Esercitazione_3 | Dimensionamento e verifica a deformabilità di una trave a sbalzo

In questa esercitazione,  procederemo al dimensionamento della trave a sbalzo più sollecitata in un solaio scelto arbitrariamente. Effettueremo l’analisi  ripetendo l’operazione per un solaio in legno, uno in calcestruzzo armato ed uno acciaio, utilizzando le stesse misure e tipologie costruttive del solaio ( legno, C.A., acciaio) analizzate per il precedente dimensionamento della trave doppiamente appoggiata.

La trave a sbalzo soggetta a maggior carico, e di conseguenza al maggior momento flettente, è quella evidenziata in rosso, in quanto la sua area d’influenza è pari a 3m x 6m = 18mq, ossia il  prodotto della luce per l’interasse.

Analizziamo ora il carico distribuito (KN/mq) dei vari tipi di materiali che compongono  ciascuna tipologia di solaio, ricordando che nel caso il materiale sia distribuito su tutta la superficie analizzata (1mq) avremo:

• ( peso specifico x volume ) /superficie analizzata = carico distribuito

Nel caso in cui sia presente invece una sezione che si ripete ad un determinato interasse:

• [ peso specifico x volume x ( lunghezza analizzata/interasse) ] / superficie analizzata = carico distribuito

Calcoleremo i diversi carichi distribuiti (q) in base alla loro classificazione:

qs = Carico degli elementi strutturali.

qp = Carico permanente degli altri elementi presenti nel solaio con funzione non strutturale, a cui va aggiunto il carico dato dai tramezzi (1KN/mq) e quello dato dagli impianti (0,5 KN/mq).

qa = Carico accidentale, dato da normativa tecnica in base allo destinazione d’uso degli ambienti, per la destinazione residenziale è pari a 2 KN/mq.

 

Solaio in legno

Carichi strutturali (qs)                                                                                                

_travetti in legno di conifere    

 [6 KN/mc x 0.15 m x 0.15 m x 1m x (1m/0,5)]/ 1mq = 0.27 KN/mq

_tavolato in legno di conifere

(6 KN/mc x 0,035 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.21 KN/mq

TOT.  =  0.48 KN/mq

 

Carichi permanenti (qp) 

_caldana in malta di cemento

(21 KN/mc x 0,040 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.84 KN/mq

_isolante in fibra di legno

(9 KN/mc x 0,040 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.36 KN/mq

_sottofondo in malta di calce

(18 KN/mc x 0,030 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.54 KN/mq

_tavolato in legno di quercia

(8 KN/mc x 0,025 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.20 KN/mq

_incidenza tramezzi  =      1 KN/mq

_incidenza impianti =   0.5 KN/mq

 TOT.  =  3.44 KN/mq             

 

Carichi accidentali (qa)

Ambiente ad uso residenziale (Normativa)

TOT. = 2 KN/mq                                                                       

Inseriamo ora i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave.

Per prima cosa scriviamo l’interasse dell’area d’influenza della trave (6m) e i diversi carichi calcolati precedentemente per ottenere q:

q = (1.3 x qs + 1.3 x qp + 1.5 qa) x interasse

dove i carichi strutturali, permanenti e accidentali vengono ognuno moltiplicati per un coefficiente di sicurezza.

Attraverso la luce possiamo ottenere il momento, che in questo caso è pari  qL²/2.

Passiamo successivamente alle caratteristiche del materiale per ottenere la tensione sig_{_}d, data dal prodotto del coefficiente riduttivo kmod  (0.80), che tiene conto della durata del carico e della classe di servizio del progetto, per la resistenza a flessione caratteristica fm,k , che dipende dal tipo di legno scelto (in questo caso un legno lamellare GL24h), ulteriormente ridotta dal coefficiente parziale di sicurezza γ che nel legno lamellare è pari a 1.45.

Inseriamo il valore della base che ipotizziamo per la nostra trave, in questo caso 30 cm e attraverso la formula di Navier otteniamo una trave con altezza pari a 57.46cm, perciò per approssimazione scegliamo di utilizzare una sezione ingegnierizzata 30 x 60 cm.

 

Inseriamo il valore della base che ipotizziamo per la nostra trave, in questo caso 30 cm e attraverso la formula di Navier otteniamo una trave con altezza pari a 57.46cm, perciò per approssimazione scegliamo di utilizzare una sezione 30 x 60 cm.

Passiamo ora all’analisi e alla verifica a deformabilità della trave. Il valore dell’abbassamento v_max nell’estremo non vincolato è pari a ql⁴/8EI_x.

Esso dipende essenzialmente da due valori: il modulo di Young e il momento di inerzia della sezione stessa. Il primo dipende dalla tipologia di materiale scelto. In questo caso, la trave scelta di legno lamellare classe GL 24 h ha un valore di E= 11600 N/mm². Invece, il valore I_x, modulo di inerzia della sezione è calcolato con la formula bh³/12, in quanto si tratta di una sezione rettangolare.

Per verificare che l’abbassamento sia realmente accettabile da parte della struttura, è necessario che il rapporto tra v_max/ l ≤ 1/250. Nella tabella questo rapporto è invertito, perciò l’abbassamento è accettabile se l/ v_max ≥ 250. In questo caso il rapporto l/ v_max = 382,08 quindi la struttura è verificata.

Verifichiamo ora se aggiungendo il peso proprio della trave al qs precedentemente ottenuto, cambia in maniera significativa lo spostamento v_max.

Per farlo dobbiamo moltiplicare il peso specifico (KN/mc) del materiale scelto, in questo caso sempre legno di conifere) per la sezione della trave in modo da ottenere il carico della trave a metro lineare, ricordandoci di dividerlo per l’interasse del solaio dato:

q_trave = (6 KN/mc x 0.3 m x 0.6 m) / 6 m = 0.18 KN/mq

qs + q_trave  =  (0.48 + 0.18) KN/mq = 0.66 KN/mq

Il contributo dato dal peso proprio della trave è minimo, e porta ad uno spostamento v_max pari a  0,81 cm.

La struttura è comunque  verificata ( l/ v_max ≥ 250) e la trave è quindi  in grado di sopportare uno sbalzo di 3m.

 

Solaio in C.A.

Carichi strutturali (qs)                                                                                                

_travetti in C.A.

 [25 KN/mc x 0.10 m x 0.12 m x 1m x (1m/0,5)]/ 1mq = 0.6 KN/mq

_caldana in malta di cemento

(21 KN/mc x 0,040 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.84 KN/mq

TOT.  =  1.44 KN/mq

 

Carichi permanenti (qp) 

_pignatte

(5.5 KN/mc x 0,4 m X 0.12 m x 1m x (1m/0,5)]/ 1mq = 0.528 KN/mq

_isolante in fibra di legno

(9 KN/mc x 0,040 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.36 KN/mq

_sottofondo in malta di calce

(18 KN/mc x 0,030 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.54 KN/mq

_Pavimento parquet in legno

(8 KN/mc x 0,02 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.16 KN/mq

_intonaco di calce

(11.5 KN/mc x 0,015 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.1725 KN/mq

 

_incidenza tramezzi  =      1 KN/mq

_incidenza impianti =   0.5 KN/mq

 TOT.  =  3.260 KN/mq    

        

Carichi accidentali (qa)

Ambiente ad uso residenziale (Normativa)

TOT. = 2 KN/mq                                                                       

Come per il caso in legno, inseriamo ora i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave.

Scriviamo l’interasse dell’area d’influenza della trave (6m) e i diversi carichi calcolati precedentemente per ottenere q, il carico al metro lineare.

q = (1.3 x qs + 1.3 x qp + 1.5 qa) x interasse

dove, ricordiamo, che i carichi strutturali, permanenti e accidentali vengono ognuno moltiplicati per un coefficiente di sicurezza.

Attraverso la luce possiamo ottenere il momento, che è pari  qL²/2.

Passiamo successivamente alle caratteristiche del materiale per trovare le tensioni sig_fa e sig_ca.

Per quanto riguarda i ferri di armatura che devono resistere a trazione, la tensione sig_fa è data dal rapporto tra la resistenza caratteristica di snervamento dell’acciaio  fy e il coefficiente parziale di sicurezza γ pari a 1,5. Sceglieremo una classe di resistenza B450A, con limite di snervamento ≥ 450 Mpa.

Sig_fa = (fk / γ )

Per il calcestruzzo avremo invece una tensione sig_ca data dalla resistenza caratteristica cilindrica a compressione Rck, (in questo caso 50 avendo scelto un calcestruzzo con classe di resistenza C 40/50)  moltiplicata per un coefficiente riduttivo αcc  pari a 0,85 e poi divisa per un coefficiente parziale di sicurezza γ che anche per il cls vale  1,5.

Sig_ca = (Rck * αcc)/ γ

Possiamo trovare ora l’altezza della trave. Per farlo dobbiamo calcolare il coefficiente di omogeinizzazione n che tiene conto che la sezione in cls armato non è omogenea ma composta da 2 materiali: il calcestruzzo che resiste a compressione e l’acciaio che resiste a trazione. Questo valore è dato dal rapporto dei due moduli elastici (n = Efe / Eca ) ma si assume pari a 15 a vantaggio della sicurezza. Ci serve per ottenere il valore alfa.

Fissiamo una base di 25 cm e calcoliamo infine l’altezza utile h, cioè la sezione reagente in calcestruzzo, a cui aggiungiamo un delta (dato dal copriferro) pari a 5 cm. Otteniamo l’altezza finale della trave, pari a 44,94 cm che porteremo a 45 cm. Avremo quindi una sezione finale pari a 25 x 45 cm.

Dall’altezza della trave è possibile ricavare  sia l’area della sezione, che il peso lineare in KN/m, che poi viene sommato per ottenere il carico q definitivo 43,01 KN/m.

Passiamo ora all’analisi e alla verifica a deformabilità della trave. Il valore dell’abbassamento v_max nell’estremo non vincolato è pari a ql⁴/8EI_x.

Il valore di E è pari a 21000 N/mm², mentre il modulo d’inerzia I_x anche questa volta viene calcolato con la formula bh³/12, e vale 189844 cm⁴.

Otteniamo un valore v_max  pari a 1,09 cm . Per verificare che l’abbassamento sia realmente accettabile da parte della struttura, è necessario che il rapporto l/ v_max ≥ 250. In questo caso il rapporto l/ v_max = 274,63 quindi la struttura è verificata.

Solaio in Acciaio

Carichi strutturali (qs)                                                                                                

_travetti IPE 140

 [0.129 KN/m x  1m x (1m/0,5)]/ 1mq = 0.258 KN/mq

_caldana in malta di cemento + lamiera grecata tipo SOLAC (da scheda tecnica)

1.7 KN/mq

TOT.  =  1.958 KN/mq

 

Carichi permanenti (qp) 

_sottofondo in malta di calce

(18 KN/mc x 0,030 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.54 KN/mq

_Pavimento parquet in legno

(8 KN/mc x 0,02 m x 1m x 1m)/ 1mq = 0.16 KN/mq

_incidenza tramezzi  =      1 KN/mq

_incidenza impianti =   0.5 KN/mq

 TOT.  =  2.2 KN/mq    

        

Carichi accidentali (qa)

Ambiente ad uso residenziale (Normativa)

TOT. = 2 KN/mq 

Dopo aver inserito la luce per ottenere il momento, sempre pari qL²/2, vediamo ora come calcolare il profilo di trave da utilizzare.

Nel caso dell’acciaio il valore della resistenza caratteristica  fy,k, dipende dal tipo di acciaio scelto (nel nostro caso abbiamo usato un acciaio di classe Fe 430/S275 con resistenza caratteristica di snervamento pari a 275 Mpa).

La tensione sig_am è uguale a quella caratteristica fy,k divisa per il  coefficiente di sicurezza γ, pari a 1,15.

sig_am = (fm,k / γ) = 239,13 N/mm²

L’ultimo passaggio consiste nello scegliere un profilo IPE che abbia un modulo di resistenza W_x  (valore tabellato) maggiore di quello che si ottiene dalla tabella grazie alla formula di Navier. Scegliamo il valore immediatamente superiore a 949,05 cm³, quindi Wx= 1160 cm³  relativo ad una IPE 400.

Passiamo ora all’analisi e alla verifica a deformabilità della trave. Il valore dell’abbassamento v_max nell’estremo non vincolato è pari a ql⁴/8EI_x.

Il valore di E è pari a 210000 N/mm², mentre il modulo d’inerzia I_x  vale 23130 cm⁴.

Otteniamo un valore v_max  pari a 1,19 cm . Per verificare che l’abbassamento sia realmente accettabile da parte della struttura, è necessario che il rapporto l/ v_max ≥ 250. In questo caso il rapporto l/ v_max = 252,22 quindi la struttura è verificata.