kN/m * 3²m²)/2 =

M_max=167,4 kN * m

Definito il momento massimo di progetto, è necessario calcolare le resistenze dei due materiali che compongono la trave: l’acciaio f_yd(che ha una resistenza specifica per le armature) ed è data dal rapporto f_yd =f_yk/ γ_s e il calcestruzzo f_cd=α_cc * f_ck/ γ_c

f_yd = 450 N/mm² / 1,15

f_yd = 391,3 N/mm²

f_cd=0,85 * 40 N/mm² / 1,5

f_cd= 22,86 N/mm²

Una volta ricavata la resistenza di progetto del materiale è possibile effettuare il dimensionamento attraverso l’equilibrio alla rotazione della sezione:

M= C * b* = T * b*

Dove b*=hu-Xc/3 Xc= α*hu α= σ_ca/ (σ_ca+ σ_fa/n) n=15

M= C * (hu- α*hu /3)

M= σ_ca* (b * α*hu)/2 * (hu- α*hu /3)

M= σ_ca* b * α*hu/2 * (1 – α/3)hu

2M= σ_ca* b * α * (1 – α/3)hu²

hu²= 2M / [σ_ca* b * α * (1 – α/3)]

hu= √2M / [σ_ca* b * α * (1 – α/3)]

Per calcolare l’altezza utile della sezione è necessario stabilire una base, in questo caso di 30 cm.

hu=√2 * 167,4 kNm / 10³ * 22,86 kN/m² * 0,3 m* 0,47 (1-0,47/3)

hu= 0,352 m = 35,2 cm

L’altezza minima per la trave è di 35,2 cm. Tuttavia nelle travi di cemento armato è necessario aggiungere un delta di 5 cm, che corrisponde all’altezza del copriferro e di metà della sezione dei tondini dell’armatura.

L’altezza che si ottiene dal predimensionamento quindi risulta essere H= hu+δ H= 35,2 + 5 cm = 40,2 cm. Si ingegnerizza la sezionale prevedendo un’altezza di H=45 cm.

Dall’altezza della trave è possibile ricavare attraverso il foglio Excel sia l’area, che il peso in KN/m, che poi viene sommato per ottenere il carico q definitivo 30,78 KN/mq.

4.2_ Analisi abbassamento

L’equazione risolutiva di questo metodo è la seguente: Х_(s)= d²v/ds²= M_(s)/EJ

Il valore di E è 21000 N/mm², mentre il modulo d’inerzia I_x anche questa volta viene calcolato con la formula bh³/12, e vale 227813 cm⁴.

L’abbassamento totale è calcolabile attraverso la formula v_max= ql⁴/8EI_x, in quanto il carico è uniformemente distribuito.

In questo caso l’abbassamento misura:

v_max: 30,78 KN/m * 3⁴ m⁴/ 8 * 21000 N/mm² * 227813 cm⁴= [(30,78*10) N/m * (3⁴ *100) cm⁴] / 8* [(21000 * 100) N/cm²* 227813 cm⁴] = 0,65 cm

Ora è necessario verificare che il rapporto l/ v_maxsia ≥ 250.

In questo caso il rapporto l/ v_max= 460,60 perciò questo abbassamento è accettato dalla struttura, di conseguenza lo sbalzo è realizzabile.

5.2_ Dati di progetto nella tabella Excel

6.2_ Conclusioni

Il dimensionamento della mensola di cemento armato è stato già fatto, a differenza del legno, considerando il peso della trave all’interno del carico strutturale che agisce sullo sbalzo, in quanto il peso della trave di calcestruzzo è di molto maggiore rispetto a quello del legno.

[L’abbassamento tuttavia qui risulta minore, anche perché, nel termine q (carico totale che agisce sulla trave, peso della trave stessa compreso) non sono stati considerati i coefficienti di sicurezza γ_s,γ_p ,γ_A, che al contrario avrebbero determinato un carico totale di è [1,3*(q_s + q_p )+ 1,5*q_a]*4m+ 3,38 KN/m²= 40,58 KN/m².

Questo carico, comporterebbe al contrario un abbassamento:

v_max: 40,58 KN/m * 3⁴ m⁴/ 8 * 21000 N/mm² * 227813 cm⁴= [(40,58*10) N/m * (3⁴ *100) cm⁴] / 8* [(21000 * 100) N/cm²* 227813 cm⁴] = 0,85 cm.

Anche in questo caso si è cercato di capire come reagiva la struttura al variare sia della luce che dell’interasse: la luce è aumentabile di 50 cm, ma solo nel caso dove nel carico q non sono considerati i coefficienti di sicurezza, mentre l’interasse può essere aumentato fino a 5 m, registrando un abbassamento rispettivo di 0,80 cm e 1,06 cm, che la struttura in entrambi i casi riesce a sostenere in quanto il rapporto l/ v_maxè ≥ 250.

2.3_ Solaio in acciaio

Analisi carichi solaio in acciaio

_carichi strutturali q_s: massetto in cls, lamiera grecata

_massetto in cls spessore 0,11 m= 2,15 kN/m²

_lamiera grecata tipo HI-BOND spessore 0,7mm = 0,09 kN/m²

_totale q_{s =}2,24 kN/m²

_carichi permanenti q_p: pavimento, allettamento, isolante, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³= 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,06 m * 14 kN/m³ = 0,84 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³= 0,016 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p= 2,66 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi 6,9 kN/m²

_coefficienti di sicurezza

Per aumentare la sicurezza del dimensionamento ogni carico va moltiplicato per un coefficiente di sicurezza (poco più grande di 1) e questi sono: γ_s= 1,3 γ_p= 1,3 γ_A= 1,5

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 9,37 kN/m²

_carico proprio della trave q_s

In questa prima fase del dimensionamento non è stato considerato il peso proprio della trave, che incide nei carichi strutturali, in quanto non si conoscono le dimensioni della sezione. Tuttavia, una volta ricavata la sezione con il predimensionamento, verrà moltiplicata per il peso specifico del materiale con cui è composta. Verrà poi effettuato un nuovo dimensionamento, aggiungendo il valore del peso della trave ai carichi strutturali, ottenendo così un nuovo momento flettente, e valutando così la resistenza della trave.

3.3_ Dimensionamento

Dal valore di carico calcolato su un mq di solaio, si è risaliti alla quantità di carico del pezzo di solaio che grava sulla trave scelta. (kN/m)

q = (q_s * γ_s+ q_p*γ_p + q_A*γ_A) * i = 9,37 kN/m²* 4 m =

q =37,48 kN/m

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave, è possibile calcolare il momento massimo M_max= ql²/2:

M_max= (37,48 kN/m * 3²m²)/2 =

M_max=168,66 kN * m

Definito il momento massimo di progetto, è necessario stabilire il materiale con cui si vuole realizzare la trave, dal quale dipenderà la resistenza f_yd. Nel caso dell’acciaio, la resistenza dipende dalla formula f_yd= f_yk/ γ_sdove f_yk è la tensione di snervamento del materiale scelto (in questo caso Fe 430/S275), e γ_s è il coefficiente di sicurezza relativo dell’acciaio (1,15).

f_yd = 275 N/mm² /1,15 =

f_yd = 239,13 N/mm²

Una volta ricavata la resistenza di progetto del materiale è possibile effettuare il dimensionamento attraverso la formula di Navier : σ_amm= M_max/ W_max

Avendo sia la tensione ammissibile che il momento massimo, posso utilizzare la formula inversa rcavandomi il modulo di resistenza minimo a flessione W_xmin

W_xmin= M_max/ σ_amm

W_xmin= 168,66 kNm / 10³ * 239,13 kN/m²

W_xmin= 0,0007053 m³= 705,3 cm³

Attraverso il prontuario delle IPE è possibile trovare l’altezza della trave corrispondente al modulo di resistenza a flessione. Il valore appena superiore al W_xmincalcolato è di 713,0 cm³, che corrisponde ad un IPE330.

L’altezza della trave calcolata con il predimensionamento è di 33 cm.

Tramite il prontuario è possibile ricavare il peso della trave, pari a 0,491 KN/m², che viene sommato agli altri carichi strutturali ed utilizzato per il calcolo dell’abbassamento.

4.2_ Analisi abbassamento

L’equazione risolutiva di questo metodo è la seguente: Х_(s)= d²v/ds²= M_(s)/EJ

Il valore di E è 210000 N/mm², mentre il modulo d’inerzia I_x vale 11770 cm⁴.

L’abbassamento totale è calcolabile attraverso la formula v_max= ql⁴/8EI_x, in quanto il carico è uniformemente distribuito.

In questo caso l’abbassamento misura:

v_max: 42,39 KN/m * 3⁴ m⁴/ 8 * 210000 N/mm² * 11770 cm⁴= [(42,39*10) N/m * (3⁴ *100) cm⁴] / 8* [(210000 * 100) N/cm²* 11770 cm⁴] = 1,74 cm

Ora è necessario verificare che il rapporto l/ v_maxsia ≥ 250.

In questo caso il rapporto l/ v_max= 172,77 perciò questo abbassamento non è accettabile a livello strutturale.

Si è scelto allora di cambiare la resistenza dell’acciaio, prendendo un materiale meno resistente Fe360/S235, per spingere la trave dotata di meno resistente ad aumentare la sua sezione, diventando di conseguenza più tozza.

Questa volta il dimensionamento ha portato alla scelta di una IPE360, dotata di peso pari a 0,571 KN/m², e di modulo di inerzia I_x pari a 16270 cm⁴.

Dalla formula v_max= ql⁴/8EI_x, risulta che v_maxè pari a 1,127 cm.

In questo caso, il rapporto l/ v_max= 266,05 è maggiore di 250, di conseguenza la trave riesce a sostenere lo sbalzo.

5.3_ Dati di progetto nella tabella Excel

6.3_ Conclusioni

Si può quindi affermare, come scegliendo una resistenza caratteristica minore del materiale, che necessita perciò una sezione più tozza, si può ottenere una trave meno deformabile, dotata di maggiore momento di inerzia, che combatte perciò la flessione, e che è in grado di contenere l'abbassamento.

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

Leggi tutto su Esercitazione3_ Dimensionamento di una mensola

Esercitazione 2_ Dimensionamento di una trave di legno, cemento armato e acciaio.

Inviato da sara.passerini il Mer, 09/04/2014 - 19:09

Esercitazione2_ Dimensionamento di una trave

1_ Analisi edificio

L’edificio analizzato è una semplice abitazione (uso residenziale), con una parte su due livelli, dotato di schema strutturale molto semplice.

Questo è caratterizzato da un’orditura di travi principali dotate di una luce di 6m, e di travi secondarie (e perimetrali) lunghe 4m.

La prima cosa da fare, partendo dallo schema della carpenteria è capire quale è la trave più sollecitata, sapendo che ogni trave principale si prende metà del peso del solaio che regge.

In questo caso è stata individuata la trave B-B’ come una delle più sollecitate, in quanto si carica del peso del solaio che ha sia a destra che a sinistra, avendo perciò un interasse totale di (2+2=) 4 m.

2_ Scelta del tipo di solaio

2.1_ Solaio in legno

Il primo passo per l’analisi dimensionale della trave, è lo studio dei carichi che questa deve sopportare. Questi si dividono in carichi strutturali q_s,carichi permanenti q_p,carichi accidentali q_A.

È necessaria l’analisi di questi tre tipi di carichi separatamente, e poi devono essere uniti per ottenere il carico complessivo del solaio.

Analisi carichi solaio in legno

_carichi strutturali q_s: tavolato, travetti

_tavolato 0,03 m * 4kN/m³= 0,12 kN/m²

_travetti 2 * 0,25 m* 0,12 m * 6 kN/m³ = 0,36 kN/m²(viene usato il valore al mq perché non c’è grande differenza con quello che si avrebbe al ml)

_totale q_{s =}0,48 kN/m²

_carichi permanenti q_p: pavimento, allettamento, isolante, massetto, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³= 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,02 m * 14 kN/m³ = 0,28 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³= 0,016 kN/m²

_massetto cls 0,06 m * 24 kN/m³= 1,44 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p= 3,54 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi 6,02 kN/m²

_coefficienti di sicurezza

Per aumentare la sicurezza del dimensionamento ogni carico va moltiplicato per un coefficiente di sicurezza (poco più grande di 1) e questi sono: γ_s= 1,3 γ_p= 1,3 γ_A= 1,5

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 8,23 kN/m²

_carico proprio della trave q_s

In questa prima fase del dimensionamento non è stato considerato il peso proprio della trave, che incide nei carichi strutturali, in quanto non si conoscono le dimensioni della sezione. Tuttavia, una volta ricavata la sezione con il predimensionamento, verrà moltiplicata per il peso specifico del materiale con cui è composta. Verrà poi effettuato un nuovo dimensionamento, aggiungendo il valore del peso della trave ai carichi strutturali, ottenendo così un nuovo momento flettente, e valutando così la resistenza della trave.

3.1_ Dimensionamento

Dal valore di carico calcolato su un mq di solaio, si è risaliti alla quantità di carico del pezzo di solaio che grava sulla trave scelta. (kN/m)

q = (q_s * γ_s+ q_p*γ_p+ q_A*γ_A) * i = 8,23 kN/m²* 4 m =

q =32,92 kN/m

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave, è possibile calcolare il momento massimo M_maxche insiste sulla sezione della stessa. In questo caso, la trave trattata è una semplice trave appoggiata dotata di un momento massimo pari a M_max = ql²/8:

M_max= (32,92 kN/m * 6²m²)/8 =

M_max=148,14 kN * m

f_d = ( 0,8 * 24 N/mm² ) /1,45 =

f_d = 13,24 N/mm²

Una volta ricavata la resistenza di progetto del materiale è possibile effettuare il dimensionamento attraverso la formula di Navier : σ_amm= M_max/ W_max

Sapendo che W_max= bh²/ 6, stabilendo un valore per la base della trave (=30 cm) è possibile ricavare, tramite la formula inversa l’altezza: h= √ (6 * M_max) / (σ_amm* b)

h= √ (6 * 148,14 kNm) /[ (13,24 * 1000 kN/m²) * 0,3 m]

h= √ 888,84 kNm / 3972 kN /m

h= √0,2237 = 0,473 m

L’altezza minima per la trave è di 47,3 cm. Tuttavia visto che è un predimensionamento di minima, si sceglie di utilizzare una sezione di h= 50 cm.

4.1_ Verifica del dimensionamento

Per verificare il dimensionamento appena calcolato è necessario andare a ricalcolare i carichi, aggiungendo il peso proprio della trave, calcolato in base alla sezione. Il peso specifico del legno lamellare classe GL 24 h è di 3,80 kN/ m^3.

Analisi carichi solaio in legno

_carichi strutturali q_s: tavolato, travetti, trave

_tavolato 0,03 m * 4kN/m³= 0,12 kN/m²

_travetti 2 * 0,25 m* 0,12 m * 6 kN/m³ = 0,36 kN/m²(viene usato il valore al mq perché non c’è grande differenza con quello che si avrebbe al ml)

_trave 0,5 m * 0,3 m * 3,80 kN/m³= 0,57 kN/ m² (“ “ “ )

_totale q_{s =}1,05 kN/m²

_carichi permanenti q_p: pavimento, allettamento, isolante, massetto, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³= 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,02 m * 14 kN/m³ = 0,28 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³= 0,016 kN/m²

_massetto cls 0,06 m * 24 kN/m³= 1,44 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p= 3,54 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 8,97 kN/m²

_calcolo carico distribuito:

q = (q_s * γ_s+ q_p*γ_p+ q_A*γ_A) * i = 8,97 kN/m²* 4 m =

q =35,87 kN/m

_calcolo momento massimo:

M_max= (35,87 kN/m * 6²m²)/8 =

M_max=161,4 kN * m

_calcolo h trave (in quanto il parametro della resistenza non ha subito variazioni):

h= √ (6 * 161,4 kNm) /[ (13,24 * 1000 kN/m²) * 0,3 m]

h= √ 968,4 / 3972 kN /m

h= √0,244= 0,493 m

5.1_ Dati di progetto nella tabella Excel

Nella tabella Excel compaiono nelle varie caselle i vari addendi e fattori che devono essere sommati e moltiplicati fra loro al fine di ottenere il dimensionamento: nella prima riga c’è il dimensionamento della trave senza considerarne il peso proprio, nella seconda invece c’è il dimensionamento che tiene conto anche al peso proprio della trave.

6.1_ Conclusioni

Dai due diversi dimensionamenti si è potuto constatare come aggiungendo il peso proprio della trave, si ha avuto un incremento dell’altezza della trave di oltre 2cm.

Tuttavia, rimanendo larghi nell’arrotondamento dell’altezza del primo dimensionamento, la trave scelta è risultata idonea in entrambi i casi.

2.2_ Solaio in laterocemento

Analisi carichi solaio in laterocemento

_carichi strutturali q_s: caldana, travetti

_caldana 0,04 m * 24kN/m³= 0,96 kN/m²

_travetti 2 * 0,10 m* 0,16 m * 24 kN/m³ = 0,77 kN/m²(viene usato il valore al mq perché non c’è grande differenza con quello che si avrebbe al ml)

_totale q_{s =}1,73 kN/m²

_carichi permanenti q_p: pavimento, allettamento, isolante, pignatte, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³= 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,02 m * 14 kN/m³ = 0,28 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³= 0,016 kN/m²

_pignatte 2 * 0,4 m * 0,16 m * 8 kN/m³= 1,02 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p= 3,12 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi 6,85 kN/m²

_coefficienti di sicurezza

Per aumentare la sicurezza del dimensionamento ogni carico va moltiplicato per un coefficiente di sicurezza (poco più grande di 1) e questi sono: γ_s= 1,3 γ_p= 1,3 γ_A= 1,5

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 9,30 kN/m²

_carico proprio della trave q_s

In questa prima fase del dimensionamento non è stato considerato il peso proprio della trave, che incide nei carichi strutturali, in quanto non si conoscono le dimensioni della sezione. Tuttavia, una volta ricavata la sezione con il predimensionamento, verrà moltiplicata per il peso specifico del materiale con cui è composta. Verrà poi effettuato un nuovo dimensionamento, aggiungendo il valore del peso della trave ai carichi strutturali, ottenendo così un nuovo momento flettente, e valutando così la resistenza della trave.

3.2_ Dimensionamento

Dal valore di carico calcolato su un mq di solaio, si è risaliti alla quantità di carico del pezzo di solaio che grava sulla trave scelta. (kN/m)

q = (q_s * γ_s+ q_p*γ_p+ q_A*γ_A) * i = 9,30 kN/m²* 4 m =

q =37,2 kN/m

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave, è possibile calcolare il momento massimo M_maxche insiste sulla sezione della stessa. In questo caso, la trave trattata è una semplice trave appoggiata dotata di un momento massimo pari a M_max = ql²/8:

M_max= (37,2 kN/m * 6²m²)/8 =

M_max=167,4 kN * m

f_yd = 450 N/mm² / 1,15

f_yd = 391,3 N/mm²

f_cd=0,85 * 40 N/mm² / 1,5

f_cd= 22,67 N/mm²

Una volta ricavata la resistenza di progetto del materiale è possibile effettuare il dimensionamento attraverso l’equilibrio alla rotazione della sezione:

M= C * b* = T * b*

Dove b*=hu-Xc/3 Xc= α*hu α= σ_ca/ (σ_ca+ σ_fa/n) n=15

M= C * (hu- α*hu /3)

M= σ_ca* (b * α*hu)/2 * (hu- α*hu /3)

M= σ_ca* b * α*hu/2 * (1 – α/3)hu

2M= σ_ca* b * α * (1 – α/3)hu²

hu²= 2M / [σ_ca* b * α * (1 – α/3)]

hu= √2M / [σ_ca* b * α* (1 – α/3)]

Per calcolare l’altezza utile della sezione è necessario stabilire una base, in questo caso di 30 cm.

hu=√2 * 167,4 kNm / 10³ * 22,67 kN/m² * 0,3 m* 0,46 (1-0,46/3)

hu= 0,355 m = 35,5 cm

L’altezza minima per la trave è di 35,5 cm. Tuttavia nelle travi di cemento armato è necessario aggiungere un delta di 5 cm, che corrisponde all’altezza del copriferro e di metà della sezione dei tondini dell’armatura.

L’altezza che si ottiene dal predimensionamento quindi risulta essere H= hu+δ H= 35,5 + 5 cm = 40,5 cm. Tuttavia si sceglie di rimanere larghi e prevedere una sezione di H=45 cm.

4.2_ Verifica del dimensionamento

Analisi carichi solaio in laterocemento

_carichi strutturali q_s: caldana, travetti

_caldana 0,04 m * 24kN/m³= 0,96 kN/m²

_travetti 2 * 0,10 m* 0,16 m * 24 kN/m³ = 0,77 kN/m²(viene usato il valore al mq perché non c’è grande differenza con quello che si avrebbe al ml)

_trave 0,3 m * 0,45 m * 25 kN/ m³= 3,75 kN/m²(viene usato il valore al mq perché non c’è grande differenza con quello che si avrebbe al ml)

_totale q_{s =}5,48 kN/m²

_carichi permanenti q_p: pavimento, allettamento, isolante, pignatte, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³= 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,02 m * 14 kN/m³ = 0,28 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³= 0,016 kN/m²

_pignatte 2 * 0,4 m * 0,16 m * 8 kN/m³= 1,02 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p= 3,12 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi 10,6 kN/m²

_coefficienti di sicurezza

Per aumentare la sicurezza del dimensionamento ogni carico va moltiplicato per un coefficiente di sicurezza (poco più grande di 1) e questi sono: γ_s= 1,3 γ_p= 1,3 γ_A= 1,5

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 14,17 kN/m²

_calcolo carico distribuito:

q = (q_s * γ_s+ q_p*γ_p+ q_A*γ_A) * i = 14,17 kN/m²* 4 m =

q =56,68 kN/m

_calcolo momento massimo:

M_max= (56,68 kN/m * 6²m²)/8 =

M_max=255,1 kN * m

_calcolo hu trave (in quanto il parametro della resistenza non ha subito variazioni):

hu=√2 * 255,1 kNm / 10³ * 22,67 kN/m² * 0,3 m* 0,46 (1-0,46/3)

hu= 0,438 m = 43,8 cm

_aggiungo il coefficient δ per ottenere l’altezza H

H= 43,8 + 5 cm = 48,8 cm

Serve perciò una trave di altezza di 50 cm.

5.2_ Dati di progetto nella tabella Excel

6.2_ Conclusioni

Dai due diversi dimensionamenti si è potuto constatare come aggiungendo il peso proprio della trave, si ha avuto un incremento dell’altezza della trave molto incisivo: si passa da un’altezza utile di 35,5 cm ad un valore di 43,8, di oltre 8 cm superiore.

Questo è dovuto dal valore elevato del peso specifico del calcestruzzo armato, che influenza il dimensionamento quando si considera anche la trave con il suo peso.

2.3_ Solaio in acciaio

Analisi carichi solaio in acciaio

_carichi strutturali q_s: massetto in cls, lamiera grecata

_massetto in cls spessore 0,11 m= 2,15 kN/m²

_lamiera grecata tipo HI-BOND spessore 0,7mm = 0,09 kN/m²

_totale q_{s =}2,24 kN/m²

_carichi permanenti q_p: pavimento, allettamento, isolante, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³= 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,06 m * 14 kN/m³ = 0,84 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³= 0,016 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p= 2,66 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi 6,9 kN/m²

_coefficienti di sicurezza

Per aumentare la sicurezza del dimensionamento ogni carico va moltiplicato per un coefficiente di sicurezza (poco più grande di 1) e questi sono: γ_s= 1,3 γ_p= 1,3 γ_A= 1,5

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 9,37 kN/m²

_carico proprio della trave q_s

In questa prima fase del dimensionamento non è stato considerato il peso proprio della trave, che incide nei carichi strutturali, in quanto non si conoscono le dimensioni della sezione. Tuttavia, una volta ricavata la sezione con il predimensionamento, verrà moltiplicata per il peso specifico del materiale con cui è composta. Verrà poi effettuato un nuovo dimensionamento, aggiungendo il valore del peso della trave ai carichi strutturali, ottenendo così un nuovo momento flettente, e valutando così la resistenza della trave.

3.3_ Dimensionamento

Dal valore di carico calcolato su un mq di solaio, si è risaliti alla quantità di carico del pezzo di solaio che grava sulla trave scelta. (kN/m)

q = (q_s * γ_s+ q_p*γ_p+ q_A*γ_A) * i = 9,37 kN/m²* 4 m =

q =37,48 kN/m

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave, è possibile calcolare il momento massimo M_maxche insiste sulla sezione della stessa. In questo caso, la trave trattata è una semplice trave appoggiata dotata di un momento massimo pari a M_max = ql²/8:

M_max= (37,48 kN/m * 6²m²)/8 =

M_max=168,66 kN * m

f_yd = 275 N/mm² /1,15 =

f_yd = 239,13 N/mm²

Una volta ricavata la resistenza di progetto del materiale è possibile effettuare il dimensionamento attraverso la formula di Navier : σ_amm= M_max/ W_max

Avendo sia la tensione ammissibile che il momento massimo, posso utilizzare la formula inversa rcavandomi il modulo di resistenza minimo a flessione W_xmin

W_xmin= M_max/σ_amm

W_xmin= 168,66 kNm/10³ * 239,13 kN/m²

W_xmin= 0,0007053 m³= 705 cm³

L’altezza della trave calcolata con il predimensionamento è di 33 cm.

4.3_ Verifica del dimensionamento

Per verificare il dimensionamento appena calcolato è necessario andare a ricalcolare i carichi, aggiungendo il peso proprio della trave, calcolato in base alla sezione. Il peso specifico dell'acciaio è di 78,5 kN/m³ e l’area dell’IPE330 è pari a 62,60 cm² (=0,00626 m²)

Analisi carichi solaio in acciaio

_carichi strutturali q_s: massetto in cls, lamiera grecata

_massetto in cls spessore 0,11 m= 2,15 kN/m²

_lamiera grecata tipo HI-BOND spessore 0,7mm = 0,09 kN/m²

_trave IPE330 0,49 kN/m²

_totale q_{s =}2,73 kN/m²

_carichi permanenti q_p: pavimento, allettamento, isolante, incidenza impianti e tramezzi

_pavimento in gres porcellanato 0,015 m * 20 kN/m³= 0,3 kN/m²

_massetto in cls leggero 0,06 m * 14 kN/m³ = 0,84 kN/m²

_isolante 0,04 m * 0,4 kN/m³= 0,016 kN/m²

_incidenza impianti 1 kN/m²

_incidenza tramezzi 0,5 kN/m²

_totale q_p= 2,66 kN/m²

_carichi accidentali q_A:

_ambiente residenziale 2,00 kN/m²

_totale q_A: 2,00 kN/m²

_totale carichi 7,39 kN/m²

_coefficienti di sicurezza

Per aumentare la sicurezza del dimensionamento ogni carico va moltiplicato per un coefficiente di sicurezza (poco più grande di 1) e questi sono: γ_s= 1,3 γ_p= 1,3 γ_A= 1,5

_totale carichi (con coeff.sicurezza) = 10,01 kN/m²

_calcolo carico distribuito:

q = (q_s * γ_s+ q_p*γ_p+ q_A*γ_A) * i = 10,01 kN/m²* 4 m =

q =40,04 kN/m

_calcolo momento massimo:

M_max= (40,04 kN/m * 6²m²)/8 =

M_max=180,18 kN * m

_calcolo W_xmin trave (in quanto il parametro della resistenza non ha subito variazioni):

W_xmin= M_max/σ_amm

W_xmin= 180,18 kNm/10³ * 239,13 kN/m²

W_xmin= 0,0007535 m³= 753,5 cm³

È necessario dunque scegliere una IPE superiore, perchè la IPE330 non copre tale valore di modulo di resistenza a flessione, si adotta perciò una IPE 360 ( W_x = 904 cm³).

5.3_ Dati di progetto nella tabella Excel

6.3_ Conclusioni

Anche tramite la tabella di Excel è possibile vedere come il calcolo del peso della trave incida anche in questo caso molto sulla scelta della trave, e ancora una volta questo è dovuto dall’elevato peso specifico del materiale. Tuttavia, paragonandolo agli altri due materiali è chiaro come l’acciaio, su una luce di 6m, presenti un’altezza veramente ridotta (circa 15 cm in meno) rispetto alle travi sia di legno che di calcestruzzo, che sono alte uguali (=50 cm).

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

Leggi tutto su Esercitazione 2_ Dimensionamento di una trave di legno, cemento armato e acciaio.

Esercitazione 2_Trave reticolare 3d

Inviato da sara.passerini il Mar, 25/03/2014 - 19:57

Per la modellazione di una trave reticolare 3d si è pensato di creare un solaio a piastra reticolare rigido, partendo dalla trave reticolare di 9 campate precedentemente creata, e decidendo di ripeterlo per 3 volte dandogli le dimensioni perciò di 54x18 m.

Quindi in realtà la rigidezza serve più che altro per la forte luce di 54 m. Questa piastra è stata modellata attraverso una griglia 3d di SAP, che serviva come base per il disegno delle varie frame, che generavano un modulo a forma di parallelepipedo controventato su tutte e 6 le facce. Questo modulo poi è stato ripetuto sia lungo l’asse delle x creando la trave reticolare di 9 campate in 3d e poi anche lungo l’asse y per creare il lato corto della piastra.

Anche in questo caso, come nella trave 2d è stato necessario specificare che ai nodi non c’era presenza di incastri, bensì di cerniere interne, quindi è stata tolta l’assenza del momento in tutte le aste, sia all’inizio che alla fine, rendendole così affini al comportamento delle cerniere interne.

Si è scelto poi di posizionare i vincoli lungo le campate della trave centrale, concentrandone quattro ai vertici della campata centrale, ed altri quattro a due campate di distanza, sia a destra che a sinistra, immaginando una situazione dove questa piastra rigida viene lasciata solo con tre grandi appoggi interni (per esempio blocchi servizi), cercando di capire quanto riesca a restare rigida, specie nei punti in aggetto che sono i più sensibili.

Per le forze si è deciso di posizionare dei carichi concentrati su tutti i nodi della faccia superiore, per vedere il comportamento della piastra sotto un carico più uniforme possibile.

Anche in questo caso è stato necessario impostare una sezione, utilizzando sempre una trave tubolare cava in acciaio.

Dall’analisi dei vincoli è possibile vedere come questi non agiscano in modo simmetrico:

Dall’analisi degli sforzi è possibile vedere come anche in questo caso, sia nulli sia il taglio che il momento Invece è presente lo sforzo assiale.

Si può vedere sia dal grafico 3d che dalle due viste 2d come le aste si comportino in basso da tiranti, mentre in alto da puntoni. La cosa che non avevo considerato è che come si vede ancor più chiaramente nelle sezioni 2d è come una parte degli sforzi sia assente in alcune aste.

Grazie alla presenza delle tabelle di excel è possibile capire quale sia la trave più sollecitata, e si vede come questa sia una.

Infine è possibile capire il comportamento effettivo della struttura guardandone la deformata:

da questa si ha la conferma di come la struttura non agisca in modo simmetrico, e di come sia troppo poco vincolata per riuscire a rispondere in modo soddisfacente ai carichi: infatti anche se non si presenta un abbassamento eccessivo della parte centrale, tuttavia la piastra accusa molto i carichi nella parte degli aggetti, in modo anche non simmetrico, andandosi a piegare completamente (deformata di una mensola) e non mostrandosi adatta a sostenere un peso del genere.

Visto il comportamento con un solaio stretto e lungo, si è deciso di provare ad analizzare il comportamento della piastra con una maglia regolare di 9x9 campate. I vincoli sono stati lasciati nella stessa posizione, e ripetuti in modo da lasciare le stesse proporzioni con il solaio precedente, affidando un eventuale miglioramento della sua rigidezza ad una forma geometrica più regolare.

Facendo l’analisi delle forze con SAP , è possibile vedere come ancora una volta, le uniche forze presenti siano quelle assiali.

Il diagramma dello sforzo assiale mostra come anche in questo caso, le aste inferiori siano tese, mentre quelle superiori siano compresse.

Guardando i grafici della sezione xz e yz è possibile vedere come in un lato sia amplificato l’effetto dei tiranti e molto inferiore quello dei puntoni, e viceversa sull’altro lato si manifesti l’opposto.

grafico lato xz

grafico lato yz

Anche vedendo la deformata, è possibile capire come la forma geometrica più regolare non influisca positivamente nella rigidezza della piastra, in quanto la deformata si comporta esattamente nello stesso modo di quella dei solaio stretto e lungo.

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

Leggi tutto su Esercitazione 2_Trave reticolare 3d

Esercitazione1_ Trave reticolare 2d

Inviato da sara.passerini il Mar, 25/03/2014 - 18:06

La trave reticolare è una struttura caratterizzata da una struttura composta da aste, unite tra loro da cerniere interne che tra loro si trasmettono il momento. Queste aste sono legate in un modulo triangolare, che ripetuto genera una struttura che è caratterizzata da due correnti orizzontali che sono rispettivamente, uno teso e uno compresso.

Con SAP è stato possibile creare una trave reticolare, utilizzando un modello preimpostato, inserendo solo le dimensioni delle varie parti. L’altezza e la lunghezza della campata sono state messe in rapporto 1:2 (rispettivamente 3 e 6m), in modo che l’angolo che si forma tra le aste sia di 45°.

Per fare in modo che il modello di SAP risponda al modello di trave reticolare reale, è necessario trasformare i nodi da incastri a cerniere, andando a togliere un grado di vincolo.

Per capire il comportamento della trave, è necessario sottoporla a dei carichi, che si sceglie di inserire nei nodi in alto, di intensità uguale in ogni nodo.

Si genera così una struttura simmetrica sia geometricamente che dal punto di vista delle forze.Le reazioni vincolari in una struttura simile si ripartiscono in modo simmetrico, andando a dividersi nelle due cerniere esterne.

Infine è necessario per l’analisi in SAP, stabilire le caratteristiche della sezione della trave: si è scelta perciò una sezione in acciaio tubolare rotonda.

A questo punto è possibile fare l’analisi delle sollecitazioni: guardando i grafici delle varie sollecitazioni è possibile fare alcune considerazioni:

- I grafici delle sollecitazioni sono simmetrici rispetto all’asse baricentrico della trave;

- L’unica sollecitazione che avviene all’interno della trave è lo sforzo normale, che si trasmette in modo sia positivo sia negativo sulle aste, rispettando la simmetria precedentemente detta;

- Le aste dove lo sforzo normale è positivo sono dei tiranti, che vengono allungati, mentre dove lo sforzo normale è negativo si hanno dei puntoni, che vengono compressi;

- I correnti orizzontali rispettano il modello di trave reticolare, essendo uno teso (inferiore) e uno compresso (superiore);

- Le aste inclinate interne sono quelle che presentano minore sforzo normale, mentre lungo “il perimetro esterno” lo sforzo normale è molto più concentrato, sia nei tiranti esterni sia lungo i due correnti: tuttavia l’asta più sollecitata è quella centrale del corrente inferiore, in quanto è quella corrispondente al centro di simmetria della trave.

La deformata della trave, coerentemente alle sollecitazioni, si incurva verso il centro, abbassandosi, per permettere l’allungamento delle fibre del corrente teso, che sono massime in corrispondenza dell’asta risulta centrale, mentre risulta accorciata (e quindi presenta fibre compresse) nel corrente superiore. La deformazione avviene verso il basso, coerentemente ai carichi che gli sono stati applicati.

Attraverso l’uso di SAP è stato possibile esportare attraverso una tabella i valori dei vari sforzi assiali, che grazie ad excel sono stati ordinati per capire in modo chiaro quale fossero le aste più sollecitate, e si è potuto avere conferma ulteriore sia di questo sia dei valori nulli di taglio e momento all’interno della trave.

La tabella ha presentato un'analisi delle varie aste, che vengono divisi per intervalli di lunghezza, dimostrando come le varie sollecitazioni restino costanti; inoltre attraverso i segni delle lunghezze è possibile risalire a quali aste si comportino come tiranti (positive) e quali come puntoni (negative).

Questi dati, vengono confermati dalla tabella sottostante, che invece analizza i risultati delle aste nei nodi, che coincidono con i vincoli. A livello di risultati, l'unica differenza è che nelle aste inclinate, il risultato è diviso per componenti (es. N6sena, N6cosa), però vengono confermati i risultati delle aste orizzontali, che dimostrano come la reazione del vincolo della cerniera interna coincida con lo sforzo assiale.

Nella risoluzione a mano si è trovato conferma dei risultati ottenuti con SAP. Le reazioni vincolari sono state risolte sfruttando la simmetria della trave, risultando coincidenti con quelle calcolate dal programma.

L’analisi delle sollecitazioni è stata fatta attraverso l’utilizzo sia del metodo Richter, che attraverso l’equilibrio dei vari nodi:

Con la sezione di Richter si è fatto un taglio nelle prime tre aste (1,4,9), inserendo delle forze incognite che sono gli sforzi normale presenti nelle rispettive aste.

Il primo passaggio è stato il calcolo dell’equilibrio dei momenti nel nodo 2 perché era l’unico dove N1 ed N9 vi convergevano, risultando quindi nulle:

N4 x h + 3/2 F x l – F x l/2 =0

N4= ( Fl/2 – 3FL/2) x 1/h -> N4= (-100 x 6) KNm /3m = -200 KN

Il meno davanti ad N4 significa che la direzione con cui è stato inizialmente ipotizzato non era corretta, ma è diretto in senso opposto.

È stato poi effettuato l’equilibrio a traslazione verticale:

3F/2 – N9senα – F =0

N9senα= (3F/2 –F)= F/2= 50 KN

N9= 50 KN/ senα =70,7 KN

In questo caso il segno positivo, è conferma del fatto che il verso dello sforzo era stato correttamente ipotizzato.

Si è trovata N1 con l’equilibrio a traslazione orizzontale:

N1 – N4 + N9cosα =0

N1= N4- N9cosα= 200 – 50 KN = 150 KN

Si è poi passato allo studio dell’equilibrio delle forze che convergevano nei nodi, in modo di risolvere via via gli sforzi incogniti.

NODO 5

Equilibrio a traslazione orizzontale:

N6cosα + N9cosα – N4=0

N6cosα= N4 – N9 cosα= (200- 50)KN = 150 KN

N6= 150 KN / cosα = 212,1 KN

Equilibrio a traslazione verticale:

N6senα – N9senα – F =0

N6senα= 150 KN

NODO 2

Equilibrio a traslazione verticale:

N9senα + N7senα=0

N7senα= -N9senα= -50 KN

Equilibrio a traslazione orizzontale:

N1 – N2 + N9cosα + N7cosα =0

N2= -N1 - N9cosα - N7cosα= (-150 -50 -50 )KN= -250 KN

NODO 6

Equilibrio a traslazione verticale:

N10 senα + N7senα –F=0

N10senα= - N7senα +F = (-50 + 100) KN= 50 KN

Equilibrio a traslazione orizzontale:

N4 + N7cosα –N10cosα – N5=0

N5= - N4 –N7cosα + N10cosα = (-200 -50 + 50) KN = -200 KN

Infine grazie alla simmetria della trave, senza calcolare ulteriori equilibri ai nodi, è stato possibile andare a scrivere gli sforzi delle restanti aste. In base alla condizione di equilibrio al nodo è stato possibile stabilire anche se gli sforzi erano di trazione o di compressione: quando gli sforzi erano entranti nel nodo di trattava di puntoni, al contrario se lo sforzo era uscente si avevano dei tiranti.

Si è poi ricalcolato lo stesso modello di trave reticolare con SAP, rendendolo più realistico, attraverso l’aumento del numero delle campate, in quanto le travi reticolari sono proprio utilizzate per luci imponenti. Si è così ripetuto il modulo di h=3m e l=6m per 9 campate, lasciando sempre un carico simmetrico e di stessa intensità.

Attraverso l’analisi di SAP si è potuto constatare come di base il comportamento della trave sia lo stesso, in quanto non sono presenti ne taglio ne momento flettente ma vi è il solo sforzo assiale. Questo è sempre ripartito orizzontalmente in un corrente teso ed uno compresso, ma rispetto al modello di prima, dotato di una luce molto inferiore (18 m), questo che è lungo 54m presenta uno sforzo normale che presenta molte più variazioni di intensità da un’asta all’altra, e non solo sul corrente teso, ma anche su quello compresso crescendo tuttavia come in precedenza verso il centro di simmetria, punto individuato come il più sollecitato.