Quinta Esercitazione_Ripartizione di una Forza Orizzontale (METODO DELLE RIGIDEZZE)

INTRODUZIONE:

In questa esercitazione vedremo come si ripartisce una forza orizzontale (di natura sismica o atmosferica) sui telai che compongono la struttura intelaiata, che in questa esercitazione sarà di un solo piano.

Il sistema trave-pilastro permette, oltre che trasmettere i carichi verticali alle fondazioni, di sopportare le forze orizzontali rendendo i sistemi pilastro-trave dei controventi. La struttura esaminata sarà in cemento armato, e la tipologia dei controventi è chiamata telaio SHEAR-TYPE, che presenta tutti nodi all'incastro e la trave è ipotizzata infinitamente rigida a flessione rispetto ai pilastri, che vengono dotati di rigidezza k.

N.B.: Affinchè un sistema di controventamento sia efficace, gli impalcati vengono considerati corpi rigidi sul proprio piano (mentre al di fuori si inflettono) perciò i controventi reagiscono alla forza orizzontale che tende a spostarli, con la loro elasticità, ciò impone che un controvento, nel piano impalcato, sia un appoggio cedevole elasticamente.

Nella figura sopra è rappresentato un telaio shear-type a due ritti, dove la forza F sposta il traverso, che di conseguenza trascina con se i pilastri (si comportano come una trave doppiamente appoggiata). Il legame tra F e sigma (spostamento) è esplicitato nella formula F= [(12EI₁/h³) + (12EI₂/h³)]sigma (valevole per un telaio shear-type a due piedritti), dalla quale si ricava che k (rigidezza traslante di ogni pilastro)=12EI/h³,poichè F=k*sigma. Nel caso generale:

Grazie a questa esercitazione saremo in grado di determinare la reazione elastica di ogni controvento che sarà uguale ed opposta alla forza orizzontale che ogni singolo controvento è chiamato a ricevere attraverso il solaio (secondo il principio di azione-reazione).

DISEGNO:

Telai // all'asse y

Telaio 1v pilastri 1-5-9 ; Telaio 2v pilastri 2-6-10 ; Telaio 3v pilastri 3-7 ; Telaio 4v pilastri 4-8

Telai // all'asse x

Telaio 1o pilastri 1-2-3-4 ; Telaio 2o pilastri 5-6-7-8 ; Telaio 3o pilastri 9-10

Trattandosi di vincoli cedevoli elasticamente, i controventi vengono assimilati a molle.

DIMENSIONAMENTO:

Apro il file Excel, inserisco i dati di cui dispongo:

E=Modulo Elastico di Young (in Mpa o N/mm²); per cls con classe di resistenza C20/25

H=altezza dei pilastri (nel mio caso 3,5 m)

I=momento di inerzia di ciascun pilastro (calcolato lungo le due direzioni principali) che collabora alla formazione di ogni telaio.

Momento d'inerzia dei pilastri:

Pilastro m 0,5*0,3                     b=30 cm      h=50 cm       I_x= bh³/12 = 312500 cm4            I_y= hb³/12 = 112500 cm⁴                                                      

Inserisco i risultati nei calcoli e ottengo la rigidezza traslante dei miei 7 telai.

Nella seconda tabella riassumo le rigidezze dei controventi e inseriamo la distanza  dei rispettivi controventi dal punto di origine del sistema di riferimento da me adottato.

Nella terza tabella calcolo il centro di massa dell'impalcato, suddividendo l'area in forme geometriche  semplice delle quali mi ricaverò i singoli centri d'area.

Una volta trovate le coordinate rispetto a O dei singoli centri di massa, il file Excell mi calcola l'area totale dell'impalcato e il centro di massa totale grazie alle formule:

N.B. Le formule adottate si riferiscono ad un impalcato la quale densità sia omogenea su tutta l'area, trovandomi così sia il centro d'area che quello di massa, poichè coincidenti. Se la densità non fosse omogenea le formule adottate non sarebbero più valide.

Nella quarta tabella troviamo:

K_o=rigidezza totale orizzontale (somma delle rigidezze dei singoli controventi orizzontali)

K_v=rigidezza totale verticale (somma delle rigidezze dei singoli controventi verticali)

X_c e Y_c=coordinate dei centri di rigidezze dell'impalcato

K_phi=rigidezza torsionale totale.

Il centro delle rigidezze viene calcolato con la somma delle combinazioni tra le rigidezze e le rispettive distanze dal punto di origine. il tutto diviso per la rigidezza totale.

N.B.: La forza sismica deve essere applicata nel centro di massa G.

Dopodichè, posiziono i punti G e C (centro delle rigidezze) nello schema del mio impalcato, potendo così intuire se esso sarà soggetto solo a traslazione o anche a rotazione, ciò dipenderà dalla coincidenza o meno dei due punti.

In questo caso C e G non coincidono, anche se per poco, perciò in presenza di una forza orizzontale l'impalcato sarà soggetto sia a traslazione che a una rotzione, quest'ultima dovuta al braccio tra forza e centro delle rigidezze, creando un momento.

Con la quinta tabella effettuo l’analisi dei carichi sismici per ricavare la forza sismica che agisce nel centro di massa.

Riprendo i valori ottenuti nell'esercitazione per il dimensionamento della trave.

A partire da questi valori, il file calcola:

• G= il carico totale permanente, dato dal prodotto fra l’area totale e la somma dei carichi strutturali e permanenti
• Q= il carico totale accidentale, dato dal prodotta fra l’area totale e il carico accidentale
• W= Peso sismico o forza peso, calcolato attraverso la combinazione sismica, che richiede l’uso di ψ*²
• F= Forza sismica, data dal prodotta fra il peso sismico e c (coefficiente di intensità sismica in base alla localizzazione dell’edificio)

*² trattasi di un coefficiente di contemporaneità che tiene conto della funzione/categoria dell’impalcato; nel mio caso ho preso il valore riferito agli ambienti ad uso residenziale.

Le ultime due tabelle indicano come si ripartisce la forza sismica ai vari controventi, a seconda che essa agisca lungo l’asse x o l’asse y, e gli effetti cinematici (traslazione e rotazione rigida) sull’impalcato.

La sesta tabella ricava la forza sismica agente lungo X, la quale causa una traslazione orizzontale u ed una rotazione ϕ.

Il file di calcolo elabora i seguenti dati:

• M= momento torcente dato dalla formula F ^. (Y_c - Y_g)*³
• U_o= traslazione orizzontale dove u=F/ k_{o_tot}
• ϕ= rotazione cui è sottoposto l’impalcato; vale f= M/k_ϕ *⁴

*³ Nel mio caso è un valore positivo, quindi implica un momento antiorario.

*⁴ k_ϕ  è la rigidezza torsionale totale ricavata nella tabella 4.

La settima tabella ricava, invece, la forza sismica agente lungo Y, la quale, a sua volta, causa una traslazione verticale u ed una rotazione ϕ.

Nella tabella successiva, viene ripetuto lo stesso ragionamento, considerando la traslazione verticale:

• U_v= traslazione verticale dove u=F/ k_{v_tot}

Una volta determinati i valori dei gradi di libertà, posso ricavare la forza agente sui singoli controventi nei due casi di carico (verticale e orizzontale).

Noti u_{_o}, v_{_o}, ϕ, posso determinare le reazioni elastiche di ogni controvento attraverso le seguenti formule:

CASO 1 – Forza // all’asse X

• Fo_n=ko_n(u+ϕ∙ddo_n)       per i controventi orizzontali
• Fv_n=kv_n∙ϕ∙ddv_n            per i controventi verticali

CASO 2 – Forza // all’asse Y

• Fv_n=kv_n(v+ϕ∙ddv_n)       per i controventi verticali
• Fo_n=ko_n∙ϕ∙ddo_n            per i controventi orizzontali

Come già detto, si considera la forza nel piano dell’impalcato prima agente in direzione orizzontale e poi agente in direzione verticale; perciò analizziamo i due casi.