Esercitazione 3. Dimensionamento di una trave a sbalzo (mensola) in legno, acciaio e calcestruzzo armato

Ipotizzata la struttura in figura, la trave che mi accingo a dimensionare è quella maggiormente sollecitata, ossia quella evidenziata d’arancione, in quanto interessata dalla maggiore area di influenza - 15 m² (dove 3 m = luce, 5 m = interasse).

 

TRAVE IN LEGNO

1| Analisi dei carichi

I carichi - strutturali, permanenti e accidentali - che la trave dovrà sopportare sono gli stessi dell'Esercitazione 2.

      q_s = 0,438 kN/m²

      q_p = 2,69 kN/m²

      q_a = 5,00 kN/m²

**Carico totale

A questo punto, tramite il foglio di calcolo – Excel (scaricabile dalla sezione Download del Portale di Meccanica), ricavo il carico totale. Quindi inserisco i valori dell’interasse (5 m), di q_s (0.438 kN/m²), di q_p (2.69 kN/m²) e di q_a (5 kN/m²) e il foglio di calcolo mi fornisce il valore del carico totale q_u, secondo la formula seguente:

      q_u = [(q_s x 1,3) + (q_p x 1,3) + (q_a x 1,5)] x interasse

2| Progetto

Come seconda cosa, servendomi sempre del foglio di calcolo – Excel, inserisco la luce della trave (3 m) e ottengo il momento massimo della stessa – intesa come una mensola, secondo la formula M_max = ql²/2

Poi fornisco i seguenti valori:

• resistenza a flessione caratteristica f_m,k = 24 MPa (dipendente dal tipo di legno, ovvero lamellare GL 24h)
• coefficiente della durata del carico k_mod = 0,8 (fornito dalla normativa)
• coefficiente parziale di sicurezza del materiale γ_m = 1,45 (legno lamellare)

e ottengo la tensione ammissibile f_d [N/mm²], secondo la formula seguente:

      f_d = f_m,k x k_mod / γ_m

Ipotizzo il valore della base b (40 cm) e ricavo l’altezza minima h_min che la trave deve avere, secondo la seguente formula:

      h_min = (interasse x M_max x 1000 / b x f_d) ^ 0,5

Assegno quindi alla sezione una h = 60 cm.

Definisco poi il valore del modulo elastico E = 8000 N/mm², e ottengo il momento d’inerzia I_x, i carichi incidenti q_e, l’abbassamento massimo v_max  e il rapporto tra la luce e l’abbassamento massimo della trave l/v_max, rispettivamente secondo le seguenti formule

      I_x = b x h³ / 12

      q_e = (q_s + q_p + 0.5 x q_a) x i

      v_max = q_e x 10 x (l x 100)⁴ / (8 x E x 100 x I_x)

3| Verifica

A questo punto verifico che il rapporto tra la luce e l’abbassamento massimo della trave sia maggiore o uguale a 250, ossia l/v_max ≥ 250, trascurando il peso proprio della trave a causa della sua leggerezza:

Essendo l/v_max (606.49) > 250 la sezione 40 x 60 cm è verificata.

 

TRAVE IN ACCIAIO

1| Analisi dei carichi

I carichi - strutturali, permanenti e accidentali - che la trave dovrà sopportare sono gli stessi dell'Esercitazione 2.

      q_s = 2,01 kN/m²

      q_p = 2,84 kN/m²

      q_a = 5,00 kN/m²

**Carico totale

A questo punto, tramite il foglio di calcolo – Excel, ricavo il carico totale. Quindi inserisco i valori dell’interasse (5 m), di q_s (2.01 kN/m²), di q_p (2.84 kN/m²) e di q_a (5 kN/m²) e il foglio di calcolo mi fornisce il valore del carico totale q_u, secondo la formula seguente:

      q_u = [(q_s x 1,3) + (q_p x 1,3) + (q_a x 1,5)] x interasse

2| Progetto

Come seconda cosa, servendomi sempre del foglio di calcolo – Excel, inserisco la luce della trave (3 m) e ottengo il momento massimo della stessa – intesa come una mensola, secondo la formula M_max = ql²/2

Poi fornisco il seguente valore:

• tensione di snervamento f_y,k = 275 MPa (dipendente dal tipo di acciaio, ovvero Fe 430/ S275)

e ottengo il modulo di resistenza elastico minimo W_x,min [cm³], secondo la formula seguente:

      W_x,min = M_max / f_d x 1000

Quindi, sul sagomario, scelgo il profilo IPE 450 con W_x = 1500 cm³, I_x = 33740 cm⁴ e peso = 77.6 kg/m = 0.776 kN/m e ottengo q_e, secondo la seguente formula:

      q_e = (q_s + q_p + 0.5 x q_a) x i + p_trave

Infine definisco il valore del modulo elastico E = 210000 N/mm², e il foglio di calcolo mi fornisce il valore dell’abbassamento massimo v_max e il suo rapporto con la luce l/v_max, rispettivamente secondo le formule seguenti:

      v_max = q_e x 10 x (l x 100)⁴ / (8 x E x 100 x I_x)

3| Verifica

A questo punto verifico che il rapporto tra la luce e l’abbassamento massimo della trave sia maggiore o uguale a 250, ossia l/v_max ≥ 250.

Essendo l/v_max (559.446) > 250 il profilo IPE 450 è verificato.

 

TRAVE IN CALCESTRUZZO ARMATO

1| Analisi dei carichi

I carichi - strutturali, permanenti e accidentali - che la trave dovrà sopportare sono gli stessi dell'Esercitazione 2.

      q_s = 2,368 kN/m²

      q_p = 2,654 kN/m²

      q_a = 5,00 kN/m²

**Carico totale

A questo punto, tramite il foglio di calcolo – Excel, ricavo il carico totale. Quindi inserisco i valori dell’interasse (5 m), di q_s (2.368 kN/m²), di q_p (2.654 kN/m²) e di q_a (5 kN/m²) e il foglio di calcolo mi fornisce il valore del carico totale q_u, secondo la formula seguente:

      q_u = [(q_s x 1,3) + (q_p x 1,3) + (q_a x 1,5)] x interasse

2| Progetto

Come seconda cosa, servendomi sempre del foglio di calcolo – Excel, inserisco la luce della trave (3 m) e ottengo il momento massimo della stessa – intesa come una mensola, secondo la formula M_max = ql²/2

Poi fornisco il seguente valore:

• tensione di snervamento dell’acciaio f_yk = 450 MPa (dipendente dal tipo di acciaio, ovvero B450C)

e ottengo la tensione di progetto dell’acciaio f_yd [MPa], secondo la formula seguente:

      f_yd = f_yk / γ_s, dove γ_s = 1,15

Mentre, per la tensione di progetto del calcestruzzo (cls) f_cd, fornisco la resistenza caratteristica a compressione R_ck (40 N/mm²) e il foglio Excel me lo calcola, secondo la formula seguente:

      f_cd = 0,85 x R_ck / γ_c, dove γ_c = coefficiente parziale di sicurezza = 1,5 

oltre a calcolarmi β (0.46) e r (2.26).

Ipotizzo il valore della base b (40 cm) e ricavo prima l’altezza utile minima h_u,min, secondo la seguente formula:

      h_u,min = r x (M_max x 1000 / (f_cd x b)) ^ 0,5

e poi l’altezza minima H_min, secondo la formula seguente:

      H_min = h_u,min + Δ, dove Δ = copriferro = 5 cm

Assegno quindi alla sezione una H = 50 cm, e il foglio di calcolo mi fornisce q_e secondo la formula seguente:

      q_e = (q_s + q_p + 0.5 x q_a) x i + p_trave

Infine definisco il valore del modulo elastico E = 21000 N/mm² e ottengo il momento d’inerzia I_x, l’abbassamento massimo v_max e il rapporto tra la luce e l’abbassamento massimo l/v_max, rispettivamente secondo le seguenti formule:

      I_x = b x h³ / 12

      v_max = q_e x 10 x (l x 100)⁴ / (8 x E x 100 x I_x)

3| Verifica

A questo punto, come fatto per la trave in legno e in acciaio, verifico che il rapporto tra la luce e l’abbassamento massimo della trave sia maggiore o uguale a 250, ossia l/v_max ≥ 250.

Essendo l/v_max (1594.73) > 250 la sezione 40 x 50 cm è verificata.