Esercitazione III: Dimensionamento di una mensola per tre solai in acciaio, c.a. e legno

Per la terza esercitazione dimensioniamo la  mensola maggiormente sollecitata di un solaio generico, realizzato in acciaio, c.a. e legno.

1. Definizione dell'impalcato del solaio

Consideriamo un telaio 11.5 x 6 m, costituito da più campate, delle quali le ultime due siano sorrette da mensole; la mensola maggiormente sollecitata risulterà essere quella con l'area di influenza maggiore, di luce 2,5 m, interasse 3 m e area d'influenza 7,5 m² .

Oltre al dimensionamento delle tre mensole nelle tre tecnologie scelte, dovremo verificare per ognuna di esse l'abbassamento massimo verticale v_max e il rapporto tra la luce e l'abbassamento l/ v_max tale che I/v_max>250, ossia che l'abbassamento verticale non sia maggiore di 1/250 della luce in esame.

2. Dimensionamento delle tre mensole

Procederemo al dimensionamento delle mensole seguendo le modalità di procedimento del dimensionamento delle travi,discusso nell'esercitazione precedente:

• a. analisi dei carichi e calcolo di q_u
• b. calcolo del momento
• c. dimensionamento a flessione della trave

ricordandoci però che, data la geometria e la distribuzione delle forze della mensola,

il Mmax non risulterà uguale a quello di una trave doppiamente appoggiata; esso sarà dato dall'equazione:

                                                                     M_max= (q_u x l²)/2

2.a. ACCIAIO

Data la seguente stratigrafia, i carichi agenti ed il conseguente M_max risulteranno:

In questo caso, scelto un acciaio S235, avremo un profilato IPE 270, ottenuto sulla base del calcolo del modulo di resistenza a flessione W_x,min< W_d:

2.b. CALCESTRUZZO ARMATO

Per quanto riguarda il calcestruzzo armato, avremo carichi e Momento M_max come segue:

In base al momento, data una base di progetto b_d , dimensioniamo l'H_d e verifichiamo che l'aggiunta del peso proprio della trave al carico ultimo q_u non ne comprometta il dimensionamento iniziale:

In questo modo otterremo una sezione in c.a. 25x40 cm con acciaio B450C e cls C50/60

2.c. LEGNO

I carichi e il M_max agenti sulla trave lignea saranno:

e di conseguenza, tenendo conto della destinazione d'uso, della classe di servizio e del coefficiente di riduzione della resistenza k_mod, avremo una trave la cui sezione viene ingegnerizzata partendo dalla b_d di 30 cm:

Otteniamo così una sezione in GL24h 30 x 45 cm.

3. Calcolo e verifica degli abbassamenti per le tre mensole

Una volta dimensionate le tre mensole, come da precedente esercitazione, dobbiamo  calcolare e verificare per Normativa l'abbassamento verticale massimo della mensola; esso non deve superare 1/250 della luce ed è influenzato dalle caratteristiche geometriche e meccaniche del materiale, nonché dalla luce e dal carico agente sulla sezione, essendo dato da:

Poiché esso non compromette la capacità portante ultima della mensola, ma ne compromette comunque le prestazioni di esercizio, la combinazione di carico in analisi non è quella calcolata allo SLU q_u, bensì quella allo SLE per una combinazione di carico frequente q_e; esso è dato da:

         q_e= (q_s+ q_p+ psi₁₁ x q_a) x i

3.a ACCIAIO

• Calcolo di v_max:  noto il profilo IPE270 realizzato in acciaio S235, ne conosco anche il momento d'inerzia I_x e il modulo elastico E; posso pertanto calcolare il v_max= 0,14 cm come da formula ( tenendo conto del fatto che il peso della trave in acciaio viene sommato agli altri carichi nel calcolo di q_e)
• Verifica: l= 2,5 m, v_max= 0,14 cm l/v_max=1724,49>250    la verifica è soddisfatta

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3.b. CALCESTRUZZO ARMATO

• Calcolo di v_max: determinata la sezione 25x40 e i due materiali costituenti, conosco il mod. elastico E e posso calcolare il momento d'inerzia I_x= (b x h³)/12; tenendo conto che anche per il c.a. il peso proprio della trave va sommato al carico, possiamo conoscere v_max= 0,46 cm
• Verifica: l=2,5 m, v_max=0,46 cm l/v_max= 536,72>250    la verifica è soddisfatta

3.c. LEGNO

• Calcolo di v_max: dimensionata la nostra sezione 30x45 cm in GL24h, ne conosco il modulo elastico e posso ricavare il mom. d'inerzia I_x= 227815,5 cm4 come visto in precedenza; ora possiamo conoscere l'abbassamento massimo v_max, sapendo che per il legno non si tiene conto del peso proprio della trave: v_max= 0,79 cm 
• Verifica: l=2,5 m, v_max=0,79 cm l/v_max= 316,06>250       la verifica è soddisfatta