Esercitazione 6_Analisi di arco a 3 cerniere

ESERCITAZIONE 6_ ANALISI DI UN ARCO A TRE CERNIERE

L’arco è una struttura spingente, caratterizzata da una forma particolare che gli permette di avere una ottimizzazione delle sollecitazioni, limitando il momento flettente, trasformandolo in sforzo normale.L’arco a tre cerniere è un sistema isostatico, che è tale per la posizione delle cerniere nello spazio: una nella sezione di chiave, e due nella sezione d’imposta.

 

L’arco è una struttura simmetrica, perciò essendo caricato di una forza pari al suo solo peso proprio, il suo meccanismo sarà il seguente:

Dovendo risolvere un arco sottoposto ad un carico ripartito esterno q, l’equilibrio sarà il seguente:

      

È necessario fare l’equilibrio del 1° corpo intorno ad A:

-ql²/2 – df +cl =0

Momento del 2° corpo intorno a C:

ql²/2 + df +cl =0

Mettendo le due equazioni a sistema:   

-ql²/2 – df +cl =0

ql²/2 + df +cl =0

------------------------

             2cl=0 -> c=0

Per la simmetria della struttura, è chiaro che non ci possano essere forze asimmetriche sull’asse stesso della simmetria. A questo punto si può ricavare il valore della spinta:

-ql²/2 – df = 0

H = -ql²/2f

Dalla formula della spinta, si può notare come questa sia inversamente proporzionale alla freccia dell’arco: infatti più questa è di lunghezza inferiore, maggiore è la spinta dell’arco stesso.

È quindi necessario un confronto tra diversi tipi di arco: arco a tutto sesto, arco ribassato, arco parabolico.

1.ANALISI DI ARCO A TUTTO SESTO

 

Arco caratterizzato geometricamente dalla coincidenza delle lunghezze del raggio, della freccia, e della luce.

L = R = F

Le sollecitazioni che avvengono nell’arco si verificano in una sezione che la la stessa direzione del raggio. In questo caso, le sollecitazioni vengono espresse non più con coordinate lineari, ma angolari (α è l’angolo al centro). N, T, M sono espresse in funzione di alfa:

-N è perpendicolare alla sezione;

- T è parallelo alla sezione;

- N e T hanno componenti sia orizzontali che verticali, che servono per le equazioni di equilibrio;

- il carico distribuito q, agisce solo sulla proiezione della parte della circonferenza che viene considerata

Equilibrio a traslazione orizzontale:

ql²/2f +Nsena – Tcosa =0

Equilibrio a traslazione verticale:

ql + Ncosa + Tsena – qR (1- cosa) =0

Equilibrio dei momenti:

ql²/2f * Rsenα – ql * R(1-cosa) + [qR²(1- cosa)²]/2 – qR²/2 * sena + M(a) = 0

Sapendo che f = L = R:

M(a) = qR² (1- cosa) – [qR²(1- cosa)²]/2 - qR²/2 * sena

M(a) = qR² [(1- cosa) - (1- cosa)²/2 – sena/2]

Questa funzione può essere analizzata in chiave, per avere conferma che la il momento sia nullo.

M (90°) = qR² (1-0) - qR²/2 (1-0)² - qR²/2 *1 =0

M (90°) = qR² - qR²/2 - qR²/2 = 0

Le equazioni di equilibrio orizzontale e verticale vengono messe a sistema, in modo che per sostituzione, si possano ricavare i valori di N e T:

1.qR²/2f +Nsena – Tcosa =0

2.qR + Ncosa + Tsena – qR (1- cosa) =0

 

1.N = Tcosa/sena –qR/2sena

2.qRcosa + Tcosa*cosa/ sena – qRcosa/2sena + Tsena =0

 

1.N = Tcosa/sena –qR/2sena

2.T(cos²a/sena + sena) = qRcosa/2sena -qRcosa

 

1.N = Tcosa/sena –qR/2sena

2.T(1/sena) = qRcosa/2sena –qRcosa -> T= qRcosa*sena/2sena –qRcosa*sena

 

1.N = [qRcosa/2 (1-2sena)]*cosa/sena –qR/2sena

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

 

1.N =  qRcos²a/2sena (1-2sena) –qR/2sena

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

 

1.N =  qR/2sena [cos²a(1-2sena)-1]

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

 

1.N =  -qR/2sena *sena[ sena + 2cos²a]

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

 

1.N =  -qR/2[ sena + 2cos²a]

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

Vengono analizzate queste due equazioni nelle sezioni di imposta e di chiave:

N(0°) = -qR/2 * [0 + 2*1] = -qR = -qL forza entrante nell’arco

T (0°) = qR*1/2 (1-2*0) = qR/2 spinta dell’arco (= qR²/2R)

N(90°) = -qR/2 [ 1 +2* 0 ]= -qR/2  spinta dell’arco entrante nella sezione

T(90°) = qR*0/2(0-2*1) = 0 l’arco è una struttura simmetrica: nella sezione di chiave (asse di simmetria) non possono esserci forze non simmetriche.

Si decide di studiare l’arco anche su SAP. Questo viene disegnato in precedenza su AUTOCAD, ruotato e posto in posizione 3D, e viene salvato in un formato compatibile con SAP (dxf 2004).

Per determinare il modello di arco a tre cerniere è necessario andare a mettere due cerniere esterne nei punti di imposta, mentre in chiave è necessario selezionare i segmenti della trave, e rilasciare il momento a destra e a sinistra, per creare una cerniera interna.

Successivamente è necessario stabilire la sezione della trave, che nel caso dell’arco è rettangolare e misura 0,3*0,2m.

A questo punto si può selezionare il carico distribuito, che deve essere mandato in maniera uniforme rispetto alla curvatura dell’arco, attraverso il comando “GRAVITY PROJECTED”.

A questo punto è possibile fare l’analisi che da i seguenti risultati:

-le reazioni vincolari sono rispettivamente 30 di forza verticale e 15 di forza orizzontale, in quanto rappresentano uno la reazione vincolare al carico verticale, qR = 10 * 3 = 30 KN e una la spinta orizzontale dell’arco H= qR/2 = 10* 30/2 =15 KN.

-le reazioni risultano essere anche simmetriche rispetto alle due cerniere, in quanto la struttura dell’arco risulta essere completamente simmetrica;

- dal grafico del momento si evince come questo sia nullo sia nelle imposte che in chiave.

2.ANALISI DI ARCO PARABOLICO

L’arco parabolico è un arco dal comportamento funicolare, ovvero non presenta momento flettente ma solo sforzo normale, una volta in cui viene caricato con un carico uniforme.

Questo è caratterizzato dalla forma di una parabola, che viene definita da un insieme di coordinate x,y, perciò in questo caso, a differenza che nell’arco a tutto sesto, nell’analisi le coordinate non sono angolari, ma possono essere utilizzate coordinate lineari.

Per analizzare l’arco, è necessario comprendere l’equazione della parabola, quindi sarà necessario capire le coordinate dei punti in cui passa, e da queste, andare a determinare l’equazione:

A (0;0), B (l;f) , C (2l;0)

Sostituendo questi punti all’equazione generica della famiglia di parabole con asse parallelo all’asse y

 (f(x)= y= ax² + bx +c):

f (0;0) ->  0= a*0 + b*0 + c  -> c =0

f(l;f) -> f= al² + bl -> a= -f/l²

f(2l;0) -> 0= 4al² + 2bl -> b= -2al =2f/l

Ne deduciamo che l’equazione è y(x)= -fx²/l² + 2fx/l

Per l’analisi delle sollecitazioni si prende una sezione, tagliando la parabola in un punto (x; -fx²/l² + 2fx/l) e facendo passare per esso una sezione perpendicolare alla curva stessa. La tangente alla curva invece, individua sull’asse x un angolo ß, che è lo stesso che formano N e T all’altezza della sezione, e che serve per ricavare le componenti orizzontali e verticali.

 

Anche in questo caso si ricorre alle equazioni di equilibrio;

Equazione di equilibrio a traslazione orizzontale:

ql²/2f + Ncosß – Tsinß=0

Equazione di equilibrio a traslazione verticale:

ql – qx + Nsinß + Tcosß=0

Equazione equilibro momenti:

-qlx + ql²/2f * y + qx²/2 + M(x)=0

-qlx - qx²/2 + qlx + qx²/2 + M(x) =0

M(x) =0     il momento è nullo per ogni x della parabola.

Vengono messe a sistema adesso le equazioni di equilibrio a traslazione sia orizzontale che verticale:

1.ql²/2f + Ncosß – Tsinß=0

2.ql – qx + Nsinß + Tcosß=0

 

1.N=TsinB/cosß –ql²/2f cosß -> N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) + (Ttgß –ql²/2f cosß)*sinß + Tcosß=0

 

1.N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) –ql²/2f*tgß +  T tgß*sinß + Tcosß =0

 

1. N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) –ql²/2f*tgß +  T tgß*sinß + Tcosß =0

Sappiamo che tgß= dy/dx = -2fx/l² + 2f/l :

1.N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) –ql²/2f*(-2fx/l² + 2f/l) + Tsin²ß/cosß + Tcosß =0

 

1.N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) + qx – ql + T(sin²ß+cos²ß/cosß) =0

 

1.N=tgß –ql²/2f cosß

2.ql - qx+ qx – ql + T(1/cosß) =0 -> T(1/cosß) =0 -> T=0

Il taglio proprio come il momento è nullo su tutti I punti dell’arco parabolico: l’unica sollecitazione presente è lo sforzo normale, di conseguenza in tutte le sezioni dell’arco, la forza sarà sempre perpendicolare alla sezione stessa.

L’angolo ß dipende dall’ascissa del punto che viene preso sull’arco parabolico e cambia in conseguenza ad esso: nella sezione di imposta ß=0 -> cosß =1

N(0°)=-ql²/2f SPINTA DELL’ARCO.

 

Anche questa volta su SAP viene importato un file in formato dxf, di una parabola dotata di l= 3m e f= 2,425 m.

Questo viene dotato dei vincoli di cerniere esterne e interna come in precedenza.

Successivamente viene dotato di una sezione uguale a quella assegnata per l’arco a tutto sesto 0,3*0,2 m e viene caricato con un carico uniforme secondo la curvatura pari a 10 kN/m.

Infine dall’analisi effettuata si possono stabilire delle conclusioni:

-le reazioni vincolari ancora una volta sono congruenti in base ai dati di partenza con le formule precedentemente enunciate

Reazione verticale: ql = 10* 3 = 30 kN

Reazione orizzontale ql²/2f = 10* 9/ 2*2,425 = 18,55 kN

-Essendo questo arco parabolico, dotato di una freccia minore rispetto all’arco a tutto sesto precedentemente analizzato, è possibile osservare come il valore della spinta dell’arco aumenta, in quanto è inversamente proporzionale alla freccia.