Prima Esercitazione - Dimensionamento di una trave per tre tecnologie costruttive (CA, Legno, Acciaio)

   STRUTTURA IN CEMENTO ARMATO

   Innanzitutto disegniamo la carpenteria, andando ad individuare la trave più sollecitata:

La zona tratteggiata in rosso è l’area di pertinenza della trave che abbiamo individuato, con un valore di interasse pari a 5 metri.
Apriamo adesso il nostro file Excel e selezioniamo il foglio destinato al dimensionamento delle strutture in cemento armato.
Il foglio è strutturato in modo che le celle in cui vanno inseriti i dati siano azzurrine, mentre quelle di calcolo automatico bianche. 

Il primo dato da inserire è proprio l’interasse.

Successivamente ci vengono richiesti i carichi agenti sul solaio:

q_s: carico strutturale, ovvero il carico dovuto al peso proprio della parte strutturale del solaio;

q_p: carico permanente, ovvero il carico dovuto agli ulteriori strati componenti il solaio che non hanno funzione strutturale, ai tramezzi, agli impianti, a tutto ciò in sostanza che grava in modo permanente sulla parte strutturale;

q_a: carico accidentale, sono regolati dalla normativa, e possono comprendere i carichi di esercizio, il sisma etc.

Per l’analisi dei carichi prendiamo in considerazione un metro quadro di solaio, di cui nell’immagine di sopra riportiamo la sezione con gli spessori dei vari strati.

Per calcolare il peso su un metro quadro di ogni materiale, dobbiamo conoscere il suo peso specifico, solitamente espresso in KN/m³, e moltiplicarlo per il suo volume contenuto in un metro quadro (m³/m²).
 

Iniziamo con il carico strutturale: nel caso del cemento armato, la funzione strutturale è svolta dalla soletta in cls, dalle pignatte, e dai travetti.
I pesi specifici che adesso  ci servono sono dunque:

Calcestruzzo: 24 KN/m³
Pignatta 16x40x25: 8 kg/cad

Calcoliamo [volume/m² x peso specifico]:

q_s Soletta: (0.04m x 1m x 1m)/m² x 24 KN/m³ = 0.96 KN/m²

q_s Pignatte: 2 x 4 x 8 kg/m² = 64 kg/m² x 10^-2= 0.64 KN/m²

q_s Travetti: (0.16m x 0.2m x 1m)/m² x 24 KN/m³ = 0.768 KN/m²

q_s Tot= 0.96 KN/m² + 0. 64 KN/m² + 0.768 KN/m²= 2.368 KN/m²

Andiamo dunque ad inserire il dato ottenuto nella tabella Excel, sotto il valore q_s.

Calcoliamo ora i carichi permanenti. In questa categoria, come già detto, ricadono tutti i pesi fissi agenti sulla parte strutturale, come gli intonaci, le mattonelle, i massetti di livellamento, gli impianti e i tramezzi divisori interni. Di questi ultimi due in particolare non andremo a fare un calcolo esatto, ma aggiungeremo al totale raggiunto 1kN/m² per i tramezzi e  0,5 kN/m² per gli impianti, poiché sono dati difficili da calcolare e , come nel caso dei tramezzi, possono mutare nel tempo.

Per i carichi permanenti, i pesi specifici di cui necessitiamo sono:

Mattonelle in ceramica: 31,250 KN/m³
Massetto: 2000 Kg/m³= 2000 x 10^-2 KN/m³ = 20 KN/m³
Isolante: 30 Kg/m³ = 30 x 10^-2 KN/m³ = 0.3 KN/m³
Intonaco: 18 KN/m²
 

Calcoliamo:

q_p Pavimento: (0.02m x 1m x 1m)/m² x 31.250 KN/m³ = 0.625 KN/m²

q_p Massetto: (0.03m x 1m x 1m)/m² x 20 KN/m³ = 0.6KN/m²

q_p Isolante: (0.06m x 1m x 1m)/m² x 0.3 KN/m³ = 0.018 KN/m²

q_p Intonaco: (0.01m x 1m x 1m)/m² x 18 KN/m³ = 0.18 KN/m²

q_p Tot= 0.625 KN/m² + 0.6KN/m²+ 0.018 KN/m² = 1.423 KN/m²  (+ 1 KN/m²  + 0.5 KN/m²) = 2.923 KN/m² 

Per quanto  riguarda i carichi accidentali q_a, la normativa per il residenziale prevede 2 KN/m².
Inseriamo questi ultimi due dati nella tabella, e il valore della luce che è pari a 5m.

Il foglio di calcolo ci ha calcolato il q ultimo  come somma dei tre carichi (strutturale, permanente e accidentale) moltiplicati ognuno per un coefficiente di sicurezza dettato dalle normative, il tutto moltiplicato per l’interasse; inoltre viene calcolato anche il Momento massimo tenendo in considerazione che la trave è una trave appoggiata e che quindi M_max= ql²/8.

Il secondo passo è introdurre le tensioni caratteristiche del calcestruzzo e dell’acciaio f_yk (N/mm2) e f_ck (N/mm2) in base alla tipologia che scegliamo.
Nel nostro caso, scegliamo l’acciaio da armatura B450A  con  f_yk=450 e il calcestruzzo di classe C45/55 (C di Concrete) in cui il primo numero individua il valore caratteristico di resistenza cilindrica a compressione monoassiale f_ck =45 mentre il secondo identifica quella cubica Rck = 55.

Una volta inseriti i dati nella tabella Excel, otteniamo la resistenza di progetto dell’acciaio f_yd come il rapporto tra f_yk e il coefficiente parziale di sicurezza relativo all’acciaio da armatura di valore 1,15; mentre la resistenza di progetto del calcestruzzo f_cd viene calcolata come il rapporto tra f_ck e il coefficiente parziale di sicurezza per il calcestruzzo (pari a 1,5) il tutto moltiplicato per α= 0.85 (coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata).

I valori β ed r vengono calcolati anche loro automaticamente in base ai risultati ottenuti; l’ultimo dato da inserire è la base, ipotizzando di mantenere un δ (copriferro dell’armatura inferiore) uguale a 5cm.

Ipotizziamo dunque una b= 25cm. Automaticamente, il foglio di calcolo trova l’altezza utile H_u e  dunque, sommandoci il δ, l’altezza minima H_min in cm. In base a questo valore, andiamo ad ingegnerizzare la trave inserendo il valore di H come la decina subito superiore di H_min e controllando che il foglio di calcolo dia “Verificato”.
La sezione così progettata risulta effettivamente verificata se oltre ai carichi già calcolati, è in grado di sopportare anche il peso proprio, di cui troviamo il valore alla fine della riga sui cui abbiamo lavorato fino ad ora.
Nella riga sottostante infatti, come possiamo notare, non vi sono presenti caselle azzurre, ovvero quelle modificabili, ma solo caselle di calcolo bianche. Proprio in questa riga, nella casella del carico ultimo, viene aggiunto al valore precedentemente calcolato il peso proprio moltiplicato per un fattore di sicurezza 1.3 e in base al risultato vengono rieffettutati tutti i calcoli fino ad arrivare ad una nuova H_min. Se il risultato di questi calcoli automatici porta ad una H_min comunque inferiore al valore ingegnerizzato, la trave è verificata.

(Questi calcoli con il peso proprio si effettuano solo sul cls in quanto le travi in legno e in acciaio hanno un peso proprio più piccolo tale da non far incrementare troppo il momento flettente.)
 

Proviamo a fare il calcolo adesso su una struttura in legno.

STRUTTURA IN LEGNO

Innanzitutto, notiamo dopo una prima occhiata al foglio di calcolo dedicato al legno, che i dati in questo caso da calcolare (ovvero le celle bianche) sono di meno rispetto al cemento armato, poiché andiamo a lavorare con un solo materiale. Avremo però dei coefficienti differenti, perché nel caso del legno bisogna tenere conto di determinati valori come l’umidità del luogo in cui opererà, o l’effetto della durata del carico.

I dati di cui necessitiamo sono quindi i seguenti:

• Interasse
• Carichi strutturali
• Carichi permanenti
• Carichi accidentali
• Luce
• f_m,k ovvero la resistenza caratteristica a flessione del legno scelto
• k_mod ovvero il coefficiente che tiene conto di umidità e tempo e che viene dato dalla normativa
• γ _m ovvero il coefficiente parziale di sicurezza dipendente dal materiale
• Base

Ipotizzando questa pianta di carpenteria e questa sezione di solaio, iniziamo a calcolare i carichi strutturali seguendo il procedimento utilizzato per il cemento armato:

Per trovare il peso specifico del legno, devo sceglierne una classe: utilizzo in questo caso il legno lamellare  GL24C, il più comunemente usato, che ha un peso specifico = 350kg/m³= 350 x 10^-2 KN/m³ = 3,5 KN/ m³ e una f_m,k = 24.

q_s Travetti: 2(0.2m x 0.1m x 1m)/m² x 3,5 KN/m³ = 0.14 KN/m²
q_s Tavolato: 0.035m x 0.1m x 1m/m² x 3,5 KN/m³ = 0.1225 KN/m²

q_s Tot: 0.14 KN/m²  + 0.1225 KN/m² = 0.2625 KN/m²

Per i carichi permanenti, i pesi specifici di cui necessitiamo sono:

Isolante: 30 Kg/m³ = 30 x 10^-2 KN/m³ = 0.3 KN/m³
Massetto alleggerito: 11 KN/m³
Pavimento legno duro: 850 kg/m³= 850 x 10^-3 KN/m³= 8,5 KN/m³

Calcoliamo:

q_p Isolante: (0.04m x 1m x 1m)/m² x 0.3 KN/m³ = 0.012 KN/m²

q_p Massetto: (0.03m x 1m x 1m)/m² x 11 KN/m³ = 0.33 KN/m²

q_p Pavimento legno duro: (0.02m x 1m x 1m)/m² x 8.5 KN/m³ = 0.17 KN/m²

q_p Tot= 0.012 KN/m² + 0.33 KN/m² + 0.17 KN/m²= 0.512 KN/m²  (+ 1 KN/m²  + 0.5 KN/m²) = 2.012 KN/m² 

Inseriamo nel foglio Excel interasse, carichi strutturali, carichi permanenti, carichi accidentali, luce e f_m,k = 24 (dato dalla normativa in base alla classe scelta).

Rimangono tre dati da inserire: K_mod, γ _m e la base.
Per quanto riguarda i primi due, essi sono dettati dalle normative; K_mod tiene conto della durata del carico a cui dovrà essere sottoposta la trave tramite le cinque “Classi di durata del carico” e delle condizioni climatiche in cui dovrà agire tramite le tre  “Classi di Servizio” ; γ _m invece è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale scelto.

Per quanto riguarda la base ipotizziamo  b=30.

Nel foglio di calcolo otterremo quindi questi risultati, con una Ingegnerizzazione di H= 55cm.

STRUTTURA IN ACCIAIO

Utilizziamo il procedimento fino ad ora seguito ed andiamo a calcolare i carichi strutturali e permanenti, sapendo che il peso specifico dell’acciaio è 78 KN/m³

• Carichi Strutturali

q_s IPE 100: (0.00103 m² x 1m) /m² x 78 KN/m³ = 0.08 KN/m²

q_s Lamiera Grecata  + Soletta: 9.16 Kg/m³  + 190 kg/m² = 199.16 Kg/m²= 1.9916 KN/m²

q_s tot: 0.08 KN/m² + 1.9916 KN/m²= 2.07194  KN/m²

• Carichi Permanenti

q_p Isolante: (0.04m x 1m x 1m)/m² x 0.3 KN/m³ = 0.012 KN/m²

q_p Massetto: (0.03m x 1m x 1m)/m² x 11 KN/m³ = 0.33 KN/m²

q_p Pavimento : (0.025m x 1m x 1m)/m² x 8.5 KN/m³ = 0.21 KN/m²

q_p Tot= 0.012 KN/m² + 0.33 KN/m² + 0.21 KN/m²= 0.5545 KN/m²  (+ 1 KN/m²  + 0.5 KN/m²) = 2.0545 KN/m² 

Dopo aver inserito i carichi, l’interasse e la luce all’interno della tabella Excel, viene calcolato il Momento ql^2/8 e non ci rimane altro che scegliere la nostra classe di resistenza.
Nel nostro caso, proviamo ad utilizzare la classe più bassa, ovvero l’acciaio S235 con una resistenza caratteristica f_y,k = 235.
Andando ad inserire questo valore, ci viene calcolata subito la tensione di progetto f_d = f_y,k / γ _s , in cui γ _s è il coefficiente parziale di sicurezza (simile a quello che abbiamo trovato nella tensione di progetto del legno) che in questo caso è = 1.05; viene calcolato inoltre il Modulo di resistenza a flessione W_xmin, che è uguale al rapporto tra il Momento massimo e la tensione di progetto f_d.

Controlliamo dunque nella tabella dei profilati IPE quale abbia un valore di W_xmin superiore a quello ottenuto e scopriamo così quale profilo è il più adatto alla situazione, nel nostro caso l’IPE 330.

Ovviamente, andando a scegliere una classe di resistenza dell’acciaio più alta, come ad esempio la S355, il modulo di resistenza a flessione risulterà più piccolo, essendo loro inversamente proporzionali, e potremmo scegliere un profilato con dimensioni più piccole, in questo caso sarebbe sufficiente una IPE 270 (tratteggiato nella tabella).