Dimensionamento di una trave _ Esercitazione 1

Questa prima esercitazione consiste nel dimensionamento della trave più sollecitata di un telaio in tre differenti tipologie: legno, acciaio e cemento armato.

La trave sottoposta a maggiore carico nella struttura presa in analisi è quella evidenziata in rosso: su di essa infatti grava il carico di solaio maggiore.

Luce:6m                                                                                                                                                    Interasse:3m                                                                                                                                                   Area di influenza: 18m²

LEGNO

Conoscendo la stratigrafia del solaio (dunque spessori e pesi specifici dei vari componenti) possiamo ricavare il volume e il peso al metro quadro di ciascun componente. Quindi è possibile calcolare i differenti tipi di carico: strutturale, permanente e accidentale.

 

Il carico strutturale (qs) si ottiene sommando i contributi di peso dei travetti e del tavolato.

 

Travetto in legno lamellare GL24h                                                                          

Sezione: 15cm X25cm                                                                                                

Peso Specifico: 380 kg/m³ = 3.8 kN/m³                                                            

Volume: 0.15m x 0.25m x 1m = 0. 0375 m³                                                                

Peso al metro quadro: 0.0375 m³/m² x 3.8 kN/m³ = 0.143kN/m²

 

Tavolato in legno di abete                                                                                            

Spessore: 3 cm                                                                                                          

Peso Specifico: 450 Kg/m³ =4.5 kN/m³                                                                        

Volume: 0.03m x 1m x 1m = 0.03 m³                                                                          

Peso al metro quadro: 0.03 m³/m² x 4.5 kN/m³ = 0.135 kN/m²

 

qs = (0.143 + 0.135) kN/m² = 0.28 kN/m²

 

Il carico permanente (qp) si ottiene sommando i contributi della caldana, dell’isolante, del massetto e del pavimento. A questo carico si somma anche il carico dovuto a tramezzi (1 KN/m²) e impianti (0.5 KN/m²).

 

Pavimento in parquet di rovere                                                                                 

Spessore: 1 cm                                                                                                          

Peso Specifico: 720 kg/m³ = 7.20kN/m³                                                                      

Volume: 0.01m x 1m x 1m = 0.01 m³                                                                          

Peso al metro quadro: 0.01 m³/m² x 7.20 kN/m³ = 0.072 kN/m²

 

Massetto di sottofondo                                                                                                

Spessore: 3 cm                                                                                                          

Peso Specifico: 1800 kg/m³ = 18kN/m³                                                                        

Volume: 0.03m x 1m x 1m = 0.03 m³                                                                          

Peso al metro quadro: 0.03 m³/m² x 18 kN/m³ = 0.54 kN/m²

 

Isolante in lana di vetro                                                                                              

Spessore: 4 cm                                                                                                          

Peso Specifico: 20 kg/m³ = 0.2 kN/m³                                                                         

Volume: 0.04m x 1m x 1m = 0.04 m³                                                                          

Peso al metro quadro: 0.04 m³/m² x 0.2 kN/m³ = 0.008 kN/m²

 

Caldana in cls con rete elettrosaldata                                                                            

Spessore: 4 cm                                                                                                           

Peso Specifico: 2400 Kg/m³ = 24 kN/m³                                                                       

Volume: 0.04m x 1m x 1m = 0.04 m³                                                                           

Peso al metro quadro: 0.04 m³/m² x 24 kN/m³ = 0.96 kN/m²

 

qp = (0.072 + 0.54 + 0.008 + 0.96) kN/m² + 1.5 kN/m²  = 3.08 kN/m²

 

Il carico accidentale (qa) dipende dalla destinazione d’uso dell’edificio: in questo caso consideriamo un ambiente ad uso residenziale, dunque 2 kN/m².

qa = 2 kN/m²

 

Inserendo il valore dell’interasse e dei vari carichi, il foglio di calcolo ricava il carico ultimo, ovvero il carico dell’area di influenza del solaio distribuito su tutta la lunghezza della trave sollecitata. Il carico ultimo si ottiene moltiplicando la somma dei carichi maggioranti con le rispettive costanti di sicurezza (1,3 per il carico strutturale e 1,5 per il carico permanente e accidentale) per l’interasse.                                                                        

qu = [(qs x 1.3) + (qp x 1.5) + (qa x 1.5)] x i

Inserendo la luce il foglio di calcolo permette di ricavare il valore del momento massimo di una trave appoggiata:

Mmax = (qu x L²)/8

In fase progettuale si è scelto per la trave un legno lamellare GL24h con resistenza caratteristica fmk pari a 24 Mpa. La resistenza di progetto fd, che viene calcolata dal foglio, tiene conto della resistenza caratteristica corretta con alcuni parametri:

fd = (kmod x fmk)/γm

γm è un coefficiente di sicurezza del materiale: in questo caso per il legno lamellare γm = 1.45. Kmod è un coefficiente correttivo che tiene conto della durata di carico (consideriamo una durata media) e dell’umidità della struttura (consideriamo una classe media).

Impostando la base della trave, il foglio di calcolo determina l’altezza minima di 49,42cm.

Infatti imponendo σmax = fd

Wx = Mx/fd                                                            dalla formula di Navier             

Wx = Ix/ymax = ((bh³)/12)/(h/2) = (bh²)/6            Wx in una sezione rettangolare

Quindi mettendo a sistema

(bh²)/6 =Mx/fd

h=√(6Mx/ (fd x b))

Scelgo dunque una trave con base 20 cm e altezza ingegnerizzata H=50 cm.

 

Per effettuare una verifica sommo al carico ultimo (qu) nel foglio di calcolo il peso della trave (maggiorato al coefficiente di sicurezza per carichi strutturali)

Peso della trave: (0.2m x 0.50m x 1m) / m x 3.8 kN/m³ = 0.38 kN/m

 

L’altezza minima della trave diventa 49.92 cm, rimanendo dunque inferiore a 50cm.

La sezione 20cm x 50cm è dunque verificata.

 

 

ACCIAIO

Consideriamo ora lo stesso solaio in acciaio.

 

Il carico strutturale (qs) dipende dal peso delle travi secondarie, della lamiera grecata e della soletta in cls.

 

Travetto IPE 200 di acciaio S275                                                                                            

Area: 28.5 cm² = 0.00285m²                                                                                       

Peso: 22.4 kg/m = 0.224 kN/m                                                                                    

Peso al metro quadro: 0.224 kN/m²

 

Lamiera grecata                                                                                                          

Spessore: 0.7mm                                                                                                        

Peso al metro quadro: 9.64 kg/m² = 0.0964 kN/m²

 

Getto di cls                                                                                                                  

Sezione: 0.063 m²                                                                                                        

Peso Specifico: 2400 kg/m³ =24 kN/m³                                                                         

Volume: 0.063 m² x 1m = 0.063 m³                                                                              

Peso al metro quadro: 0.063 m³/m² x 24 kN/m³ = 1.512 kN/m²

 

Qs = (0.224 + 0.0964 + 1.512) kN/m² = 1.83 kN/m²

 

Il carico permanente (qp) dipende dal peso dell’isolante, del massetto e del pavimento aggiungendo il contributo di tramezzi e impianti.

 

Isolante in lana di vetro                                                                                                

Spessore: 4cm                                                                                                             

Peso specifico: 20 kg/m³ = 0.2kN/m³                                                                            

Volume: 0.04m x 1m x 1m = 0.04 m³                                                                            

Peso al metro quadro: 0.04 m³/m² x 0.2 kN/m³ = 0.008 kN/m²

 

Massetto di sottofondo                                                                                                  

Spessore: 3cm                                                                                                             

Peso specifico: 2000kg/m³ = 20kN/m³                                                                           

Volume: 0.03m x 1m x 1m = 0.03 m³                                                                            

Peso al metro quadro: 0.03 m³/m² x 20 kN/m³ = 0.6 kN/m²

 

Pavimento gres porcellanato                                                                                          

Spessore: 2cm                                                                                                             

Peso al metro quadro: 40 kg/m² = 0.4 kN/m²

 

Qp = (0.008 + 0.6 + 0.4) kN/m² + 1.5 kN/m² = 2.51 kN/m²

 

Il carico accidentale (qa) rimane legato all’ambiente residenziale:

Qa = 2 kN/m²

 

Inserendo il valore dell’interasse e dei carichi il foglio calcola il carico ultimo come sopra. Poi inserendo la luce il foglio calcola il momento massimo nella trave appoggiata.

Avendo scelto per la trave un acciaio S275 con resistenza caratteristica fyk=275Mpa, si ricava la resistenza di progetto correggendo quella caratteristica con un coefficiente di sicurezza γm=1.05.

Essendo in fase progettuale imponiamo

σmax = fd

Dunque dalla formula di Navier:

Wxmin = Mx/fd.

Quindi scegliamo il Wx immediatamente superiore a quello appena calcolato nel sagomario delle travi IPE a cui corrisponde una trave IPE300.

 

Ora sommiamo il peso della trave (0.422 kN/m) al carico ultimo maggiorato dell’opportuno coefficiente di sicurezza.

 

Wxmin rimane comunque inferiore al Wx scelto, dunque la sezione IPE 300 è verificata.

 

 

CEMENTO ARMATO

Consideriamo ora lo stesso solaio in cemento armato.

Il carico strutturale (qs) dipende dal peso dei travetti, della soletta in cls e delle pignatte.

 

Travetti in cls                                                                                                               

Dimensioni: 12cm x 18cm                                                                                             

Peso Specifico: 2400 kg/m³ = 24kN/m³                                                                         

Volume: 2 x 0.12m x 0.18m x 1m = 0.043 m³                                                                

Peso al metro quadro: 0.043 m³/m² x 24 kN/m³ = 1.04 kN/m²

 

Soletta collaborante in cls                                                                                             

Spessore: 5cm                                                                                                             

Peso Specifico: 2400 kg/m³ = 24kN/m³                                                                         

Volume: 0.05m x 1m x 1m = 0.05 m³                                                                            

Peso al metro quadro: 0.05 m³/m² x 24 kN/m³ = 1.2 kN/m²

 

Pignatte                                                                                                                       

Dimensioni: 18cm x 38cm x 25cm                                                                                 

Peso: 7.90 Kg/cad                                                                                                        

Peso al metro quadro: 63.2 Kg/m² = 0.63kN/m²

 

Qs= (1.04 + 1.2 + 0.63) kN/m² = 2.87 kN/m²

 

Il carico permanente (qp) dipende dal peso del pavimento, del massetto, dell'isolante e del rivestimento aggiungendo il contributo di tramezzi e impianti.

 

Pavimento in gres                                                                                                        

Spessore: 2cm                                                                                                             

Peso al metro quadro: 40 kg/m² = 0.4 kN/m²

 

Massetto di sottofondo                                                                                                  

Spessore: 3cm                                                                                                              

Peso specifico: 2000kg/m³ = 20kN/m³                                                                           

Volume: 0.03m x 1m x 1m = 0.03 m³                                                                             

Peso al metro quadro: 0.03 m³/m² x 18 kN/m³ = 0.54 kN/m²

 

Isolante in lana di vetro                                                                                                 

Spessore: 4cm                                                                                                              

Peso specifico: 20 kg/m³ = 0.2kN/m³                                                                             

Volume: 0.04m x 1m x 1m = 0.04 m³                                                                            

Peso al metro quadro: 0.04 m³/m² x 0.2 kN/m³ = 0.008 kN/m²

 

Rivestimento in cartongesso                                                                                           

Spessore: 1cm                                                                                                              

Peso Specifico: 900 kg/m³ = 9 kN/m³                                                                             

Volume: 0.01m x 1m x 1m = 0.01m³                                                                              

Peso al metro quadro: 0.01 m³/m² x 9 kN/m³ = 0.09 kN/m²

 

Qp = (0.008 + 0.54 + 0.4 + 0.09 + 1.5) kN/m² = 2.54 kN/m²

 

Il carico accidentale (qa) rimane legato all’ambiente residenziale

Qa = 2 kN/m²

 

Con il carico ultimo derivato dal foglio e l’inserimento della luce è possibile ricavare il momento massimo della trave appoggiata.

Una volta scelto l’acciaio in barre B450C con resistenza caratteristica fyk= 450Mpa il foglio di calcolo ricava la resistenza di progetto con la formula

fyd= fyk/γm

Dove γm è il coefficiente di sicurezza di 1.15

Scelgo poi un calcestruzzo classe C60/75 con resistenza caratteristica fck = 60 Mpa. Il foglio di calcolo ricava la resistenza di progetto con la formula

Fcd= (α x fck)/ γm

Dove γm è il coefficiente di sicurezza di 1.5. α è un coefficiente che tiene conto del tempo pari a 0.85

Una volta impostata la dimensione della base della trave il foglio ricava l’altezza utile.

Come nel caso del legno, l’altezza utile dipende dal momento (al numeratore) e dalla resistenza di progetto del cemento per la base (al denominatore). Questo valore sotto radice viene moltiplicato per un valore r che tiene conto della compresenza dei due materiali nel cemento armato e quindi delle rispettive resistenze caratteristiche di acciaio e cemento.

hu = r  x √(Mx/ (fcd x b))

dove r = 2/(β(1-(β/3)))                                                                                                   

β= fcd/(fcd + (fyd/n))

Dalla somma dell’altezza utile con il copriferro che abbiamo scelto si ricava un’altezza minima di 35,19cm. Dunque si sceglie un’altezza ingegnerizzata H=40cm.

Il foglio di calcolo pesa la trave appena determinata e lo somma maggiorato con il coefficiente di sicurezza al carico ultimo. Otterremo nuovamente un’altezza minima di 36,41cm, cioè inferiore all’altezza ingegnerizzata. Dunque la sezione è verificata.