Esercitazione 5_Ripartizione delle forze sismiche

La quinta esercitazione consiste nel calcolare la ripartizione di una forza orizzontale, come il sisma o il vento, sui diversi telai che compongono una struttura, attraverso il metodo delle rigidezze. 

Prendiamo in considerazione un generico edificio, il cui piano tipo è costituito da telai shear-type, un particolare tipo di telaio in c.a. che, oltre a trasmettere i carichi verticali a terra, è capace di svolgere il ruolo di controvento.

Step 1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

In pianta possiamo rappresentare i controventi come molle, ovvero vincoli cedevoli elastici, che esercitano una forza reattiva, ma subiscono comunque una deformazione.

Nella prima parte del foglio Excel ricaviamo la rigidezza traslante di ogni telaio, inserendo i dati relativi ai pilastri che compongono i telai stessi. Essendo i pilastri di sezione rettangolare, in particolare 30x50 cm avranno momenti di inerzia diversi in base al loro orientamento. I due valori ottenuti sono 112500,00 cm⁴ e 312500,00 cm⁴.

Step 2

Nello step 2 del foglio Excel sono riportate le rigidezze di ogni telaio, e la loro distanza relativa dall’origine.

Step 3 : calcolo del centro di massa

Nello step 3 del foglio Excel possiamo calcolare il centro di massa dell’impalcato in considerazione.
Per questo suddividiamo l’impalcato in due figure geometriche semplici, due rettangoli rispettivamente di area, A₁ e A₂. Infatti dati l’area e il baricentro di ognuno dei due rettangoli possiamo ricavare le coordinate del centro di massa, che risulterà sulla retta congiungente i due diversi centri di massa dei rettangoli.
Le coordinate del centro di massa saranno:

X_g = A₁*X_g1 + +A₂*X_g2 / A_tot  

Y_g = A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 / A_tot

Il centro di massa avrà coordinate G (19,69; 10,03).

Step 4 : calcolo del centro delle rigidezze

Possiamo ora calcolare a questo punto il centro delle rigidezze con il foglio Excel. Le cui coordinate risulteranno:

X_c= K_v1*d_v1 + K_v2*d_v2 + ... + K_vn*d_vn/ K_vtot 

Y_c= K_o1*d_o1 + K_o2*d_o2 + ...... + K_on*d_on/ K_otot 

Il centro delle rigidezze avrà coordinate C (19,34; 8,25).

Il centro di massa e il centro delle rigidezze, non sono molto distanti, ma non coincidendo generano un braccio rispetto alla forza applicata, e di conseguenza un momento.

Infatti la forza sismica F, sia in direzione X che in direzione Y, viene applicata nel centro di massa G, e avendo braccio rispetto al centro delle rigidezze C, genererà una rotazione oltre che una traslazione.

Step 5 : analisi dei carichi sismici

Nello step 5 del foglio Excel possiamo, attraverso l’analisi dei carichi sismici, ricavare la forza complessiva che agisce sul centro di massa. Inserendo infatti i valori di qs, qp e qa trovati nella prima esercitazione, per un solaio in laterocemento, e il coefficiente di contemporaneità ψ = 0,3, dato dalla destinazione d’uso dell’edificio, e il coefficiente di intensità sismica c = 0,10, dato dall’area geografica in cui si trova l’edificio, otteniamo il valore della forza sismica orizzontale (F = 280,14 kN).

La forza sismica F verrà applicata sia in X che in Y.

Step 6,7 : ripartizione forza sismica lungo X e lungo Y

In questi ultimi step la forza sismica viene ripartita sui controventi, e possiamo quantificare la cinematica dell’impalcato: la traslazione orizzonte u, la traslazione verticale v, e la rotazione φ.

u = = F/k_{o_tot} 

v = F/k_{v_tot}

φ = W/kφ 

Possiamo schematizzare gli effetti della forza sismica lungo X:

Possiamo schematizzare gli effetti della forza sismica lungo Y: