Esercitazione 4: Ripartizione forze sismiche.

L’obiettivo di questa esercitazione è quello di calcolare come viene ripartita una forza orizzontale, in questo caso quella sismica, su diversi telai che compongono una struttura, applicando il  metodo delle rigidezze.

Prendiamo in considerazione un generico edificio ad un solo piano, la cui struttura è composta da telai piani che, se ben progettati, oltre a trasmettere i carichi verticali alla fondazione possono fungere da controventi per le azioni orizzontali.

In particolare, i telai piani che compongono la struttura sono di tipo Shear-type.

Nel presente impalcato si possono individuare otto telai, quattro paralleli all’asse x e e quattro paralleli all’asse y.

• Telaio 1 verticale: pilastri 1-4
• Telaio 2 verticale: pilastri 2-5-7-10
• Telaio 3 verticale: pilastri 3-6-8-11
• Telaio 4 verticale: pilastri 9-12
• Telaio 1 orizzontale: pilastri 1-2-3
• Telaio 2 orizzontale: pilastri 4-5-6
• Telaio 3 orizzontale: pilastri 7-8-9
• Telaio 4 orizzontale: pilastri 10-11-12

Complessivamente sono presenti due tipologie di pilastro, uno rettangolare di dimensioni 30x40 cm e uno quadrato di dimensioni 30x30 cm. Pertanto otterremo tre momenti di inerzia distinti (bh²/12), due per il pilastro rettangolare, a seconda se viene calcolato rispetto ad x o rispetto ad y, e uno per il pilastro quadrato.

I controventi, che per il solaio rappresentano vincoli cedevoli elasticamente, possono essere schematizzati nel piano dell’impalcato come molle.

STEP 1: tramite la tabella excel, calcoliamo la rigidezza traslante associata a tutti i controventi, inserendo per ognuno di essi l’inerzia dei pilastri che lo compongono. Stiamo parlando di telai Shear type, pertanto, per trovare la rigidezza traslante di un telaio composto da n pilastri utilizziamo la formula:

STEP 2: otteniamo una tabella riassuntiva in cui vengono riportate le rigidezze di tutti i controventi calcolati nel primo step. In più, nella stessa tabella, inseriamo le distanze di ogni controvento da un’origine O arbitraria, che per comodità collochiamo nell’angolo in basso a sinistra dell’impalcato.

STEP 3: a questo punto calcoliamo il centro di massa dell’edificio, che corrisponde al centro delle aree dato che consideriamo l’impalcato con densità di massa uniforme, suddividendo la struttura in tre figure elementari di cui conosciamo il centro in modo intuitivo.

Per farlo utilizziamo la formula derivata da quella per ottenere le coordinate del centro di un sistema di vettori paralleli:

STEP 4: calcoliamo la rigidezza totale orizzontale, data dalla somma delle singole rigidezze dei controventi orizzontali, e la rigidezza totale verticale, data dalla somma delle singole rigidezze dei controventi verticali.

In questo modo sarà possibile calcolare il centro delle rigidezze riadattando la formula precedentemente utilizzata per il centro di massa, e la rigidezza torsionale totale.

Si possono ora posizionare centro di massa e centro delle rigidezze all’interno del sistema di riferimento in cui abbiamo disegnato l’impalcato. Questa operazione ci consente di verificare se l’impalcato subisce una rotazione, infatti, dal momento che la forza orizzontale derivante dal sisma deve essere applicata sul centro di massa, l’unico caso in cui non abbiamo rotazione, ma solo traslazione verticale o orizzontale, è quello in cui centro di massa e centro delle rigidezze coincidono.

 Come evidente dall’immagine i due centri non coincidono, pertanto applicando la forza sismica nel centro di massa una volta lungo X e una volta lungo Y, otteniamo in entrambi i casi traslazione e rotazione.

STEP 5: effettuiamo l’analisi dei carichi sismici per ricavare la forza che agisce nel centro di massa. Ipotizziamo di avere un solaio in latero cemento e calcoliamo il carico totale permanente (G) e accidentale (Q) partendo dal valore dei carichi per unità di superficie [kN/mq], utilizzando le seguenti formule:

G = (q_s + q_u) A_tot      Q = q_a A_tot

In accordo con la normativa tecnica utilizziamo la combinazione sismica per calcolare i pesi sismici:

W = G + ψ_2j · Q   in cui ψ rappresenta il coefficiente di contemporaneità indicato dalla normativa.

F = W c    moltiplicando W, ossia il peso sismico, per un coefficiente di intensità sismica c che tiene conto della sismicità del luogo di progettazione dell’edificio, otteniamo F, la forza sismica da applicare al centro di massa.

STEP 6 e 7: consideriamo l’azione della forza sismica lungo x e poi lungo y e troviamo lo spostamento orizzontale, verticale e la rotazione tramite le seguenti formule:

Per ricavare la forza sui singoli controventi nei due casi di carico utilizziamo: